Η απόδειξη της εικασίας του Poincare

Η απόδειξη της εικασίας του Poincare

Henri Poincare

Ο Henri Poincare (1854 - 1912) ήταν Γάλλος μαθηματικός που ασχολήθηκε με τη σταθερότητα των νόμων που διέπουν την κίνηση των πλανητών ενός ηλιακού συστήματος. Προσπάθησε να εξηγήσει, με μαθηματικό τρόπο, την ενδεχόμενη αλλαγή στην κίνηση ενός πλανήτη που θα μπορούσε είτε να ξεφύγει έξω από τα όρια του γαλαξία στον οποίο βρίσκεται, είτε να συγκρουστεί με κάποιον άλλον πλανήτη. Στην προσπάθεια του αυτή εισήγαγε, ένα νέο τότε πεδίο, την τοπολογία με σκοπό τη μελέτη των επιφανειών. Το 1904 διατύπωσε την περίφημη εικασία του, η οποία αποδείχθηκε ένα από τα δυσκολότερα προβλήματα της μαθηματικής επιστήμης. Με την εικασία του Poincare ασχολήθηκαν, χωρίς επιτυχία, πολλοί διάσημοι μαθηματικοί. Επαληθεύτηκε τελικά, 100 χρόνια αργότερα, από το Ρώσο μαθηματικό Grigoriy Perelman.

Η εικασία του Poincare

Για λόγους καθαρά εποπτικούς θα περιγράψουμε αρχικά το πρόβλημα, που θέτει η εικασία του Poincare, στις 2-πολλαπλότητες δηλαδή στις επιφάνειες του τρισδιάστατου ευκλείδειου χώρου. Μια 2-πολλαπλότητα ονομάζεται απλώς συνεκτική αν κάθε κλειστή καμπύλη που βρίσκεται πάνω σε αυτή μπορεί να "συρρικνωθεί", παραμένοντας πάνω στη επιφάνεια, σε ένα μόνο σημείο. Για παράδειγμα, η επιφάνεια της γνωστής μας σφαίρας (μπάλας) είναι απλώς συνεκτική 2-πολλαπλότητα.

Δε συμβαίνει όμως το ίδιο και με τον τόρο δηλαδή την επιφάνεια του "ντόνατ". Πράγματι υπάρχουν κλειστές καμπύλες στον τόρο οι οποίες δεν μπορούν να συρρικνωθούν σε σημείο κρατώντας την επαφή τους με την επιφάνεια.

Όλες οι απλώς συνεκτικές 2-πολλαπλότητες, με όρους της τοπολογίας, είναι όμοιες μεταξύ τους. Η επιφάνεια ενός αβγού για παράδειγμα είναι τοπολογικά όμοια με την επιφάνεια της σφαίρας.
Ο Poincare έθεσε το 1904 το ίδιο ερώτημα για τις απλώς συνεκτικές 3-πολλαπλότητες. Με άλλα λόγια σύμφωνα με την εικασία του Poincare:

"Κάθε απλώς συνεκτική 3-πολλαπλότητα (δηλαδή απλώς συνεκτική επιφάνεια στον τετραδιάστατο ευκλείδειο χώρο) είναι τοπολογικά όμοια με την 3-σφαίρα, δηλαδή την επιφάνεια της σφαίρας στον τετρασιάστατο ευκλείδειο χώρο."

Τα επόμενα χρόνια αρκετοί διάσημοι μαθηματικοί προσπάθησαν, χωρίς επιτυχία, να απαντήσουν καταφατικά ή αρνητικά στην εικασία του Poincare. Οι προσπάθειες αυτές βέβαια είχαν σαν αποτέλεσμα την κατανόηση σε βάθος της θεωρίας των πολλαπλοτήτων, αλλά η εικασία του Poincare αναδείχθηκε ως ένα από τα δυσκολότερα μαθηματικά προβλήματα. Το 1960 ο Stephen Smale από το University of California στο Berkeley (σήμερα στο City University of Hong Kong) κατόρθωσε να απαντήσει θετικά στο αντίστοιχο πρόβλημα της εικασίας του Poincare για n-πολλαπλότητες με  n > 4. Στην περίπτωση αυτή η συνθήκη "απλώς συνεκτική" αντικαταστάθηκε με μια ισχυρότερη. Είκοσι δύο χρόνια αργότερα ο Michael Freedman από το Uninersity Of California, San Diego (σήμερα στο Microsoft Research Station Q) απάντησε επίσης θετικά στο αντίστοιχο πρόβλημα της εικασίας του Poincare για απλώς συνεκτικές 4-πολλαπλότητες. Ο  Smale και ο Freedman, για τα αποτελέσματά τους αυτά, τιμήθηκαν με το βραβείο Fields Medal (βραβείο για τη μαθηματική επιστήμη, αντίστοιχο του Nobel) το 1966 και 1986, αντίστοιχα. Παρόλα αυτά η εικασία του Poincare παρέμενε αναπάντητη.

Το 1982 ο William Thurston από το University of Colorado, Boulder (σήμερα στο Cornell University) διατύπωσε μια νέα εικασία σύμφωνα με την οποία κάθε 3-πολλαπλότητα μπορεί να διασπασθεί σε κομμάτια που έχουν μια απλή γεωμετρική δομή. Οι γεωμετρικές αυτές δομές του Thurston είναι οκτώ. Η εικασία του Poincare ήταν τώρα μια ειδική περίπτωση της εικασίας του Thurston. Για αυτό ακριβώς το λόγο οι ερευνητές θεώρησαν ότι η επαλήθευση ή όχι αυτής της νέας εικασίας θα μπορούσε να προσργγισθεί πολύ αργότερα, ίσως τον 22ο αιώνα! Ο Thurston επαλήθευσε την εικασία του μόνο για κάποιες ειδικές περιπτώσεις 3-πολλαπλοτήτων.

Το 1982 ο Richard Hamilton από το Cornell Umiversity (σήμερα στο Columbia University) εισήγαγε τη διαφορική εξίσωση, που ονόμασε Ricci flow. Αυτή η εξίσωση είναι, στα πλαίσια της γεωμετρίας, αντίστοιχη της εξίσωσης θερμότητας του Fourier. Με την εξίσωση αυτή ο Hamilton θεώρησε ότι θα μπορούσε να μετασχηματίσει σταδιακά κάθε απλώς συνεκτική 3-πολλαπλότητα σε σφαίρα, και έτσι ήλπιζε ότι θα μπορούσε να απαντήσει στην εικασία του Poincare. Αυτό όμως στάθηκε αδύνατον, διότι ο μετασχηματισμός της 3-πολλαπλότητας δεν ήταν πάντα μια ομαλή διαδικασία. Ανάλογα με τη μορφή της 3-πολλαπλότητας μπορεί να υπάρχουν περιοχές που ονομάζονται ανωμαλίες, όπου ο μετασχηματισμός δεν μπορεί να προχωρήσει με τον αναμενόμενο τρόπο. Ήταν πολύ δ΄θσκολο να κατανοηθεί ακόμη και η ίδια η φύση αυτών των ανωμαλιών και συνεπώς, να βρεθούν τρόποι να ξεπεραστούν τα εμπόδια που έθεταν στη διαδικασία του μετασχηματισμού.

Εξίσωση Ricci flow

Το 2000 το Clay Mathematics Institute (CMI) των Η.Π.Α. θέσπισε τη λίστα των Millennium Prize Problems, μια λίστα με επτά από τα δυσκολότερα άλυτα, ως τότε προβλήματα, της μαθηματικής επιστήμης. Για τη λύση του κάθε προβλήματος το Millennium Prize θα συνοδευόταν από χρηματικό έπαθλο $1.000.000. Η εικασία του Poincare βρισκόταν στη λίστα αυτή.

Το 2002 και 2003 ο Ρώσος μαθηματικός Grigoriy Perelman από το Stelkov Mathematical Institute της Αγίας Πετρούπολης, που γεννήθηκε στις 13 Ιουνίου 1966, με τρεις εργασίες που δημοσίευσε στον δικτυακό τόπο http://ArXiv.org ανακοίνωσε την επαλήθευση όχι μόνο της εικασίας του Poincare αλλά και της εικασίας του Thurston! Ο Perelman κατόρθωσε να κατανοήσει τη φύση των ανωμαλιών που προκύπτουν στη εξίσωση Ricci flow και να κατασκευάσει μοντέλα που εξηγούσαν το σχηματισμό τους. Μετά τη δημοσίευση των εργασιών του, ο Perelman έδωσε μια σειρά από διαλέξεις στα πανεπιστήμια Priceton, MIT, SUNY Stony Brook και Pennsylvania των Η.Π.Α. Ως το 2006 διάφορες ερευνητικές ομάδες σε όλο τον κόσμο προσπαθούσαν να κατανοήσουν τη δουλειά του Perelman και να ελέγξουν την ορθότητα τωναποτελεσμάτων του. Κανένα σημαντικό λάθος που θα αναιρούσε τη σπουδαιότητα της δουλειάς του δε βρέθηκε!
Ο Perelman τιμήθηκε με το βραβείο Fields Medal το οποίο αρνήθηκε να παραλάβει.

Grigoriy Perelman

Στις 18 Μαρτίου 2010, το Clay Mathematics Institute ανακοίνωσε τη απόφαση για την απονομή του πρώτου Millennium  Prize στον Perelman, για την επαλήθευση της εικασίας του Poincare. Τον Ιούλιο του 2010, ο Perelman αρνήθηκε και το βραβείο αυτό διαφωνώντας με την απόφαση του CMI! Θεώρησε ότι η δουλειά του δεν ήταν σημαντικότερη από αυτήν του Hamilton, ο οποίος εισήγαγε και μελέτησε πρώτος την εξίσωση Ricci flow. Ο Perelman αρνήθηκε επίσης διάφορες θέσεις, που του προτάθηκαν από κάποια απο τα καλύτερα πανεπιστήμια του κόσμου! Σήμερα έχει παραιτηθεί και από το Stelkov Mathematical Institute εγκαταλείποντας την επαγγελματική ενασχόληση με τα μαθηματικά.