Μαθηματική ξενάγηση

"Κινηματική Γεωμετρία": Η τριχοτόμηση μιας οξείας γωνίας με animations (Αρχιμήδης και Νικομήδης)

Εκτός από τα προβλήματα που επιλύονται στο πλαίσιο της Ελληνικής γεωμετρικής παράδοσης του Ευκλείδη, εμφανίστηκαν και τα γνωστά ως άλυτα (ή πιο σωστά ως μη επιλύσιμα) προβλήματα γεωμετρικών κατασκευών της αρχαιότητας:
   Τετραγωνισμός του κύκλου
   Διπλασιασμός του κύβου
   Τριχοτόμηση μιας οξείας γωνίας 
   Κατασκευή κανονικών πολυγώνων
Στην αρχαιότητα, σημαντική συμβολή στην επίλυση των άλυτων προβλημάτων είχαν οι μεγάλοι Έλληνες γεωμέτρες όπως, για παράδειγμα, ο Ιππίας ο Ηλείος, ο Αρχιμήδης ο Συρακούσιος, ο Νικομήδης, ο Ιπποκράτης ο Χίος.  Ευτυχώς, τις πρώτες λύσεις αυτών των προβλημάτων διέσωσαν τόσο ο Πάππος στη Μαθηματική Συναγωγή του και ο Ευτόκιος στα σχόλια του στο «Περί σφαίρας και κυλίνδρου» του Αρχιμήδη.
Κύριο χαρακτηριστικό αυτών των προβλημάτων ήταν η αδυναμία εκτέλεσης των κατασκευών τους με τη βοήθεια χάρακα και διαβήτη. Όμως, αυτή η αποτυχία των αρχαίων Ελλήνων είχε ως αποτέλεσμα την επινόηση νέων εργαλείων, τεχνικών και μεθόδων που οδήγησαν τον εμπλουτισμό της «Ευκλείδειας Γεωμετρίας».
Έτσι, επινοήθηκαν νέες καμπύλες όπως, για παράδειγμα, η τριχοτομούσα ή τετραγωνίζουσα του Ιππία, η κογχοειδής καμπύλη του Νικομήδη και η έλικα (ή σπείρα) του Αρχιμήδη.
Επιπλέον, μαζί με αυτά τα προβλήματα που αδυνατεί να αντιμετωπίσει η Ευκλείδεια παράδοση, άρχισε να εφαρμόζεται με ιδιαίτερη επιτυχία και η μέθοδος της νεύσης. Όμως, το πιο σημαντικό είναι ότι δόθηκε περαιτέρω ώθηση στη μελέτη των κωνικών τομών (έλλειψη, παραβολή, υπερβολή).
Με σκοπό να γνωρίσουμε ορισμένες από τις μεθόδους και τις καμπύλες που επινόησαν οι αρχαίοι Έλληνες για την επίλυση του προβλήματος της τριχοτόμησης μιας οξείας γωνίας επιλέξαμε κατασκευαστικές προσεγγίσεις που προτάθηκαν από δύο Γεωμέτρες: τον Αρχιμήδη και το Νικομήδη.

Ιδιαίτερο ενδιαφέρον παρουσιάζει η μέθοδος «νεύσης» που εντάσσεται στη λεγόμενη «Κινηματική Γεωμετρία» για τη δημιουργία χρήσιμων καμπυλών.

Με τον όρο «Κινηματική Γεωμετρία» εννοούμε τη Γεωμετρία που επιτρέπει την κίνηση και την περιστροφή ευθύγραμμων τμημάτων με σκοπό την επίλυση ενός προβλήματος το οποίο αδυνατούμε να λύσουμε στο πλαίσιο της «Ευκλείδειας Γεωμετρίας».
Σ’ αυτήν την περίπτωση, η προσέγγιση του προβλήματος περιλαμβάνει συλλογισμούς που τελικά μας οδηγούν στη λύση του.

1.Η προσέγγιση του Αρχιμήδη με τη μέθοδο της απλής «νεύσις»    

Έστω ότι ΒΟΓ η δοσμένη γωνία. Ας αξιοποιήσουμε τη γνωστή μέθοδο «Ανάλυση – Σύνθεση – Απόδειξη» όπως αυτή εφαρμόζεται συνήθως στις Ευκλείδειες κατασκευές (Α’ Λυκείου) χωρίς να ακολουθούμε επακριβώς τα βήματα που ακολούθησε ο Αρχιμήδης.

Υποθέτουμε ότι η δοθείσα γωνία έχει διαιρεθεί σε τρία ίσα μέρη. Φτιάχνουμε έναν κύκλο τυχαίας ακτίνας R και προεκτείνουμε την πλευρά ΒΟ μέχρι το σημείο Α.
Παίρνουμε ένα σημείο Ε πάνω στην προέκταση ΟΑ και το ενώνουμε με το Γ οπότε σχηματίζεται το τρίγωνο ΟΕΓ με το Δ να είναι σημείο τομής της ΕΓ με τον κύκλο.

Έτσι, καταφέραμε να συνδέσουμε τη δοσμένη γωνία ΒΟΓ με το τρίγωνο ΟΕΓ που ήδη κατασκευάσαμε: η ΒΟΓ είναι εξωτερική γωνία του τριγώνου.

Τώρα, χρειαζόμαστε μια νέα  ιδέα - υπόθεση αδιαφορώντας για το αν μπορεί να υλοποιηθεί με χάρακα και διαβήτη!
Υποθέτουμε ότι η ΕΔ είναι ίση με την ακτίνα του κύκλου.
Σ’ αυτήν την περίπτωση σχηματίζονται δύο ισόπλευρα τρίγωνα, το ΕΔΟ και το ΔΟΓ.
Ας ονομάσουμε τη γωνία ΟΕΔ = φ οπότε ΕΟΔ = φ.
Τότε, εύκολα συμπεραίνουμε ότι ΟΔΓ = 2φ.
Τελικά, η δοσμένη γωνία ΒΟΓ = 3φ και η τριχοτομούσα είναι παράλληλη στην ΕΓ.

Η ιδέα αποδείχθηκε ιδιαίτερα γόνιμη μια και μας οδήγησε στη λύση του προβλήματος.
Στη συνέχεια, το πρόβλημα που έχουμε να λύσουμε ανάγεται στην παρεμβολή ενός ευθυγράμμου τμήματος ΕΔ = R μεταξύ μιας ευθείας ΟΑ (προέκταση της μιας πλευράς της γωνίας) και ενός δοσμένου κύκλου ακτίνας R (με κέντρο την κορυφή της εγγεγραμμένης γωνίας προς τριχοτόμηση) ενώ η προέκτασή της να διέρχεται από το σημείο Γ.

Σημείωση: Σ’ αυτή τη μέθοδο επίλυσης κατασκευών οι αρχαίοι έδωσαν το όνομα νεύσις (από το ρήμα νεύω = σκοπεύω, κατευθύνομαι) επειδή βασίζεται στη δέσμευση:

“Tο παρεμβαλλόμενο ευθύγραμμο τμήμα να τοποθετείται μεταξύ δύο δοσμένων γραμμών (εδώ, μιας ευθείας και ενός κύκλου) και να νεύει - κατευθύνεται προς ένα συγκεκριμένο σημείο”. 

Στη γενική περίπτωση, με αφετηρία
i) ένα ευθύγραμμο (ΑΒ) τμήμα μήκους α
ii) δύο καμπύλες (Κ1) και (Κ2) και
iii) ένα σημείο Ο
επιθυμούμε να τοποθετηθεί το ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ μεταξύ των δύο καμπύλων έτσι ώστε τα άκρα του να είναι πάνω στις καμπύλες αντίστοιχα και να κατευθύνεται προς ένα δοσμένο σημείο Ο.  Για να το πετύχουμε, επομένως, θα πρέπει να φροντίσουμε το ένα άκρο να κινείται συνεχώς πάνω στη μια καμπύλη (Κ1) και να κατευθύνεται προς το σημείο (Ο). Η επιθυμητή παρεμβολή επιτυγχάνεται μόνο τη στιγμή που η άλλη άκρη Β βρίσκεται πάνω στη δεύτερη καμπύλη (Κ2).
Η ιδέα της «νεύσις» αποδείχθηκε ιδιαίτερα χρήσιμη ως μέθοδος για την επίλυση των προβλημάτων γεωμετρικών κατασκευών που δεν επιλύονται με χάρακα και διαβήτη.

Μια πρόταση animation της τριχοτόμησης γωνίας με «νεύση» στο Scratch 2.0. 

Με βάση την παραπάνω διαδικασία φτιάξαμε ένα μικρό πρόγραμμα παρουσίασης της τριχοτόμησης μιας οξείας γωνίας με τρόπο που να γίνεται αντιληπτή η μέθοδος της νεύσης. Στη συγκεκριμένη περίπτωση εφαρμόζουμε την πιο απλή περίπτωση νεύσης μια και είμαστε τυχεροί που διαθέτουμε τόσο τις δύο καμπύλες (μια ευθεία ΟΑ και έναν κύκλο ακτίνας R) όσο και το σημείο C (πάνω στον κύκλο) προς το οποίο «νεύει» το παρεμβαλλόμενο τμήμα μήκους R.
Σε όλες τις φάσεις κατασκευής της ευθείας που τριχοτομεί τη δοσμένη γωνία χρησιμοποιούμε τόσο το χάρακα και το διαβήτη (για τον κύκλο, την προέκταση της μιας πλευράς και την παράλληλη μεταφορά της παρεμβαλλόμενης ευθείας) όσο και τη μέθοδο της νεύσης για τη «σάρωση» και τον προσδιορισμό της κατάλληλης τοποθέτησης της ΑDΓ

http://scratch.mit.edu/projects/15760422/  (ψευδώνυμο dapontesgr)

Applet Scratch 1

2. Η πρόταση του Νικομήδη με τη μέθοδο της «νεύσις» και της κογχοειδούς καμπύλης

Τη δεύτερη προσέγγιση την οφείλουμε κυρίως στο Νικομήδη (200 π.Χ.) και αξιοποιεί τη μέθοδο της νεύσης. Αυτή τη φορά, όπως θα δούμε, δεν διαθέτουμε δεύτερη καμπύλη για να εφαρμόσουμε τη μέθοδο της νεύσης όπως τη γνωρίσαμε στην προσέγγιση του Αρχιμήδη.

Ανάλυση: Έστω ΑΟΒ η δοσμένη γωνία με το Α να είναι τυχαίο σημείο της μιας πλευράς
και ΑΒ η κάθετος στην άλλη.

Υποθέτουμε ότι η ΟΝ διαιρεί τη δοσμένη γωνία και την προεκτείνουμε. Από το Α φέρουμε μια ευθεία παράλληλη προς την ΟΒ η οποία τέμνει την προέκταση της 0Ν στο σημείο Μ. Στη συνέχεια ενώνουμε το σημείο Α με το μέσο Ε της ΝΜ. Παρατηρούμε ότι η ΝΜ κατευθύνεται προς στο σημείο Ο ενώ εύκολα αποδεικνύεται ότι
η ΝΜ = 2 (ΟΑ).  Τώρα, είμαστε έτοιμοι να προχωρήσουμε στη φάση της σύνθεσης.

Σύνθεση:  Οφείλουμε να βρούμε έναν τρόπο να παρεμβάλλουμε το ευθύγραμμο τμήμα ΝΜ (με γνωστό μήκος διπλάσιο του ΟΑ) μεταξύ της ευθείας ΑΜ και του ευθύγραμμου τμήματος ΑΒ και έτσι ώστε να «νεύει» προς το σημείο 0. Η ιδέα που προτάθηκε από τους αρχαίους Έλληνες γεωμέτρες είναι η ακόλουθη:
Προεκτείνουμε την ΟΑ πάνω στην πλευρά της γωνίας κατά 2 (ΟΑ) και εκεί σημειώνουμε το σημείο Μ1.  Παίρνουμε ένα άλλο σημείο πάνω στην ΑΒ κοντά στο Α και φτιάχνουμε μια ευθεία που την προεκτείνουμε κατά 2 (ΟΑ) φροντίζοντας να διέρχεται από το σημείο 0. Έτσι, βρίσκουμε και ένα δεύτερο σημείο Μ2. Επαναλαμβάνουμε την ίδια ακριβώς διαδικασία και με πολλά άλλα σημεία πάνω στην ΑΒ. Τελικά, όλα αυτά τα σημεία Μ1, Μ2, Μ3….σχηματίζουν μια καμπύλη που ονομάζεται «κογχοειδής του Νικομήδη».
Τώρα, το επιθυμητό σημείο Μ εντοπίζεται ως η τομή της ευθείας που άγεται από το Α, παράλληλα προς την ΟΒ, και της καμπύλης του Νικομήδη.
Από τα παραπάνω συνάγεται ότι όλα τα βήματα της ανάλυσης γίνονται με χάρακα και διαβήτη ενώ για την κατασκευή χρειάζεται να εφαρμοστεί η μέθοδος της νεύσης ώστε να σχεδιαστεί πρώτα η κογχοειδής καμπύλη και στη συνέχεια να εντοπιστεί το σημείο Μ.

Μια πρόταση animation της τριχοτόμησης με τη βοήθεια της «κογχοειδούς καμπύλης» στο Scratch

Με βάση την παραπάνω διαδικασία φτιάξαμε ένα μικρό πρόγραμμα παρουσίασης της τριχοτόμησης μιας οξείας γωνίας. Αυτή τη φορά παρουσιάζεται η μέθοδος της νεύσις αφού πρώτα ο χρήστης επιλέξει τόσο τη γωνία που θέλει να τριχοτομηθεί όσο και τη θέση του σημείου Α πάνω στη μια πλευρά της γωνίας ΑΟΒ, με τη βοήθεια δύο μεταβολέων.

Επιπλέον, η παρουσίαση γίνεται με τέτοιο τρόπο ώστε να γίνεται αντιληπτή η μέθοδος της νεύσης. Αυτό επιτυγχάνεται με τη χρήση ενός αντικειμένου - μάγισσα που κινείται και σχεδιάζει πάνω στην οθόνη τόσο τα σημεία της καμπύλης (με βάση την ΑΒ και πόλο το σημείο 0) όσο και την ευθεία που τριχοτομεί τη δοσμένη γωνία.
Φανταζόμαστε ότι η μάγισσα κινείται ευθύγραμμα και ομαλά πάνω στη βάση (ΑΒ) μεταφέροντας ένα ευθύγραμμο τμήμα το οποίο
α) κατευθύνεται συνεχώς προς τον πόλο 0 και
β) έχει για αρχή τη θέση της μάγισσας και μήκος ίσο με το διπλάσιο του (ΟΑ).
Η άλλη άκρη του ευθύγραμμου τμήματος αφήνει ένα «σημαδάκι» που αποτελεί και σημείο της καμπύλης. Ενώνοντας όλα τα σημεία παίρνουμε την κογχοειδή καμπύλη του Νικομήδη.