Μαθηματική ξενάγηση

 Το "τυχαίο ον" αντικείμενο μελέτης της επιστήμης του "καθ΄ όλον" επιστητού.

Τον Αύγουστο του 1654, ο μέγας τζογαδόρος Αντουάν Γκομπό (γνωστός σε όλους ως Ιππότης του Μερέ), πλησίασε τον φημισμένο μαθηματικό της εποχής, Μπλεζ Πασκάλ, και του ζήτησε, εμπιστευτικά, να του πει λίγα "χρήσιμα μυστικά" για το πώς θα κατάφερνε να έχει μονίμως το πάνω χέρι στα παιχνίδια τύχης, στα οποία αφιέρωνε τον πάντοτε ελεύθερο χρόνο του.

"Πώς μπορώ να ξέρω ότι θα κερδίσω στα ζάρια όταν η παρτίδα δεν έχει ακόμη τελειώσει; Πώς θα γίνει να έχω μαζέψει τους περισσότερους πόντους ακόμη και σε ένα παιχνίδι που θα διακοπεί απότομα;" ρώτησε ο γάλλος ευγενής τον διάσημο επιστήμονα φίλο του.

 Ύστερα από λίγες μέρες εντατικής σκέψης, ο Πασκάλ τού έδωσε μια πιθανή λύση· ωστόσο, δεν ήταν εντελώς σίγουρος για την ορθότητά της. Μην αντέχοντας την αγωνία, έγραψε στον συμπατριώτη του ερασιτέχνη μαθηματικό Πιερ ντε Φερμά προκειμένου να ζητήσει τη γνώμη του. Η αλληλογραφία που ακολούθησε -και ειδικά μία συγκεκριμένη επιστολή- γέννησε ένα από τα πιο συγκλονιστικά επιτεύγματα των μαθηματικών. Ήταν μια επιστολή που, κυριολεκτικά, άλλαξε τον ρου της Ιστορίας.

Η επινόηση της θεωρίας πιθανοτήτων έφερε επανάσταση στον τρόπο σκέψης· η δυνατότητα για πρόβλεψη του μέλλοντος (με τη βοήθεια των αριθμών) και η ποσοτική εκτίμηση του κινδύνου άλλαξε, μια για πάντα, την οικονομική, την πολιτική και την κοινωνική ζωή των ανθρώπων.

Δύο παίκτες παίζουν ζάρια· στις 5 ρίψεις ένας από τους δύο θα είναι ο νικητής. Ξαφνικά, σταματούν στην τρίτη ζαριά· άραγε, ποιος θεωρείται ότι έχει κερδίσει αυτό το ημιτελές παιχνίδι; Δεν είναι δύσκολο πρόβλημα -τουλάχιστον σήμερα· ωστόσο, την εποχή που τέθηκε στον Φερμά απαιτούσε λύση ενδελεχούς αιτιολόγησης, και μάλιστα όχι με εμπειρικό τρόπο, αλλά αντίθετα, με την εφαρμογή μαθηματικών. Για τον Φερμά και τον Πασκάλ ήταν ένας ελκυστικός γρίφος, μια άσκηση με αφορμή τον τζόγο· ούτε καν φαντάστηκαν ότι επινοώντας τη θεωρία πιθανοτήτων, εγκαινίαζαν μια εποχή στην οποία οι ασφαλιστικές εταιρείες, οι υπηρεσίες προγνώσεων, οι αναλυτές στατιστικών στοιχείων και οι κάθε λογής διαχειριστές του ρίσκου θα μπορούσαν (με βάση τις πιθανότητες) να προβλέψουν -και να δρομολογήσουν αναλόγως- το μέλλον μας.

Το πρόβλημα της διαίρεσης του στοιχήματος 

  Αλληλογραφία Pascal-Ferma

Δύο παίκτες Α και Β στοιχημάτισαν βάζοντας από 32 πιστόλια ο καθένας. Συμφώνησαν ότι όποιος κερδίσει πρώτος 3 παρτίδες ενός παιχνιδιού θα πάρει και τα 64 πιστόλια. Όταν το παιχνίδι ήταν 2-1 υπέρ του Α αναγκάστηκαν να σταματήσουν το παιχνίδι και το ερώτημα είναι πως πρέπει να μοιραστούν τα 64 πιστόλια στους δύο παίκτες.

 Λύση

Ο Pascal για τη λύση του ερωτήματος υπέθεσε ότι οι δύο παίκτες έχουν την ίδια ικανότητα στο παιχνίδι και φαντάστηκε ότι αν το παιχνίδι παίζονταν ακόμη μία φορά τότε είτε θα κέρδιζε την παρτίδα ο Α κάνοντας το παιχνίδι 3-1, είτε θα την κέρδιζε ο Β  κάνοντας το παιχνίδι 2-2. Σχηματικά έχουμε το παρακάτω

Στη μία περίπτωση ο Α θα έπαιρνε 64 πιστόλια, στην άλλη 32, άρα είναι λογικό να πάρει το μέσο όρο δηλαδή 48 πιστόλια. Όμοια στη μία περίπτωση ο Β θα έπαιρνε 0 πιστόλια, στην άλλη 32, άρα είναι λογικό να πάρει το μέσο όρο δηλαδή 16 πιστόλια.

Ακολούθησε μία αλληλογραφία των Pascal και Fermat στην οποία έλυσαν το γενικότερο πρόβλημα διαίρεσης του στοιχήματος, που διατυπώνεται ως εξής

 ΠΡΟΒΛΗΜΑ:  Πως να μοιραστεί το στοίχημα σε παιχνίδι που διακόπηκε όταν ο παίκτης Α θέλει ακόμη m παρτίδες να κερδίσει το παιχνίδι και ο Β θέλει ακόμη n παρτίδες;

Ειδική περίπτωση: Δύο φίλοι στοιχημάτισαν 100 στο τάβλι που τελειώνει σε 7 παρτίδες. Αναγκάζονται να σταματήσουν όταν το σκορ είναι 4-5 (δηλ. ο Α θέλει ακόμη m=3 παρτίδες και ο Β θέλει ακόμη n=2 παρτίδες ). Από πόσα θα πρέπει να πάρουν οι δύο φίλοι;

Λύση

Από το παρακάτω σχήμα διαπιστώνεται ότι αν οι δύο παίκτες έπαιζαν άλλες 4 παρτίδες (που στη γενική περίπτωση ισοδυναμεί με το m+n-1) τότε το παιχνίδι θα είχε τελειώσει με νίκη είτε του ενός είτε του άλλου.

Παρατηρήστε ότι οι 4 παρτίδες μπορούν να ολοκληρωθούν με 16 διαφορετικούς τρόπους που θεωρούνται ισοπίθανοι, λόγω της ίδιας δυναμικότητας των δύο παικτών. Στις 5 πρώτες που σημειώθηκαν κερδίζει ο Α, ενώ στις υπόλοιπες 11 κερδίζει ο Β.

Έτσι είναι λογικό να μερίσουμε το στοίχημα σε μέρη ανάλογα των 5:11.

Άρα ο Α θα πάρει 31,25 και ο Β 68,75.

Ιστορική Αναδρομή στην έννοια της Πιθανότητας.

Οι αρχαίοι  Έλληνες δεν ασχολήθηκαν συστηματικά με έννοιες της θεωρίας πιθανοτήτων. Ο Αριστοτέλης (384-322 π.Χ.) διατύπωσε τη διάκριση μεταξύ των λέξεων γνώση και γνώμη. Θεώρησε δηλαδή ότι η γνώση αφορά σε κάτι που είναι σωστό ή λάθος, ενώ η γνώμη σε κάτι που μπορεί να είναι σωστό ή λάθος. Έδωσε επίσης τις έννοιες του τυχαίου, του απρoσδόκητoυ και της σχετικής συχνότητας. Θεωρούσε όμως ότι το τυχαίο δεν είναι επιστημονική έννοια, οφείλεται στη δική μας αδυναμία να ερμηνεύσουμε τα φαινόμενα και έδωσε το παράδειγμα: Οποιαδήποτε ανακοίνωση για το αποτέλεσμα μιας ναυμαχίας που θα γίνει την επόμενη μέρα θα είναι σωστή ή λάθος μετά το τέλος της ναυμαχίας. Πριν τη ναυμαχία καμία ανακοίνωση δε μπορεί να είναι αληθής.

Ο Καρνεάδης (214-129 π.Χ.), που έζησε στα ελληνιστικά χρόνια, έδωσε μια πρώτη έννοια της πιθανότητας ως μορφής γνώσης, αρνούμενος την ύπαρξη κριτηρίου της αλήθειας. Όπως γράφει ο Σέξτος ο Εμπειρικός, ο Καρνεάδης διέκρινε τρεις βαθμούς πιθανότητας (πιθανής γνώσης). Ο πρώ­τος βαθμός πιθανότητας, η πιθανή φαντασία, χρησιμοποιείται όταν ασχολούμαστε με κοινά πράγματα ή όταν δεν έχουμε καιρό. Π.χ. κάποιος κυνηγημένος φτάνοντας σε ένα χαντάκι φαντάζεται ότι μέσα στο χαντάκι είναι κρυμμένοι οι κυνηγοί του, οπότε χωρίς να το ξανασκεφθεί αλλάζει κατεύθυνση και φεύγει από το χαντάκι. Ο δεύτερος βαθμός πιθανότητας, η απερίσπαστος φαντασία, χρησιμοποιείται για σπουδαιότερα πράγματα όταν κάποια παράσταση που μας δημιουργείται δεν έρχεται σε αντίφαση με άλλες παραστάσεις του ίδιου λογικού πλαισίου. Π.χ. αν κινούμενοι σε σκοτεινό δωμάτιο δούμε ένα σκοινί στριμμένο αμέσως πηδάμε πάνω από αυτό γιατί το φανταζόμαστε ότι είναι φίδι, αλλά καθώς ξανακοιτάμε πίσω το σκοινί να είναι ακόμη ακίνητο, αποφασίζουμε ότι δεν είναι φίδι. Ο τρίτος βαθμός πιθανότητας, η διεξωδευμένη φαντασία, απαιτεί ένα ολόκληρο σύστημα από παραστάσεις να αποδειχθεί ότι έχει εσωτερική αλληλουχία και δεν αντιφάσκει με την εμπειρία. Π.χ. στο τελευταίο παράδειγμα με το σκοινί, αφού δούμε ότι είναι ακίνητο, σκεφτόμαστε ότι ενδέχεται να είναι ακίνητο λόγω του χειμερινού κρύου, γι' αυτό παίρνουμε ένα ραβδί και το κουνάμε. Εφόσον ούτε και τώρα βλέπουμε το σκοινί να κινείται καταλήγουμε να αποκλείσουμε ότι είναι φίδι. Ούτε όμως ο Καρνεάδης ούτε και κανείς άλλος στην αρχαιότητα, όρισε ποσοτική έννοια της πιθανότητας.

Αλλά και πολύ αργότερα ο Thomas Aquinas (1225-1274 μ.Χ.) θεωρούσε ότι ορισμένα γεγονότα ονομάζονται τυχαία διότι δεν έχουμε ή δεν μπορούμε να συγκεντρώσουμε όλες τις πληροφορίες για να τα ερμηνεύσουμε. Δίνει μάλιστα το παράδειγμα ενός αφεντικού που είχε δύο υπηρέτες και δίνει μυστικά στον καθένα την εντολή να είναι ορισμένη ώρα σε συγκεκριμένο μέρος. Όταν οι υπηρέτες συναντώνται το αποδίδουν στην τύχη, ενώ το αφεντικό γνώριζε ότι θα συναντηθούν.

Ο Spinoza (1632-1677) πίστευε ότι η άγνοια της πραγματικότητας μας οδηγεί να αποδίδουμε στην τύχη ορισμένα γεγονότα.

Παρ' όλα αυτά το τυχαίο χρησιμοποιήθηκε για πρακτικούς σκοπούς στην Αθηναϊκή πολιτεία. Στη νομοθεσία του Δράκοντα (624 ή 621 π.Χ.) η επιλογή των αρχόντων (βουλευτές, στρατηγοί) γινόταν με κλήρο και όχι με εκλογή. Όσοι κληρώνονταν για μια θητεία δεν μετείχαν στην επόμενη κλήρωση. Αυτό διατηρήθηκε και στη νομοθεσία του Σόλωνα (639-559 π.Χ.).

Η θεωρία Πιθανοτήτων αναπτύχθηκε από την ανάγκη να αντιμετωπισθούν πρακτικά προβλήματα. Ο 17^ος  αιώνας χαρακτηρίζεται από την ανάπτυξη του διεθνούς εμπορίου και την πληρωμή ασφαλίστρων, όπου έπρεπε να ληφθούν υπόψη τα ατυχήματα κατά τη μεταφορά.

Επίσης η οργάνωση του κράτους με τα νέα δεδομένα απαιτούσε υπολογισμούς εσόδων και εξόδων. Γνωστοί μαθηματικοί συμβούλευαν τους ηγεμόνες για το ποσό που αναμένεται να συγκεντρωθεί από φόρους, για το πλήθος των κατοίκων της χώρας ή του στρατού κλπ. Αναφέρεται ότι ο Leonard Euler (1707-1783) έδωσε συμβουλές στο βασιλιά Frederick της Πρωσίας το 1754 και το 1763 για την τιμή πώλησης των κρατικών λαχείων.

Τέλος η ανάπτυξη της αστρονομίας οδήγησε τον Galileo Galilei (1564­1642) να μελετήσει τα σφάλματα των παρατηρήσεων που τα θεωρούσε τυχαία.

Τα προβλήματα αυτά ήταν σύνθετα και δύσκολα, γι' αυτό οι πρώτοι ποσοτικοί υπολογισμοί της πιθανότητας δόθηκαν σε πιο απλά προβλήματα, όπως αυτά που προέκυπταν από τυχερά παιχνίδια.

Η αλληλογραφία, γύρω στα 1650 των Blaise Pascal (1623-1662) και Pierre de Fermat (1601-1665) περιέχει τον υπολογισμό πιθανοτήτων σε αρκετά παραδείγματα από τυχερά παιχνίδια. Είχε προηγηθεί ο υπολογισμός των πιθανοτήτων στη ρίψη κύβου (ζαριού) ή κύβων, όπως δίνεται στο βιβλίο του G. Cardano (1501-1576) που δημοσιεύτηκε το 1663 ένα αιώνα περίπου μετά το θάνατό του.

Οι υπολογισμοί αυτοί γίνονταν με συνδυαστικές μεθόδους και για συμμετρικά ζάρια. Τους υπολογισμούς του Gardano έκανε με μαθηματική μεθοδικότητα και ο G. Galilei.

Τα πρώτα βιβλία στις πιθανότητες ήταν των Cristjaan Huygens (1629­1695) με τίτλο "De Ratiociniis in Aleae Ludo", το 1657 και του Jacob Bernoulli (1654-1705) με τίτλο ''Ars Conjectandi" που τυπώθηκε μετά το θάνατό του το 1713. Η κλασική θεωρία πιθανοτήτων θεμελιώθηκε από τον Ρ.S. Laplace (1749-1827) με το βιβλίο του "Theοrie Analytique des Probabilites", το 1795. Σημαντική ήταν και η συμβολή των Gauss (1777-1855), Poisson (1781-1840), de Montmort (1678-1719), de Moivre (1667-1754), V. Bounjatovski (1804-1889).

Η ανάγκη για μια αξιωματική θεμελίωση της θεωρίας πιθανοτήτων με μαθηματική αυστηρότητα παρουσιάσθηκε από τον D. Hilbert στον κατάλογο των σπουδαίων άλυτων προβλημάτων που έδωσε το 1900. Η πρώτη σοβαρή, προσπάθεια σ' αυτήν την κατεύθυνση έγινε από τον von Mises το 1919 χωρίς ικανοποιητικά αποτελέσματα. Η σημερινή αξιωματική θεμελίωση οφείλεται στον Α.Ν. Kolmogorov το 1933 που παρουσίασε τις πιθανότητες ως ειδική περίπτωση της θεωρίας μέτρου.

Η θεωρία του Kolmogorov, δεν είναι μόνον απλή και ικανοποιητική όσον αφορά τη μαθηματική αυστηρότητα, αλλά έβαλε και τα θεμέλια για τις εφαρμογές της θεωρίας πιθανοτήτων. Προβλήματα, όπου η πιθανότητα δεν έχει πεπερασμένη τιμή και παρουσιάζονται στη στατιστική μηχανική, κβαντική μηχανική, τη στατιστική Bayes κ.λπ. δεν αντιμετωπίζονται με τη θεμελίωση του Kolmogorov που θεωρεί ότι η πιθανότητα παίρνει τιμές στο διάστημα [0, 1]. Έτσι αναπτύχθηκε από τον Α. Renyi το 1955 μία αξιωματική θεμελίωση βασισμένη στις δεσμευμένες πιθανότητες.