Μαθηματική ξενάγηση

      Τέχνη και Μαθηματικά : Σχεδιάζοντας το χώρο

 Aντικείμενα σχεδιασμένα στο επίπεδο

ααα

Όταν θέλουμε να απεικονίσουμε ένα αντικείμενο που υπάρχει ή που πρόκειται να κατασκευαστεί, χρησιμοποιούμε το σύστημα των ορθών προβολών. Σχεδιάζουμε την όψη, κάτοψη και τομές του στο χαρτί μας. Σχεδιάζουμε μια σμίκρυνση του αντικειμένου υπό κλίμακα, ώστε να έχουμε ακριβείς πληροφορίες και  αντίληψη για τις μορφές και τα μεγέθη σχημάτων, γραμμών και γωνιών του αντικειμένου. Είναι πολύ σημαντικά σχέδια γιατί μπορούμε να παραστήσουμε τη μορφή του χώρου από μέσα. Χρησιμοποιούμε δε σε συνδυασμό όλα μαζί κατόψεις, τομές και όψεις για να πάρουμε ή να δώσουμε το σύνολο των πληροφοριών για ένα χώρο, για ένα αντικείμενο στο χώρο.

Τα παραπάνω συμπληρώνονται με το αξονομετρικό σύστημα προβολών, οι οποίες στηρίζονται στις κατόψεις και τομές του αντικειμένου αλλά μας δίνουν μια τρισδιάστατη μορφή του. Στο αξονομετρικό σύστημα όλες οι παράλληλες γραμμές διατηρούν τη παραλληλία τους καθώς και το μέγεθος τους τα τμήματα.

aaa

Αντιθέτως στο προοπτικό σχέδιο οι παράλληλες γραμμές φαίνεται ότι συγκλίνουν σε ένα σημείο και τα τμήματα δεν κρατούν το μέγεθός τους αφού αυτά φαίνονται μεγαλύτερα όσο πιο κοντά μας βρίσκονται και μικρότερα όσο απομακρύνονται από εμάς. Σε αυτή τη περίπτωση το σχέδιο πλησιάζει περισσότερο σε αυτό που ¨βλέπει¨ το ανθρώπινο μάτι.

ααα

Με λογισμικά του υπολογιστή που αναπτύχθηκαν τα τελευταία χρόνια μπορούμε να έχουμε ένα συνδυασμό δισδιάστατης και τρισδιάστατης εικόνας. Μπορούμε δηλαδή να έχουμε σε μια εικόνα σχεδόν όλες τις πληροφορίες και μια καλή προσομοίωση της πραγματικότητας.

ααα

ΣΧΕΔΙΟ ΜΕ ΠΡΟΟΠΤΙΚΗ

Παρατηρώντας το σχήμα του τραπεζιού βλέπουμε τις μπροστινές ακμές μεγαλύτερες από αυτές που είναι στη πίσω πλευρά. Οι ευθείες συγκλίνουν στο σημείο φυγής.

ααα

ΣΧΕΔΙΟ ΜΕ ΑΞΟΝΟΜΕΤΡΙΚΟ ΣΥΣΤΗΜΑ

Αν παρατηρήσουμε καλά το παραπάνω σχέδιο τραπεζιού, βλέπουμε τρεις γραμμές ίσα ευθύγραμμα τμήματα, που σχηματίζουν ανάμεσα τους ίσες γωνίες 120 μοιρών . Οι ακμές του παραμένουν παράλληλες και ίσες.
Ας δούμε πως σχεδιάζοντας ευθύγραμμα τμήματα στο χαρτί μας, δίνουμε στο σχήμα τρισδιάστατη υπόσταση, με αξονομετρικό σύστημα.

Ακολουθήστε τις οδηγίες και απαντήστε στα ερωτήματα. Φανταστήτε, δοκιμάστε, παίξτε, σκεφθήτε και βγάλτε τα δικά σας συμπεράσματα.

Αρκετοί ζωγράφοι, όπως ο Vasarely έπαιξαν με το τρισορθογώνιο σύστημα αξόνων και τα χρώματα. Σχεδίασαν έργα βάζοντας μας σε αμφιβολίες.  Το μάτι μας μπερδεύεται μια βλέπει ένα κύβο μέσα σε έναν άλλο και την άλλη  ένα κομμάτι κύβου να λείπει από μια γωνία κύβου.

Το τρίγωνο Penrose και ο Escher

Δημοσιευμένο στην κατηγορία Γενικά, ΤΕΧΝΗ ΚΑΙ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ στις 16 Δεκ 2012

To 1934 ο Σουηδός καλλιτέχνης Oscar Reutersvärd σχεδίασε ένα τρίγωνο με τρεις ορθές γωνίες. Οπως γνωρίζουμε ένα τρίγωνο μπορεί να έχει το πολύ μία ορθή γωνία.  Είναι λοιπόν δυνατόν να υπάρχει στη πραγματικότητα μας ένα τρίγωνο με τρείς ορθές γωνίες; και βέβαια όχι.

Το 1950,  ο μαθηματικός Penrose ανακάλυψε αυτό το «αδύνατο τρίγωνο» σαν την αδυνατότητα στη πιο καθαρή της μορφή.  Τι συμβαίνει όμως; Πώς οι αισθήσεις μας ξεγελιώνται;  πώς μας μεταφέρουν ένα τέτοιο τρίγωνο ως πραγματικό;

Ο καλλιτέχνης Escher εμπνεύστηκε από το τρίγωνο αυτό και το χρησιμοποίησε σε πολλά έργα του για να μας προβληματίσει και να μας μεταφέρει τις ιδέες του.

Ασχοληθήτε με την εφαρμογή που ακολουθεί για να απαντήσετε στα παραπάνω ερωτήματα.

 

Το τετράγωνο του Sierpinski

Δημοσιευμένο στην κατηγορία ΛΥΚΕΙΟ, ΤΕΧΝΗ ΚΑΙ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ στις 5 Φεβ 2012

Το τετράγωνο του Sierpinski – Μοτίβα

Εμφανίζουμε κάθε μία λίστα τετραγώνων χωριστά και μελετάμε τον τρόπο δημιουργίας του σχήματος. Μελετάμε το μήκος της πλευράς των τετραγώνων και τον αριθμό τους, τη περίμετρο και το εμβαδό τους.

Εμφανίζουμε τη μία λίστα κατόπιν της άλλης και περιγράφουμε το σχήμα που προκύπτει. Επαναλαμβάνουμε τη προηγούμενη μελέτη για το τελικό σχήμα.

Αν υποθέσουμε ότι επαναλαμβάνουμε την ίδια διαδικασία πολλές πολλές φορές έχουμε το τετράγωνο του Sierpinski.

 

Το τρίγωνο του Sierpinski

Δημοσιευμένο στην κατηγορία ΛΥΚΕΙΟ, ΤΕΧΝΗ ΚΑΙ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ στις 31 Ιαν 2012

Υποθέτουμε ότι έχουμε ένα ισόπλευρο τρίγωνο ΑΒΓ.

σχήμα 1

Βρίσκουμε τα μέσα των πλευρών του και σχηματίζουμε τα τέσσερα ισόπλευρα τρίγωνα από τα οποία αφαιρούμε το μεσαίο.Εχουμε το βασικό μοτίβο, σχήμα 1.

Συνεχίζουμε την ίδια διαδικασία στα τρίγωνα που εναπομένουν.

Αν επαναλάβουμε τη διαδικασία πάρα πολλές φορές το τρίγωνο που δημιουργείται ονομάζεται τρίγωνο του Sierpinski.

Είναι ενδιαφέρον να υπολογίσουμε τη περίμετρο και το εμβαδό αυτού του τριγώνου.Για ν επαναλήψεις, όπου ν μεγάλος αριθμός, το εμβαδό του τείνει να γίνει 0 τ.μ, ενώ η περίμετρος του τείνει στο άπειρο. Ας δοκιμάσουμε πατώντας πάνω στην εικόνα που ακολουθεί.

Ας δούμε ένα άλλο τρίγωνο, το τρίγωνο Pascal .

Πιστεύετε ότι έχει κάποια σχέση με το τρίγωνο του Sierpinski ;

Οι αριθμοί Fibonacci 1,1, 2, 3, 5, 8, 13, 21,…

προκύπτουν ως εξής: 1, 1, 1+1=2, 1+2=3, 2+3=5, 3+5=8, 5+8=13, ….

Πιστέυετε ότι έχουν σχέση με το τρίγωνο του Pascal;