Μαθηματική ξενάγηση

Η πιο αφηρημένη θεωρία μαθηματικών βρίσκει εφαρμογή στην καθημερινότητα

Πέμπτη, 30 Μαΐου 2013 01:11

UPD:01:12

Shutterstock

Η πορεία της εφαρμογής της θεωρίας κατηγοριών ξεκίνησε πρώτα από το πεδίο της Λογικής και κατέληξε στην επιστήμη των υπολογιστών και τον προγραμματισμό.

Η θεωρία κατηγοριών, ίσως το πιο αφηρημένο πεδίο σε όλα τα μαθηματικά, χρησιμοποιείται τώρα για να περιγράψει πεδία σε όλο το φάσμα των επιστημών και όχι μόνο. Αν τα μαθηματικά είναι μια αφηρημένη έννοια του πραγματικού κόσμου, τότε η θεωρία κατηγοριών αποτελεί μια αφηρημένη έννοια των ίδιων των μαθηματικών.

Η θεωρία περιγράφει την αρχιτεκτονική δομή του κάθε μαθηματικού τομέα, ανεξάρτητα από το μαθηματικό αντικείμενο που εξετάζεται. Τώρα, αυτή η αγνή μαθηματική θεωρία χρησιμοποιείται για την περιγραφή πεδίων στην επιστήμη των υπολογιστών, την κβαντική φυσική, τη βιολογία, τη μουσική, τη γλωσσολογία και τη φιλοσοφία.

Η θεωρία κατηγοριών αναπτύχθηκε τη δεκαετία του 1940 από τους Σάμιουελ Άιλενμπεργκ του Πανεπιστημίου Κολούμπια και Σώντερς ΜακΛέην του Πανεπιστημίου του Σικάγο, με σκοπό τη γεφύρωση της αφηρημένης άλγεβρας με την τοπολογία (την ποιοτική μελέτη των σχημάτων, συμπεριλαμβανομένων και εκείνων με πολύ μεγάλες διαστάσεις). Το σκεπτικό πίσω από αυτή την προσπάθεια ήταν ότι αφού τα δύο πεδία εμφάνιζαν παρόμοιες ιδιότητες σε διαφορετικά περιβάλλοντα, τότε ίσως τα ένωνε κάποια βαθύτερη δομή.

Το ερευνητικό δίδυμο δημιούργησε ένα οργανωτικό πλαίσιο στο οποίο θα μπορούσε να τοποθετηθεί οποιοδήποτε πεδίο των μαθηματικών. Μία «κατηγορία» είναι μια συλλογή μαθηματικών αντικειμένων, μαζί με βέλη που τα συνδέουν. Για παράδειγμα, οι φυσικοί αριθμοί είναι τα αντικείμενα μίας κατηγορίας, και ένα συγκεκριμένο βέλος σε αυτή την κατηγορία θα μπορούσε να συνδέει κάθε αριθμό στο διπλάσιό του. Οι Άιλενμπεργκ και ΜακΛέιν στη συνέχεια ανέλυσαν χάρτες ολόκληρων κατηγοριών, και χάρτες αυτών των χαρτών. Αυτό επέτρεψε να διατυπωθούν με ακρίβεια οι συνδέσεις μεταξύ διαφορετικών πεδίων των μαθηματικών.

Η θεωρία κατηγοριών ξεκίνησε ως μία «γλώσσα των μαθηματικών», αλλά αρκετοί συνάδελφοι των Άιλενμπεργκ και ΜακΛέην έσπευσαν να τη χαρακτηρίσουν ως «αφηρημένη ανοησία», ισχυριζόμενοι ότι το μεγάλο επίπεδο αφαίρεσης απογύμωνε το περιεχόμενο από τη θεωρία, με αποτέλεσμα να μην αντιπροσωπεύει σχεδόν τίποτα. Ωστόσο οι  Άιλενμπεργκ και ΜακΛέιν  αποκάλυψαν ένα νέο κόσμο θεωρημάτων που μπορούσαν να εφαρμοστούν σε ολόκληρο το μαθηματικό φάσμα.

Η πορεία της εφαρμογής της θεωρίας κατηγοριών ξεκίνησε πρώτα από το πεδίο της Λογικής και κατέληξε στην επιστήμη των υπολογιστών και τον προγραμματισμό. Χρησιμοποιήθηκε επίσης για την περιγραφή πολύπλοκων βιολογικών συστημάτων, ενώ διαπιστώθηκε ότι πολλά αποτελέσματα πειραμάτων κβαντικής φυσικής ακολουθούν την ίδια θεωρία.

Τώρα, ο Ντέηβιντ Σπίβακ του MIT έχει ίσως το πιο τολμηρό όραμα για τη δυναμική της θεωρίας κατηγοριών. Σε πρόσφατη δημοσίευσή του, υποστηρίζει ότι όλη η επιστημονική σκέψη μπορεί να εκφραστεί με ένα δομημένο τρόπο, χρησιμοποιώντας τη θεωρία κατηγοριών. Τόσο οι ιδέες όσο και τα δεδομένα κάθε επιστημονικού πεδίου μπορούν να κωδικοποιηθούν στην παγκόσμια γλώσσα της θεωρίας κατηγοριών, επιτρέποντας στους επιστήμονες να παρουσιάσουν το πλήρες έργο τους σε μία βάση δεδομένων.

Στη δημοσίευσή του, ο Σπίβακ κάνει ήδη τα πρώτα βήματα και παρουσιάζει παραδείγματα μοντελοποίησης και αποτελέσματα επικοινωνίας μεταξύ διαφορετικών πεδίων. Ο Σπίβακ ονειρεύεται ακόμα και μία μορφή κοινωνικής δικτύωσης, σε ένα περιβάλλον εργασίας που θα συνδέει τους ανθρώπους των οποίων οι βάσεις δεδομένων επικαλύπτονται.

 «Εάν οι άνθρωποι υιοθετήσουν το επίπεδο αυστηρότητας της θεωρίας κατηγορίας», δηλώνει ο Σπίβακ, «αυτή θα τους δώσει μία ακριβή γλώσσα για την επιστήμη στο σύνολό της, και αυτό με τη σειρά του θα βοηθήσει τους επιστήμονες να αποκρυσταλλώσουν τον τρόπο σκέψης τους».