Εδώ θα δείτε δραστηριότητες των μαθητών σε διάφορες διδακτικές ενότητες. Άλλοτε αφορούν ομαδοσυνεργατικές δράσεις με χρήση φύλλου εργασίας, άλλοτε χρήση νέων τεχνολογιών στο εργαστήριο πληροφορικής κι άλλοτε πειραματικές δράσεις με χειραπτικά αντικείμενα ή μεταφορά προβλημάτων στην πραγματικότητα.
1. ΟΙ ΑΡΡΗΤΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ... ΔΟΛΟΦΟΝΗΣΑΝ ΤΕΛΙΚΑ ΤΟΝ ΙΠΠΑΣΟ(;)
ΒΙΩΜΑΤΙΚΟ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΣΥΝΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΛΟΓΟΤΕΧΝΙΑΣ
Πραγματοποιήθηκε από εμένα ως μαθηματικός και η κ. Κοτρώνη Σταματία ως φιλόλογος μια συνδιδασκαλία μαθηματικών και λογοτεχνίας στο Β1 τμήμα του γυμνασίου Σημάντρων σε δύο διδακτικές ώρες. Αφορμή ένα απόσπασμα μαθηματικής λογοτεχνίας που επιλέξαμε από το βιβλίο του κ. Τεύκρου Μιχαηλίδη "Μιλώντας στην Άννα για τα μαθηματικά". Η Άννα και ένας παλαίμαχος μαθηματικός είναι γείτονες τα καλοκαίρια στα εξοχικά τους. Συζητούν μεταξύ τους μαθηματικά θέματα. Στο κείμενό μας συζητούν για το πυθαγόρειο θεώρημα , τους άρρητους αριθμούς και την δολοφονία του Πυθαγόρειου Ίππασου που δεν κράτησε το στόμα του κλειστό! Στους μαθητές μοιράστηκαν - εκτός από το κείμενο - από ένα φύλλο εργασίας μαθηματικών και λογοτεχνίας. Χωρισμένοι σε ομάδες των 4 ατόμων διαπραγματευόταν από μια δραστηριότητα μαθηματικών και λογοτεχνίας εναλλάξ. Οι επιμέρους διδακτικοί στόχοι των μαθηματικών δραστηριοτήτων που δόθηκαν ήταν :
1.
Την κατανόηση τι σημαίνει ότι ο ρίζα 2 είναι άρρητος
αριθμός και γιατί αυτό αποδόμησε την πυθαγόρεια φιλοσοφία φέρνοντας μια σοβαρή
κρίση στην μαθηματική κοσμοθεωρία περί αριθμών.
2.
Την κατανόηση πως η ανακάλυψη των άρρητων αριθμών
συνδέθηκε με τον υπολογισμό του μήκους της διαγωνίου τετραγώνου πλευράς 1
3.
Την κατασκευή τετραγώνου με διπλάσιο εμβαδόν από το
αρχικό. Πρόκειται για κατασκευή που άνοιξε ελπίδες για ανάλογη κατασκευή με
κανόνα και διαβήτη του διπλασιασμού κύβου (Δήλιο πρόβλημα).
4.
Κατασκευή με χάρακα και διαβήτη του ρίζα 2 πάνω σε ένα
άξονα.
Δείτε αναλυτικά στοιχεία παρακάτω:
2. ΙΣΕΜΒΑΔΙΚΑ ΚΑΙ ΙΣΑ ΣΧΗΜΑΤΑ
H μάθηση στα μαθηματικά δεν επιτυγχάνεται μόνο με τον μονόλογο του καθηγητή και την τεχνική επίλυσης ασκήσεων. Ενίοτε απαιτείται η ενασχόληση των μαθητών με δραστηριότητες με μορφή ομαδοσυνεργατικών εργασιών. Με τη χρήση χειραπτικών αντικειμένων της πραγματικότητας και τεχνικές παιχνιδιού οι μαθητές ανακαλύπτουν μαθηματικές ιδιότητες με τρόπο άμεσο . διαισθητικό και κοντά στα ενδιαφέροντά τους. Μια τέτοια προσπάθεια έγινε στη γεωμετρία β΄ γυμνασίου.
Προβληματισμός : Τα ισεμβαδικά (ίσου εμβαδού) σχήματα είναι υποχρεωτικά ίσα;
Πορεία: Οι μαθητές κλήθηκαν με 4 ίσα ισοσκελή ορθογώνια τρίγωνα να κατασκευάσουν τραπέζιο , ορθογώνιο , τετράγωνο και παραλληλόγραμμο. Η μέθοδος του χρησιμοποίησαν ήταν αυτή του ταιριάσματος των 4 τριγώνων σαν κομμάτια ενός παζλ. Η ενασχόληση τράβηξε το ενδιαφέρον των μαθητών και τα αποτελέσματα ήταν ικανοποιητικά. Κόλλησαν τα σχήματα σε ένα χαρτόνι το οποίο θα κοσμεί την τάξη τους για να υπενθυμίζει εποπτικά την νέα γεωμετρική τους ανακάλυψη. Ε όχι τα ισεμβαδικά σχήματα μπορεί να μην είναι ίσα. Το τραπέζιο το ορθογώνιο , το τετράγωνο και το παραλληλόγραμμο που σχημάτισαν έχουν ίσα εμβαδά όσο τα 4 ίσα ισοσκελή τρίγωνα που χρησιμοποίησαν στο καθένα. Δεν είναι όμως ίσα αφού πρόκειται για εντελώς διαφορετικά σχήματα!
\
Πορεία: Οι μαθητές κλήθηκαν με 4 ίσα ισοσκελή ορθογώνια τρίγωνα να κατασκευάσουν τραπέζιο , ορθογώνιο , τετράγωνο και παραλληλόγραμμο. Η μέθοδος του χρησιμοποίησαν ήταν αυτή του ταιριάσματος των 4 τριγώνων σαν κομμάτια ενός παζλ. Η ενασχόληση τράβηξε το ενδιαφέρον των μαθητών και τα αποτελέσματα ήταν ικανοποιητικά. Κόλλησαν τα σχήματα σε ένα χαρτόνι το οποίο θα κοσμεί την τάξη τους για να υπενθυμίζει εποπτικά την νέα γεωμετρική τους ανακάλυψη. Ε όχι τα ισεμβαδικά σχήματα μπορεί να μην είναι ίσα. Το τραπέζιο το ορθογώνιο , το τετράγωνο και το παραλληλόγραμμο που σχημάτισαν έχουν ίσα εμβαδά όσο τα 4 ίσα ισοσκελή τρίγωνα που χρησιμοποίησαν στο καθένα. Δεν είναι όμως ίσα αφού πρόκειται για εντελώς διαφορετικά σχήματα!
\
3. ΧΡΗΣΗ ΚΑΡΤΩΝ ΣΤΗΝ ΕΠΙΛΥΣΗ ΕΞΙΣΩΣΗΣ 1ΟΥ ΒΑΘΜΟΥ
Η παρακάτω δραστηριότητα πραγματοποιήθηκε στην αίθουσα διδασκαλίας για την εισαγωγή στα βήματα επίλυσης εξισώσεων α΄βαθμού στην άλγεβρα β΄ γυμνασίου. Πρόκειται για χρήση χειραπτικών αντικειμένων και συγκεκριμένα καρτών που κολλιούνται με ζιλοτέιπ στον πίνακα. Επιμέρους στόχος η καλύτερη κατανόηση του χωρισμού γνωστών από αγνώστους. Ένα βήμα που συχνά οι μαθητές κάνουν συχνά λάθη στα πρόσημα κατά την μεταφορά των όρων από το ένα μέλος της εξίσωσης στο άλλο. Τα υλικά που χρησιμοποιήθηκαν ήταν:
1. Κάρτες
2, Ψαλίδι
3. Ζιλοτέιπ
Πορεία διδασκαλίας
Για τη διαδικασία χωρισμού γνωστών από αγνώστων μπορούμε χρησιμοποιήσαμε λοιπόν κάρτες που αναγράφουν τους όρους της εξίσωσης. Οι κάρτες κολλήθκαν στην σειρά στον πίνακα με σιλοτέιπ. Ακόμη θα μπορούσαν να υπάρχουν μπροστά στους μαθητές ώστε να τις διαχειρίζονται οι μαθητές ομαδοσυνεργατικά. Εδώ επιλέξαμε για λόγους συντομίας της διδακτικής διαδικασίας την επίδειξη απόν τον διδάσκοντα.Οι κάρτες με τα πρόσημα είναι διπλής όψης, Στην μια μεριά δηλαδή περιέχουν το + και στην άλλη το - . Έτσι αν γίνει μεταφορά μιας κάρτας στο άλλο μέλος αναποδογυρίζουμε την κάρτα προσήμου για να αλλάξει το πρόσημο του όρου. Δόθηκε η ευκαιρία και στους μαθητές να κάνουν τις αντίστοιχες μεταφορές όρων και να αποκτήσουν προσωπική επαφή και ενασχόληση.
Διδακτικά οφέλη
Έτσι μπορεί να γίνει κινητικά με πραγματικά αντικείμενα επίδειξη μεταφοράς από το ένα μέλος στο άλλο. Πετυχαίνουμε επίσης καλύτερη εννοιολογική κατανόηση για το ποιοι όροι παραμένουν ακίνητοι και δεν αλλάζουν πρόσημο και ποιοι μετακινούνται και αλλάζουν. Οι μαθητές κατανοούν καλύτερα την μεταφορά των όρων και ποια πρόσημα παραμένουν τα ίδια και ποια αλλάζουν μέσα από χειραπτικά αντικείμενα και διαδικασίες παιχνιδιού που εδραιώνει τη γνώση.
Διδακτικά οφέλη
Έτσι μπορεί να γίνει κινητικά με πραγματικά αντικείμενα επίδειξη μεταφοράς από το ένα μέλος στο άλλο. Πετυχαίνουμε επίσης καλύτερη εννοιολογική κατανόηση για το ποιοι όροι παραμένουν ακίνητοι και δεν αλλάζουν πρόσημο και ποιοι μετακινούνται και αλλάζουν. Οι μαθητές κατανοούν καλύτερα την μεταφορά των όρων και ποια πρόσημα παραμένουν τα ίδια και ποια αλλάζουν μέσα από χειραπτικά αντικείμενα και διαδικασίες παιχνιδιού που εδραιώνει τη γνώση.
4. ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΕΞΙΣΩΣΗ : ΣΤΟ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ
Μάθημα 1 : Γραμμική εξίσωση - γ γυμνασίου
Μάθημα 1 : Γραμμική εξίσωση - γ γυμνασίου
Χρησιμοποιήθηκε το αρχείο : " Κερματοδέκτης" από τη συλλογή μικροπειραμάτων μου στο Geogebra Tube. Δόθηκε ως αφόρμηση το ρεαλιστικό πρόβλημα : " Ένας κερματοδέκτης δέχεται νομίσματα του 1 και των 2 ευρώ.Ανοίχτηκε μια μέρα και περιείχε 24 ευρώ.Πόσα ήταν τα νομίσματα του 1 και πόσα των 2 ευρώ;". Με την καδοθήγηση του διδάσκοντα στο περιβάλλον του Geogebra είδαμε ότι το πρόβλημα οδηγεί στην επίλυση της γραμμικής εξίσωσης με δύο αγνώστους : x +2y = 24. Οι λύσεις της αντιστοιχούν στα σημεία της ευθείας με ακέραιες συντεταγμένες, Εμφανίστηκε πίνακας με όλες τις δυνατές λύσεις και έγινε επαλήθευση. Το πρόβλημα δεν έχει μοναδική λύση. Μια γραμμική εξίσωση με δύο αγνώστους έχει άπειρες λύσεις που οπτικοποιούνται με τα ζεύγη συντεταγμένων μιας ευθείας. Στην συνέχεια είδαμε ένα παρόμοιο πρόβλημα με τίτλο : "Δίκλινα και τρίκλινα δωμάτια".
Μάθημα 2 : Γραφική επίλυση συστημάτων δύο εξισώσεων με δύο αγνώστους
5.ΔΙΑΓΩΝΙΣΤΙΚΟ ΔΙΑΔΡΑΣΤΙΚΟ ΠΑΙΧΝΙΔΙ :"ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΔΙΑ . . . ΛΟΓΟΥ"
6. ΠΕΙΡΑΜΑ ΤΟΥ ΕΡΑΤΟΣΘΕΝΗ ΣΤΗΝ ΜΕΤΡΗΣΗ ΤΗΣ ΠΕΡΙΜΕΤΡΟΥ ΚΑΙ ΤΗΣ ΑΚΤΙΝΑΣ ΤΗΣ ΓΗΣ
Γενικά
Την Τετάρτη 12 Δεκεμβρίου 2018 προχωρήσαμε στην δράση με τίτλο : "Μαθηματικά δια . . . λόγου" στα πλαίσια του εορτασμού για το 2018 ως Έτους Μαθηματικών. Αφιερώσαμε για το σκοπό αυτό όλες τις διδακτικές ώρες. Ήταν μια μέρα αφιερωμένη στα Μαθηματικά παιχνίδια. Μαθηματικά και παιχνίδι λοιπόν. Η ευχάριστη και ελκυστική όψη των μαθηματικών. Εμπλουτίσαμε τη δράση με παιχνίδι στη γλώσσα για τους μαθητές του Λυκείου που αφορούσε λεξιλογικές ασκήσεις. Έτσι δόθηκε ένας διαθεματικός χαρακτήρας στη δράση Διοργανωτές ήταν ο μαθηματικός κ. Μόσχος Αλέξανδρος για το γυμνάσιο και η φιλόλογος κ. Κοτρώνη Σταματία για το Λύκειο.
Προετοιμασία της δράσης
Αρχικά τυπώσαμε την αφίσα που φαίνεται αριστερά και με την οποία ενημερώσαμε τους μαθητές. Στη συνέχεια περάσαμε από τις τάξεις και συγκεντρώσαμε τις συμμετοχές. To ενθαρρυντικό ήταν ότι η συμμετοχή ήταν μεγάλη από όλα τα τμήματα. Χωρίσαμε τους μαθητές κάθε τάξης σε 4 ομάδες.Φροντίσαμε σε κάθε ομάδα να υπάρχουν μαθητές διαφορετικών βαθμολογικών ικανοτήτων. Αναρτήσαμε στον πίνακα ανακοινώσεων του σχολείου τα ονόματα των παιδιών ανά ομάδα και τάξη. Προμηθευτήκαμε κουδουνάκια για γρήγορη απάντηση και έναν μικρό πίνακα με μαρκαδόρους και σφουγγάρι για την καταχώριση της βαθμολογίας. Τυπώσαμε επαίνους για κάθε μέλος από τις νικήτριες ομάδες και προμηθευτήκαμε λογοτεχνικά βιβλία για δώρα στους νικητές.
Η πραγματοποίηση
Την μέρα του παιχνιδιού κάθε δυο ομάδες της ίδιας τάξης μετείχαν σε διαδραστικό - διαγνωστικό παιχνίδι 10 ερωτήσεων Μετά την ανάγνωση και επεξήγηση της ερώτησης δινόταν χρόνος 2 λεπτών στις ομάδες να σκεφτούν και να απαντήσουν.Η κάθε ομάδα είχε ένα κουδουνάκι ώστε να το χτυπάει όταν ήταν έτοιμη να απαντήσει. Την απάντηση έδινε η γρηγορότερη ομάδα. Αν απαντούσε σωστά κέρδιζε 10 βαθμούς. Αν έδινε λάθος απάντηση δινόταν ο λόγος στην άλλη ομάδα που είχε χρόνο 30 δευτερολέπτων. Αν απαντούσε σωστά κέρδιζε αυτή τους 10 βαθμούς διαφορετικά δεν υπήρχε νικήτρια ομάδα σε αυτήν την ερώτηση. Στη συνέχεια διαγωνιζόταν οι δυο επόμενες ομάδες και στο τέλος οι δυο νικήτριες που προηγούμενων αγώνων στο τελικό. Τα παιχνίδια συνεχιζόταν για κάθε τάξη. Παρουσιαστής του παιχνιδιού ήταν ο φυσικός κ. Κακουλίδης Δημήτριος. Η συνάδερφος κ. Ζουμπουλίδου Ελένη καταχωρούσε τους βαθμούς σε έναν πίνακα με μαρκαδόρο και παρουσίαζε στο κοινό την τελική βαθμολογία καθώς και την νικήτρια ομάδα κάθε παιχνιδιού. Με τον τρόπο αυτό ανακηρύχτηκαν έξι νικήτριες ομάδες - μία από κάθε τάξη γυμνασίου και Λυκείου. Οι μαθητές των νικητριών ομάδων βραβεύτηκαν στη συνέχεια και τους δόθηκε ένα δώρο με την ευγενική χορηγία της Σχολικής Επιτροπής του σχολείου μας. Συγκεκριμένα ο κάθε μαθητής στην τελική απονομή των νικητών έπαιρνε έναν αναμνηστικό έπαινο με την σφραγίδα του σχολείου κι ένα βιβλίο.
Απολογισμός
Συγκινητικό ήταν ότι παιδιά με μαθησιακές δυσκολίες βραβεύτηκαν στον διαγωνισμό καθώς η ομάδα τους νίκησε κι αυτό ήταν πολύ ενθαρρυντικό για αυτά τα παιδιά. Υπήρξε επίσης μαθητής που ανέφερε ότι : "Ήταν η πρώτη φορά που πήρα έπαινο στο σχολείο". Το κλίμα ήταν πολύ ενθουσιώδες και οι μαθητές μετέφεραν ευχάριστες εντυπώσεις από όλη τη δράση. Υπόσχεση μας να καθιερώσουμε αυτή αυτή τη δράση και στις επόμενες σχολικές χρονιές!
Με αφορμή τη συμπλήρωση των 100 χρόνων από την ίδρυση της Ελληνικής Μαθηματικής Εταιρείας το Υπουργείο Παιδείας ανακήρυξε το 2018 ως "Έτος Μαθηματικών". Έτσι στα πλαίσια αυτού του εορτασμού προχωρήσαμε στην εκτέλεση του πειράματος του Ερατοσθένη στις 20 Μαρτίου 2018 ημέρα της εαρινής μεσημβρίας. Το πείραμα έγινε με τη συνεργασία του Ινστιτούτου Αστρονομίας , Αστροφυσικής , Διαστημικών Εφαρμογών και Τηλεπισκόπησης του Εθνικού Αστεροσκοπείου Αθηνών και του Ε.Κ.Φ.Ε Νομού Σερρών.(Δείτε σχετικές πληροφορίες στην ιστοσελίδα του Αστεροσκοπείου Αθηνών : https://www.astro.noa.gr/gr/eratosthenes/#sl_i4 και του Ε.Κ.Φ.Ε Σερρών : http://ekfe.ser.sch.gr/site/index.php/en/peirama-eratostheni/187-astronomia-10 . Μαζί με μας συμμετείχαν πολλά σχολεία από όλη την Ελλάδα. Στον παρακάτω διαδραστικό χάρτη θα δείτε τα σχολεία αυτά.
Το πείραμα πραγματοποίησαν οι μαθητές της Β Λυκείου χωρισμένοι σε ομάδες των 5 ατόμων. Επειδή το πείραμα έγινε με αφορμή του "Έτους Μαθηματικών" όλο το σχολείο παρακολούθησε μια δράση που αφορούσε την ιστορία των μαθηματικών , την χρησιμότητα τους , τη σχέση τους με τη φιλοσοφία , με την αθηναϊκή δημοκρατία και με την τεχνολογία. Στη συνέχεια συζητήσαμε για την εποχή και το έργο του Ερατοσθένη και για τη σύλληψη του πειράματος του , που απέδειξε τη σφαιρικότητα της γης και υπολόγισε την περίμετρο και την ακτίνα της με αξιοθαύμαστη ακρίβεια. Πρόκειται για ένα από τα 10 ευφυέστερα πειράματα στην ιστορία των επιστημών.Στον παρακάτω σύνδεσμο υπάρχει το αρχείο Power Point που χρησιμοποιήθηκε στην παρουσίαση:
"Power Point : 2018 Έτος Μαθηματικών"
Ας δούμε τώρα τη διαδικασία της πειραματικής δράσης με τίτλο :"Πείραμα του Ερατοσθένη για τη μέτρηση της περιμέτρου και της ακτίνας της γης".
Το πείραμα πραγματοποίησαν οι μαθητές της Β Λυκείου χωρισμένοι σε ομάδες των 5 ατόμων. Επειδή το πείραμα έγινε με αφορμή του "Έτους Μαθηματικών" όλο το σχολείο παρακολούθησε μια δράση που αφορούσε την ιστορία των μαθηματικών , την χρησιμότητα τους , τη σχέση τους με τη φιλοσοφία , με την αθηναϊκή δημοκρατία και με την τεχνολογία. Στη συνέχεια συζητήσαμε για την εποχή και το έργο του Ερατοσθένη και για τη σύλληψη του πειράματος του , που απέδειξε τη σφαιρικότητα της γης και υπολόγισε την περίμετρο και την ακτίνα της με αξιοθαύμαστη ακρίβεια. Πρόκειται για ένα από τα 10 ευφυέστερα πειράματα στην ιστορία των επιστημών.Στον παρακάτω σύνδεσμο υπάρχει το αρχείο Power Point που χρησιμοποιήθηκε στην παρουσίαση:
"Power Point : 2018 Έτος Μαθηματικών"
Ας δούμε τώρα τη διαδικασία της πειραματικής δράσης με τίτλο :"Πείραμα του Ερατοσθένη για τη μέτρηση της περιμέτρου και της ακτίνας της γης".
Πρωταρχική πορεία : α) Χρησιμοποιώντας τη ιστοσελίδα: https://www.google.gr/maps/@38.32,23.2,6z εντοπίζουμε πρώτα την τοποθεσία του σχολείου, πατάμε δεξί κλικ στη θέση αυτή και από το πτυσσόμενο μενού επιλέγουμε : "Τι υπαρχει εδώ;". Οι τιμές γεωγραφικού πλάτους και μήκους εμφανίζονται στο αναδυόμενο παράθυρο. Με τον τρόπο αυτό βρήκαμε το γεωγραφικό μήκος και πλάτος της αυλής του σχολείου μας.Συγκεκριμένα έχουμε γ.μ 23,311 και γ.π 40,343. β). Με την ιστοσελίδα https://www.nhc.noaa.gov/gccalc.shtml βρήκαμε την απόσταση από την αυλή του σχολείου μέχρι το σημείο του ισημερινού που έχει το ίδιο γ. μ με μας. Η απόσταση αυτή βρέθηκε ΤΙ = 4.483Km γ) Με την ιστοσελίδα http://suncalc.net/#/41.093,23.5555,13/2018.03.20/15:15 εντοπίσαμε την ώρα που έχουμε μεσημέρι στις 20 Μαρτίου 2018 στην περιοχή μας. Αυτή η ώρα ήταν 12.35.
Εκτέλεση πειράματος: Σε κάθε ομάδα δόθηκαν τα παρακάτω χειραπτικά αντικείμενα:
1. Ένα αντικείμενο που ήταν ραβδί ή ένα μπουκαλάκι νερό ή ένα βιβλίο.
2. Γνώμονας
3 Μετρητική ταινία ή χάρακας
4. Φύλλο εργασίας από την :
https://drive.google.com/file/d/14pJLQeblfIhHa9trkRqbp_jCF-auw0xN/view
Στήσαμε το αντικείμενο ώστε να είναι σε κατακόρυφη θέση. Αυτό βοήθησε ο γνώμονας.Μετρήσαμε το ύψος του αντικειμένου και το μήκος της σκιάς του στις 12.35 που είναι μεσημέρι την μέρα της εαρινής μεσημβρίας. Διαιρώντας μήκος της σκιάς προς το ύψος του αντικειμένου βρήκαμε την εφαπτομένη της γωνίας φ που σχηματίζουν οι ακτίνες του ήλιου με την κατακόρυφο.
1. Ένα αντικείμενο που ήταν ραβδί ή ένα μπουκαλάκι νερό ή ένα βιβλίο.
2. Γνώμονας
3 Μετρητική ταινία ή χάρακας
4. Φύλλο εργασίας από την :
https://drive.google.com/file/d/14pJLQeblfIhHa9trkRqbp_jCF-auw0xN/view
Στήσαμε το αντικείμενο ώστε να είναι σε κατακόρυφη θέση. Αυτό βοήθησε ο γνώμονας.Μετρήσαμε το ύψος του αντικειμένου και το μήκος της σκιάς του στις 12.35 που είναι μεσημέρι την μέρα της εαρινής μεσημβρίας. Διαιρώντας μήκος της σκιάς προς το ύψος του αντικειμένου βρήκαμε την εφαπτομένη της γωνίας φ που σχηματίζουν οι ακτίνες του ήλιου με την κατακόρυφο.
Στη συνέχεια όπως εξηγήθηκε αναλυτικά στους μαθητές και με την αξιοποίηση του φύλλου εργασίας εφαρμόσαμε τον τύπο ΤΙ / φ = Περίμετρος /360. Υπολογίσαμε έτσι την περίμετρο της γης και μετά διαιρώντας δια 2π την ακτίνα της.
Αποτελέσματα μέτρησης : Η ενδεικτική τιμή για την ακτίνα της γης ήταν 6.371Κm. Η ομάδες βρήκαν αποτελέσματα : 6.406,7 - 6.623,95 - 5.880,24 - 6.138,28 - 6.308,83 - 5707,94.Αρκετές ομάδες οδηγήθηκαν πολύ κοντά στην ενδεικτική τιμή που δόθηκε από το Ε.Κ.Φ.Ε Σερρών και είναι επιστημονικά αποδεκτή. Τα λάθη οφείλονται σε λάθη μέτρησης στην απόκλιση από κατακόρυφη θέση. Οι δύο ομάδες με την μεγαλύτερη απόκλιση χρησιμοποίησαν μπουκάλι με νερό και αυτό δημιούργησε ζήτημα γα το αν η σκιά έπρεπε να μετρηθεί από τη βάση ή από το κέντρο της.
Αναρτήσαμε τέλος τα αποτελέσματα των μετρήσεων μας στη ηλεκτρονική φόρμα του Αστεροσκοπείου Αθηνών. (δες παρακάτω εικόνα - κλικ για μεγέθυνση)
7. EΠΙΣΚΕΨΗ ΣΤΟ ΜΟΥΣΕΙΟ ΚΑΡΑΘΕΟΔΩΡΗ
Στα πλαίσια της 4ήμερης εκπαιδευτικής εκδρομής στην Ξάνθη - Κομοτηνή - Αλεξανδρούπολη επισκεφτήκαμε το Μουσείο Καραθεοδωρή στην Κομοτηνή. Το μουσείο ιδρύθηκε από το Σύνδεσμο φίλων του Καραθεοδωρή που συστάθηκε με πρωτοβουλία του μαθηματικού και συγγραφέα Αθανασίου Λιπορδέζη το 2005. Μέλη του συλλόγου ατού μεταξύ άλλων είναι η διεθνούς φήμης Ελληνίδα τραγουδίστρια Νανά Μούσχουρη , ο αρεοπαγίτης Γεώργιος Ροντόπουλος , ο πολιτειολόγος Κωνσταντίνος Ζουράρις , ο Νίκος Λυγερός , ο ιστορικός Σαράντος Καργάκος , ο καθηγητής του Καποδιστριακού Πανεπιστημίου Στράτος Καρτσακλής , η καθηγήτρια του Α.Π.Θ και μελετήτρια του Καραθεοδωρή Σοφία Καλπαζίδου κ.α.
Το μουσείο φιλοξενεί τα αρχεία, το έργο, τα προσωπικά του αντικείμενα και τις οικογενειακές φωτογραφίες του μεγάλου επιστήμονα. Φωτίζει ως φάρος γνώσης θυμίζοντας πως το αρχαίο ελληνικό πνεύμα των μαθηματικών του Αρχιμήδη, Πυθαγόρα, Ευκλείδη και τόσων άλλων σπουδαίων μαθηματικών, είναι αθάνατο και ξαναζωντανεύει με την πένα του Κωνσταντίνου Καραθεοδωρή.
Το σχολείο μας εγγράφηκε ως μέλος του Συνδέσμου φίλων του Καραθεοδωρή και αποφασίσαμε να έχουμε μια αγαστή συνεργασία με το Σύλλογο και το Μουσείο για διάφορες μελλοντικές κοινές δράσεις και εκδηλώσεις.
Οι μαθητές ξεναγήθηκαν στο χώρο και άκουσαν από τον ίδιο τον κ. Λιπορδέζη βασικά βιογραφικά στοιχεία του Κωνσταντίνου Καραθεοδωρή που είναι ο μεγαλύτερος και σύγχρονος Έλληνας μαθηματικός μετά από τους μαθηματικούς της αρχαιότητας. Ενδιαφέρον επέδειξαν οι μαθητές στις επιστολές που αντάλλαξε ο Κραθεοδωρής με τον Αϊνστάιν. Επίσης στα βιβλία του , στα χειρόγραφά του και στα θεωρήματα που έχουν το όνομα του. Τις παρακάτω φωτογραφίες από το υλικό του μουσείου τράβηξαν οι ίδιοι οι μαθητές κατά την ξενάγησή τους.
8. ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΗ ΑΝΙΧΕΥΣΗ ΤΟΥ ΑΘΡΟΙΣΜΑΤΟΣ ΤΩΝ ΓΩΝΙΩΝ ΕΝΟΣ ΤΡΙΓΩΝΟΥ ΣΤΙΣ ΜΗ ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΕΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΕΣ
Η παρακάτω πειραματική δράση πραγματοποιήθηκε στις 12 και 15 Φεβρουαρίου 2018 σε διδακτικές ώρες της γεωμετρίας Α΄ Λυκείου. Αφορούσε στην διδακτική ενότητα της γεωμετρίας : " Άθροισμα των γωνιών τριγώνου". Συγκεκριμένα στόχευε σε μια επέκταση της διδακτικής ενότητας ώστε να μελετηθούν οι μη ευκλείδειες γεωμετρίες και να διαπιστωθεί ότι σε αυτές το άθροισμα των γωνιών του τριγώνου δεν ισούται με 2 ορθές , όπως στην ευκλείδεια.
Χρόνος υλοποίησης δραστηριότητας : Σε 2 διδακτικές ώρες στις 12 και 15 Φεβρουαρίου 2018.
Κοινωνική ενορχήστρωση της τάξης: Οι μαθητές χωρίστηκαν σε ομάδες των 5 ατόμων.
Πορεία δραστηριότητας:
Στο πρώτο μάθημα συζητήθηκε το ζήτημα των μη ευκλείδειων γεωμετριών , της ελλειπτικής και της υπερβολικής που προέκυψαν από την ανεξαρτησία του 5ου αιτήματος του Ευκλείδη.Επίσης συζητήσαμε για το άθροισμα των γωνιών ενός τριγώνου που είναι μεγαλύτερο από δύο ορθές στην ελλειπτική γεωμετρία , μικρότερο από δύο ορθές στην υπερβολική και ίσο στην ευκλείδεια γεωμετρία. Η συγκεκριμένη πειραματική δράση που πραγματοποιήθηκε στην δεύτερη διδακτική ώρα έρχεται να επιβεβαιώσει πειραματικά ότι αυτό το συμπέρασμα των μη ευκλείδειων γεωμετριών δεν είναι απολύτως εξωπραγματικό και αντίθετο από την εποπτική μας διαίσθηση , αν κι έτσι φαίνεται σε πρώτη ανάγνωση. Το πρώτο συμπέρασμα μπορεί να επαληθευτεί στην περίπτωση που το επίπεδο μας θεωρηθεί η κοίλη επιφάνεια μιας σφαίρας και το δεύτερο αν το επίπεδο θεωρηθεί η επιφάνεια ενός υπερβολοειδούς. Σε κάθε ομάδα δόθηκαν τα παρακάτω χειραπτικά υλικά:
1. Μια μπάλα μπάσκετ
2. χαρτί , ψαλίδι , μολύβι
3. ζιλοτέιπ
4. μοιρογνωμόνιο
Αρχικά κόψαμε πάνω σε μια κόλλα Α4 τρεις ισομήκεις λωρίδες χαρτιού οι οποίες προσομοιώνουν στο ευκλείδειο επίπεδο τις ευθείες γραμμές. Πάνω στο "κοίλο" επίπεδο της ελλειπτικής γεωμετρίας (π.χ επιφάνεια μιας σφαίρας) οι ευθείες μετασχηματίζονται σε καμπυλωτές γραμμές. Αυτό φαίνεται αν κολλήσουμε τις λωρίδες πάνω στην κοίλη επιφάνεια μιας μπάλας μπάσκετ (σφαίρας). Στη συνέχεια φροντίζουμε να τις κολλήσουμε με τέτοιο τρόπο ώστε να σχηματίζουν τρίγωνο (σφαιρικό τρίγωνο). 
Κόψαμε περιμετρικά το περίγραμμα ενός μοιρογνωμονίου από μια φωτοτυπία του. Με τη βοήθεια αυτού του "εύκαμπτου" μοιρογνωμονίου μετρήσαμε τις γωνίες του τριγώνου και τις βρήκαμε ίσες αντίστοιχα με 80 , 70 , 70 μοίρες. Το άθροισμα τους λοιπόν ισούται με 220 μοίρες , είναι δηλαδή μεγαλύτερο από δύο ορθές. Στην ελλειπτική αυτή γεωμετρία του Ρίμαν στηρίχτηκε η γενική θεωρία σχετικότητας του Αϊστάιν καθώς η γη καμπυλώνει το χωροχρόνο και το σύμπαν υπακούει σε αυτήν την γεωμετρία.
Με παρόμοια διαδικασία διαπιστώσαμε ότι στην υπερβολική γεωμετρία το άθροισμα των γωνιών του τριγώνου είναι μικρότερο από δύο ορθές.
Διδακτικά οφέλη : Υπάρχουν απόψεις ότι πρέπει στο ελληνικό σχολείο να διδάσκονται και οι μη ευκλείδειες γεωμετρίες. Η συγκεκριμένη πειραματική δράση είναι ευκαιρία να συζητηθεί η επιστημολογική αναγκαιότητα εισαγωγής της ελλειπτικής γεωμετρίας από τον Ρίμαν και της υπερβολικής από τον Γκάους αρχικά και τους Μπολιάι και Λομπατσέφσκι στη συνέχεια. Μελετήθηκαν οι προσπάθειες απόδειξης του 5ου αιτήματος του Ευκλείδη μέχρι την τελική απόδειξη της ανεξαρτησίας του. Είδαμε την αντικατάσταση του αιτήματος αυτού από τα αντίστοιχα στις μη ευκλείδειες γεωμετρίες. Συζητήσαμε τις επιστημολογικές μεταμαθηματικές έννοιες της ανεξαρτησίας και μη αντιφατικότητας ενός τυπικού αξιωματικού συστήματος. Κυριότατα όμως ασχοληθήκαμε με την πειραματική επιβεβαίωση του αθροίσματος γωνιών τριγώνου στην ελλειπτική και υπερβολική γεωμετρία. Οι μαθητές αντιλήφθηκαν ότι τα συμπεράσματα τους δεν είναι απολύτως έξω από την εμπειρική πραγματικότητα αλλά βρίσκουν εφαρμογή σε διαφορετικά είδη επιπέδων. Συζητήσαμε έτσι την άποψη του Αlain Babiou , Γάλλου θεατρικού συγγραφέα , μαθηματικού και ενός από τους κορυφαίους φιλοσόφους στις μέρες μας : "Τα μαθηματικά είναι η επιστήμη του είναι ή όπως στην περίπτωση των μη ευκλείδειων γεωμετριών η επιστήμη των δυνατών μορφών του είναι". Συζητήθηκε επίσης η αξιοποίηση της ελλειπτικής γεωμετρίας στην γήινη σφαίρα και γενικότερα στη θεωρία σχετικότητας στην οποία βρίσκει εφαρμογή.
9. ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΗ ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ : "AΠΟΣΤΑΣΗ ΠΛΟΙΟΥ ΑΠΟ ΤΗΝ ΑΚΤΗ" ΒΑΣΙΣΜΕΝΗ ΣΕ ΙΣΤΟΡΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟ ΤΟΥ ΘΑΛΗ ΤΟΥ ΜΙΛΗΣΙΟΥ
Η παρακάτω κατασκευή πραγματοποιήθηκε στις 2 Φεβρουαρίου 2018 σε διδακτική ώρα της γεωμετρίας γ΄ γυμνασίου. Αφορούσε στην διδακτική ενότητα της γεωμετρίας : "Ισότητα τριγώνων". Συγκεκριμένα το "Θέμα από την ιστορία των μαθηματικών" , που περιγράφεται στη σελίδα 197 του σχολικού βιβλίου μαθηματικών της γ΄ γυμνασίου.
10. ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΗ ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ : " ΥΠΟΛΟΓΙΖΟΝΤΑΣ ΤΟ ΠΛΑΤΟΣ ENOΣ ΠΟΤΑΜΟΥ" ΒΑΣΙΣΜΕΝΗ ΣΕ ΙΣΤΟΡΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟ ΤΟΥ ΘΑΛΗ ΤΟΥ ΜΙΛΗΣΙΟΥ
Η παρακάτω κατασκευή πραγματοποιήθηκε στις 30 Μαρτίου 2018 σε διδακτική ώρα της γεωμετρίας γ΄ γυμνασίου. Αφορούσε στην διδακτική ενότητα της γεωμετρίας : "Ομοιότητα τριγώνων". Συγκεκριμένα αφορούσε τον υπολογισμό του πλάτους ποταμού όπως περιγράφεται στην άσκηση 4, στη σελίδα 223 του σχολικού βιβλίου μαθηματικών της γ΄ γυμνασίου.
11. ΜΕΤΡΗΣΗ ΤΟΥ ΒΥΘΙΣΜΕΝΟΥ ΤΜΗΜΑΤΟΣ ΑΠΟ ΕΝΑ ΚΑΛΑΜΑΚΙ ΜΕ ΤΗ ΒΟΗΘΕΙΑ ΤΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ ΤΟΥ ΘΑΛΗ.
Η τελική λύση γινόταν με εφαρμογή του θεωρήματος του Θαλή μια και η βάση του ποτηριού είναι παράλληλη με τη στάθμη του νερού. Έτσι :
Η παρακάτω κατασκευή πραγματοποιήθηκε στις 2 Φεβρουαρίου 2018 σε διδακτική ώρα της γεωμετρίας γ΄ γυμνασίου. Αφορούσε στην διδακτική ενότητα της γεωμετρίας : "Ισότητα τριγώνων". Συγκεκριμένα το "Θέμα από την ιστορία των μαθηματικών" , που περιγράφεται στη σελίδα 197 του σχολικού βιβλίου μαθηματικών της γ΄ γυμνασίου.
Χρόνος υλοποίησης δραστηριότητας : Σε 1 διδακτική ώρα στις 2 Φεβρουαρίου 2018.
Κοινωνική ενορχήστρωση της τάξης: Οι μαθητές χωρίστηκαν σε ομάδες των 5 ατόμων.
Πορεία δραστηριότητας: Σε κάθε ομάδα δόθηκαν τα παρακάτω χειραπτικά υλικά:
1. Κομμάτι μακετόχαρτο
2. Μπλε χαρτόνι
3. Πέντε πινέζες πίνακα ανακοινώσεων.
4. Κομμάτια κλωστής (σπάγκου)
5. Γνώμονας
6. Μαρκαδόρος.
7. Ζιλοτέιπ
Ουσιαστικά απεικονίσαμε πάνω στο μακετόχαρτο το σχέδιο που ακολούθησε ο Θαλής ο Μιλήσιος για να υπολογίσει την απόσταση ενός πλοίου από την ακτή. Στα σημεία που χρησιμοποίησε για να βάλει σημάδι ( σελ 197 σχολικού βιβλίου μαθηματικών γ΄ γυμνασίου) , τοποθετήσαμε πινέζες πίνακα ανακοινώσεων. Τις αποστάσεις που μέτρησε ο Θαλής τις προσομοιώσαμε με κομμάτι σπάγκου που δενόταν από πινέζα σε πινέζα( σημάδι σε σημάδι).
Μόλις ολοκληρώθηκε η κατασκευή συγκρίναμε τα τρίγωνα ΑΒΓ και ΔΓΕ και από την ισότητά τους προέκυψε ότι η ζητούμενη απόσταση του πλοίου από την ακτή ισούται με το μήκος ΔΕ το οποίο είναι μετρήσιμο γιατί βρίσκεται στη στεριά και δεν παρεμβάλλεται φυσικό εμπόδιο.
Την κατασκευή την κρεμάσαμε με τη βοήθεια ενός καρφιού στον τοίχο της τάξης.
Η παρακάτω κατασκευή πραγματοποιήθηκε στις 30 Μαρτίου 2018 σε διδακτική ώρα της γεωμετρίας γ΄ γυμνασίου. Αφορούσε στην διδακτική ενότητα της γεωμετρίας : "Ομοιότητα τριγώνων". Συγκεκριμένα αφορούσε τον υπολογισμό του πλάτους ποταμού όπως περιγράφεται στην άσκηση 4, στη σελίδα 223 του σχολικού βιβλίου μαθηματικών της γ΄ γυμνασίου.
Χρόνος υλοποίησης δραστηριότητας : Σε 1 διδακτική ώρα στις 30 Μαρτίου 2018.
Κοινωνική ενορχήστρωση της τάξης: Οι μαθητές χωρίστηκαν σε ομάδες των 5 ατόμων.
Πορεία δραστηριότητας: Σε κάθε ομάδα δόθηκαν τα παρακάτω χειραπτικά υλικά:
1. Κομμάτι μακετόχαρτο
2. Μπλε χαρτόνι
3. Πέντε πινέζες πίνακα ανακοινώσεων.
4. Κομμάτια κλωστής (σπάγκου)
5. Γνώμονας
6. Μαρκαδόρος.
7. Ζιλοτέιπ
Ουσιαστικά πάνω σε ένα άσπρο μακετόχαρτο κολλήσαμε δύο γαλάζιες λωρίδες που προσομοιώνουν ένα ποτάμι. Ακολουθήσαμε τα βήματα του Θαλή του Μιλήσιου στον υπολογισμό του πλάτους του ποταμού. Χρησιμοποιήσαμε πινέζες πίνακα ανακοινώσεων και σπάγκο όπως στην προηγούμενη κατασκευή.
Η επίλυση του προβλήματος για την εύρεση του πλάτους ΑΒ γίνεται με βάση την ομοιότητα των ορθογωνίων τριγώνων ΑΒΓ και ΓΔΕ. Αυτή τη λύση την αναγράψαμε με μαρκαδόρο πάνω στο μακετόχαρτο.
11. ΜΕΤΡΗΣΗ ΤΟΥ ΒΥΘΙΣΜΕΝΟΥ ΤΜΗΜΑΤΟΣ ΑΠΟ ΕΝΑ ΚΑΛΑΜΑΚΙ ΜΕ ΤΗ ΒΟΗΘΕΙΑ ΤΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ ΤΟΥ ΘΑΛΗ.
Η παρακάτω πειραματική δρατηριότητα πραγματοποιήθηκε σε διδακτική ώρα των μαθηματικών γ΄ γυμνασίου στις 26 Ιανουαρίου2018. Αφορούσε στην διδακτική ενότητα της γεωμετρίας : "Το θεώρημα του Θαλή".
Χρόνος υλοποίησης δραστηριότητας : Σε 1 διδακτική ώρα στις 26 Ιανουαρίου 2018.
Κοινωνική ενορχήστρωση της τάξης: Οι μαθητές χωρίστηκαν σε ομάδες των 5 ατόμων.
Πορεία δραστηριότητας: Σε κάθε ομάδα δόθηκαν τα παρακάτω χειραπτικά υλικά:
1. Ένα πλαστικό διαφανές ποτήρι
2. Ένα καλαμάκι
3. Ένας χάρακας
4. Ένα μπουκάλι με νερό.
5. Χαρτί με μολύβι.
5. Χαρτί με μολύβι.
Αρχικά ζητήθηκε από τους μαθητές να
ρίξουν νερό στο ποτήρι μέχρι ένα ορισμένο ύψος όχι όμως να το γεμίσουν μέχρι
πάνω. Στη συνέχεια βύθισαν το καλαμάκι μέσα στο ποτήρι , ώστε το ένα άκρο του
να πατά στον πυθμένα του ποτηριού και το άλλο να φτάνει στη
απέναντι άκρη του. Το ζητούμενο ήταν να υπολογίσουν το μήκος από το καλαμάκι που
είναι βυθισμένο στο νερό. Δεν δόθηκε φύλλο εργασίας ώστε να μην καθοδηγούνται
οι μαθητές στην διαδικασία εύρεσης του αποτελέσματος. Γνώριζαν βέβαια ότι
πιθανόν θα τους βοηθήσει το θεώρημα του Θαλή το οποίο διδάχθηκαν στην
προηγούμενη διδακτική ώρα. Επίσης δεν ήταν καθορισμένα τα δεδομένα του
προβλήματος εφόσον έπρεπε εκείνοι να καταστρώσουν το σχέδιο επίλυσης και φυσικά
να επιλέξουν τα δεδομένα που τους χρειαζόταν να μετρήσουν. Το αρχικό ζήτημα λοιπόν που τέθηκε προς διαπραγμάτευση στους μαθητές ήταν να εντοπίσουν τα απαιτούμενα δεδομένα. Αυτά ήταν το ύψος
του ποτηριού , το ύψος της στάθμης του νερού και το συνολικό μήκος από το
καλαμάκι. Έτσι το πρόβλημα μετατράπηκε σε "ανοικτό πρόβλημα χωρίς επαρκή
δεδομένα".
Η τελική λύση γινόταν με εφαρμογή του θεωρήματος του Θαλή μια και η βάση του ποτηριού είναι παράλληλη με τη στάθμη του νερού. Έτσι :
ύψος της στάθμης του νερού / ύψος ποτηριού =
βυθισμένο τμήμα από το καλαμάκι /
συνολικό μήκος από το καλαμάκι
Στο τέλος της
δράσης συζητήθηκε η λύση που έδωσαν οι ομάδες με τη καθοδήγηση του διδάσκοντα. Βλέπετε παρακάτω μερικές από τις σημειώσεις των μαθητών στο χαρτί τους κατά την διαδικασία επίλυσης και τέλος την λύση μιας από τις ομάδες στον πίνακα.
Στο τέλος μελετήσαμε το παρακάτω αρχείο Geogebra που προσομοίωνε στο περιβάλλον
του προγράμματος το εν λόγω πρόβλημα.
Διδακτικά οφέλη : Οι μαθητές ασχολήθηκαν με ένα ανοικτό πρόβλημα που απαιτούσε ευρηματικότητα τόσο στην επιλογή των δεδομένων που έπρεπε να μετρηθούν όσο και στο σχέδιο επίλυσης του προβλήματος. Αποτελούσε επίσης ένα πρόβλημα που ξέφευγε από τα πλαίσια των ψυχρών μαθηματικών προβλημάτων του σχολικού βιβλίου , γιατί χρησιμοποιούσε χειραπτικά αντικείμενα της καθημερινής πραγματικότητας. Αναδείκνυε επίσης την χρηστικότητα των μαθηματικών μεθόδων στην επίλυση προβλημάτων πραγματικής κατάστασης. Συνδέθηκαν λοιπόν τα μαθηματικά με την πραγματικότητα και αναδείχθηκε η ελκυστικότητα των μαθηματικών διεργασιών. Διαφαίνεται επίσης ότι οι μαθηματικές διεργασίες αποτελούν συχνά έμμεσες μεθόδους υπολογισμού μηκών που η άμεση μέτρησή τους δεν είναι εφικτή λόγω φυσικού εμποδίου.
Μη αναμενόμενες πορείες: Επειδή αφέθηκε στους μαθητές ανοιχτό το θέμα των δεδομένων που θα έπρεπε να μετρηθούν για την επίλυση του προβλήματος , βρέθηκαν ομάδες που εκτός από το μήκος του καλαμακιού και το ύψος του ποτηριού μέτρησαν και τις διαμέτρους των βάσεων του ποτηριού. Επισημαίνεται ότι το πλαστικό διαφανές ποτήρι είχε σχήμα κόλουρου κώνου κι άρα ορισμένοι μαθητές μέτρησαν τις διαμέτρους των δύο κύκλων- βάσεων. Στην συνέχεια βέβαια διαπίστωσαν ότι αυτές οι μετρήσεις δεν ήταν χρήσιμες για την επίλυση του προβλήματος. Υπήρξε επίσης μαθητής που ζήτησε μαρκαδόρο να σημειώσει πάνω στο καλαμάκι μέχρι ποιο σημείο είναι βυθισμένο μέσα στο νερό. Έτσι μόλις το έβγαζε θα μπορούσε να μετρήσει το μήκος του βυθισμένου τμήματός του. Συζητήθηκε ότι κάτι τέτοιο αντιβαίνει στους κανόνες επίλυσης του προβλήματος γιατί το βυθισμένο τμήμα θεωρείται μη προσπελάσιμο προς μέτρηση. Θα μπορούσε να ήταν βυθισμένο τμήμα το έδαφος ή σε ένα ποτάμι ώστε λόγω φυσικού εμποδίου δεν θεωρείται πρακτικά δυνατή η άμεση μέτρησή του. Γι΄αυτό άλλωστε καταφεύγουμε σε αφηρημένες έμμεσες μεθόδους υπολογισμού τους.
12. ΥΠΟΛΟΓΙΖΟΝΤΑΣ ΤΟΝ ΔΕΙΚΤΗ ΤΟΥ ΣΩΜΑΤΙΚΟΥ ΜΟΥ ΒΑΡΟΥΣ
Το παρακάτω διδακτικό σενάριο εφαρμόστηκε σε 4 διδακτικές ώρες στα μαθηματικά γ΄ γυμνασίου στις 3 έως 7 Απριλίου 2017 στα πλαίσια της Θεματικής Εβδομάδας. Αφορούσε την ενότητα "Διατροφή και ποιότητα ζωής".
Θέμα : Υπολογισμός του δείκτη σωματικού βάρους των μαθητών με βάση το βάρος και το
ύψος τους. Στη συνέχεια κατατάσσεται το άτομο σε μια κατηγορία ανάλογα με το βάρος
του(ελλιποβαρές , κανονικού βάρους ,υπέρβαρο , παχύσαρκο). Στο τέλος με βάση την
εμπειρία αυτή θα διενεργήσουν μια στατιστική έρευνα για την κατανομή του βάρους των
μαθητών τους σχολείου μας και θα παρουσιάσουν τα αποτελέσματα με τη μορφή
ραβδογράμματος και κυκλικού διαγράμματος.
Χώρος υλοποίησης : Το σενάριο κατά την πρώτη και τρίτη διδακτική ώρα θα λάβει χώρα στο
εργαστήριο πληροφορικής. Στις άλλες ώρες στην αίθουσα διδασκαλίας. όπου θα
χρησιμοποιηθεί βιντεοπροβολέας.
Βοηθητικά εργαλεία: Η/Υ , βιντεοπροβολέας ,φύλλο εργασίας , χαρτί , μολύβι ,
κομπιουτεράκι.
Κοινωνική ενορχήστρωση της τάξης. Οι μαθητές θα χωριστούν σε ομάδες των 4 ατόμων.
Θα χειρίζονται όλοι τον Η/Υ εναλλάξ όταν χρειάζεται να εμπλακούν σε δραστηριότητα που
αφορά προσωπικά τους δεδομένα( υπολογισμός του δείκτη σωματικού τους βάρους).
Ανάλυση δραστηριότητας :
Το μάθημα θα γίνει σε 4 φάσεις.
1η φάση : Πηγαίνουμε στο εργαστήριο πληροφορικής χωρίζοντας τους μαθητές σε ομάδες των 4
ατόμων. Κάθε ομάδα έχει ανοικτό στον Η/Υ ένα αρχείο Geogebra με τίτλο : «Δείκτης μάζας». Επίσης
δίνεται σε κάθε ομάδα ένα φύλλο εργασίας στο οποίο απαντάει στα ερωτήματα που τίθενται και
σχετίζονται με την αλληλεπίδρασή των μαθητών με τον Η/Υ.
Αρχικά ζητείται από κάθε μαθητή να επιλέξει στο αρχείο Geogebra το βάρος και το ύψος του
μετακινώντας κατάλληλα τους αντίστοιχους δρομείς. Στη συνέχεια επιλέγουν το κουτί «ΔΜΣ
Αγοριών» ή «ΔΜΣ Κοριτσιών» ανάλογα με το φύλο τους. Τότε στο υπολογιστικό φύλλο του αρχείου
καταγράφονται τα δεδομένα και υπολογίζεται ο Δείκτης μάζας τους ως το πηλίκο Βάρος/ Ύψος στο
τετράγωνο. Συγχρόνως στα γραφικά του Geogebra σημειώνεται ένα σημείο ( κόκκινο για τα κορίτσια
και μπλε για τα αγόρια) ανάλογα με την ταξινόμηση του βάρους σε κατηγορίες ( ελλιποβαρές ,
κανονικό , υπέρβαρο , παχύσαρκο). Ο κάθε μαθητής έτσι με διακριτικότητα διαπιστώνει που
βρίσκεται και αυτογνωστικά βγάζει ωφέλιμα συμπεράσματα για τη διατροφή του.
Στην συνέχεια γίνονται κάποιες διεργασίες που ενισχύουν το κάθε άτομο να θέσει στόχους στην
διατροφική του υπόσταση. Ζητάμε από τους μαθητές να αφήσουν σταθερό το ύψος τους που
επιδέχεται πιο αργή αλλαγή στον χρόνο. Αν λοιπόν ένα άτομο είναι ελλιποβαρές του ζητάμε να
«παίξει» με το δρομέα του βάρους του ώστε αν διαπιστώσει πόσα κιλά του υπολείπονται για να
έχει κανονικό βάρος. Αν ένα άτομο είναι υπέρβαρο αντίστροφα να διαπιστώσει σε πιο βάρος θα
πρέπει να βρίσκεται για να είναι κανονικού βάρους.
Σε γενικού ενδιαφέροντος ζητήματα δίνουμε συγκεκριμένες τιμές στο βάρος και στο ύψος ενός
ατόμου και ζητείται σε μορφή πίνακα η κατάταξή του σε κατηγορία βάρους. Ακόμη κρατώντας
σταθερό το ύψος δίνουμε μια τιμή βάρους που αντιστοιχεί σε ελλιποβαρές άτομο. Το ζητούμενο
είναι να βρουν πόσα κιλά πρέπει να βάλει το ελάχιστο ώστε να αποκτήσει κανονικό βάρος.
Παρομοίως πόσα κιλά πρέπει να χάσει ένα υπέρβαρο άτομο ώστε να αποκτήσει κανονικό βάρος.
Τέλος κάνουμε μια συγκριτική μελέτη για τα βάρη αγοριών και κοριτσιών.
2η φάση : Το μάθημα διεξάγεται στην αίθουσα διδασκαλίας. Διατηρείται ο ίδιος χωρισμός των
ομάδων της προηγούμενης φάσης. Στον πίνακα συνδέεται βιντεοπροβολέας με τον οποίο
προβάλλεται το περιβάλλον του Excel. Μοιράζεται σε κάθε ομάδα έντυπο που περιέχει πίνακα για
την συγκέντρωση των δεδομένων. Επίσης πληροφορίες για τον υπολογισμό του δείκτη μάζας και τον
τρόπο υπολογισμού των ορίων ταξινόμησης των κατηγοριών βάρους. Στη φάση αυτή γίνεται η
προετοιμασία των μαθητών κάθε ομάδας στην εκπόνηση μιας στατιστικής έρευνας στους μαθητές
του γυμνασίου Σημάντρων ως προς την ταξινόμηση σε κατηγορίες βάρους. Τους δίνονται οδηγίες ως
προς τον τρόπο που θα συλλέξουν τα δεδομένα τους. Τους υποδεικνύουμε να κατασκευάσουν
πίνακες όπου κάθε ερωτηθείς μαθητής θα αναγράφει το ύψος και το βάρος του. Τον πίνακα
αυτό θα συμπληρώνουν μαθητές της γ γυμνασίου με τον αντίστοιχο δείκτη μάζας. Με βάση
την παρακάτω ταξινόμηση θα κατατάσσουν τους μαθητές στις κατηγορίες βάρους και θα κατασκευάσουν πίνακα συχνοτήτων και σχετικών συχνοτήτων, ραβδόγραμμα και κυκλικό διάγραμμα στο Excel.
3η φάση : Οι μαθητές οδηγούνται εκ νέου στην αίθουσα πληροφορικής με ανοικτό το Excel στον
υπολογιστή της κάθε ομάδας. Εφόσον οι μαθητές έχουν συγκεντρώσει τα αποτελέσματα της
έρευνάς τους κατασκευάζουν στο περιβάλλον του υπολογιστικού φύλλου : πίνακα συχνοτήτων και
σχετικών συχνοτήτων ,ραβδόγραμμα και κυκλικό διάγραμμα. Επίσης συζητούν , καταλήγουν και
πληκτρολογούν το κείμενο με τα συμπεράσματα της έρευνας. Η βοήθεια του διδάσκοντα στο
σημείο αυτό θεωρείται καίριας σημασίας.
4η φάση : Οι μαθητές βρίσκονται και πάλι στην αίθουσα διδασκαλίας. Παρουσιάζονται με τη
βοήθεια βιντεοπροβολέα τα αποτελέσματα και τα συμπεράσματα κάθε ομάδας. Ακολουθεί
συζήτηση.
Ακολουθεί το αρχείο Geogebra που χρησιμοποιήσαμε από την προσωπική μου συλλογή στο GeogebraTube. Πατήστε στην παρακάτω εικόνα για να το δείτε :
Επίσης στον παρακάτω σύνδεσμο θα βρείτε ολοκληρωμένο το σενάριο με τα αντίστοιχα φύλλα εργασίας.
ΣΕΝΑΡΙΟ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ: ΥΠΟΛΟΓΙΖΟΝΤΑΣ ΤΟΝ ΔΕΙΚΤΗ ΤΟΥ ΣΩΜΑΤΙΚΟΥ ΜΟΥ ΒΑΡΟΥΣ
13. " ΥΠΟΛΟΓΙΖΟΝΤΑΣ ΤΟ ΑΘΡΟΙΣΜΑ ΤΩΝ ΓΩΝΙΩΝ ΤΡΙΓΩΝΟΥ"ΣΕΝΑΡΙΟ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ: ΥΠΟΛΟΓΙΖΟΝΤΑΣ ΤΟΝ ΔΕΙΚΤΗ ΤΟΥ ΣΩΜΑΤΙΚΟΥ ΜΟΥ ΒΑΡΟΥΣ
α΄ γυμνασίου και Α΄ λυκείου
Η παρακάτω δραστηριότητα πραγματοποιήθηκε στην διδακτική ώρα της γεωμετρίας Α΄ Λυκείου στην ενότητα για το άθροισμα γωνιών τριγώνου στις 21 Φεβρουαρίου 2017. Αρχικά έγινε διαδραστική απόδειξη ( με βάση το Geogebra) της σχέσης : Α + Β + Γ = 2 ορθές. Χρησιμοποιήθηκε το αρχείο από το υλικό μου : Άθροισμα γωνιών τριγώνου . Μετά δουλέψαμε στο επόμενο αρχείο Geogebra υπολογίζοντας τη γωνία Α τριγώνου ΑΒΓ όταν δίνονται τα μέτρα των δύο άλλων γωνιών Β και Γ : "Βρες τη γωνία Α"
Στη συνέχεια προβήκαμε σε μια πειραματική δράση με χρήση χειραπτικών υλικών.Στόχος ήταν να διαπιστώσουν οι μαθητές άμεσα και εποπτικά ότι ανεξαρτήτως τριγώνου πάντα οι γωνίες του συμπληρώνουν μια ευθεία γωνία.Έχουν δηλαδή άθροισμα ίσο με 180 μοίρες.
Στη συνέχεια προβήκαμε σε μια πειραματική δράση με χρήση χειραπτικών υλικών.Στόχος ήταν να διαπιστώσουν οι μαθητές άμεσα και εποπτικά ότι ανεξαρτήτως τριγώνου πάντα οι γωνίες του συμπληρώνουν μια ευθεία γωνία.Έχουν δηλαδή άθροισμα ίσο με 180 μοίρες.
Χρόνος υλοποίησης δραστηριότητας : Σε 1 διδακτική ώρα.
Πορεία δραστηριότητας : Τα υλικά που χρησιμοποιήσαμε για την πειραματική δράση ήταν :
1. Κόλλες Α4
2. Μαρκαδόρος
3. Ψαλίδι
4. Ζιλοτέιπ
5. Χάρακας
Πορεία δραστηριότητας : Τα υλικά που χρησιμοποιήσαμε για την πειραματική δράση ήταν :
1. Κόλλες Α4
2. Μαρκαδόρος
3. Ψαλίδι
4. Ζιλοτέιπ
5. Χάρακας
Σχεδιάσαμε με μαρκαδόρο σε μια κόλλα Α4 ένα τυχαίο τρίγωνο ΑΒΓ. Κολλήσαμε με ζιλοτέιπ το τρίγωνο πάνω στον πίνακα και δίπλα κατασκευάσαμε μια ευθεία γωνία. Φωτοτυπήσαμε στη συνέχεια το τρίγωνο ΑΒΓ. Κόψαμε τις γωνίες Α, Β , Γ του τριγώνου της φωτοτυπίας περιμετρικά γύρω γύρω όπως φαίνεται στις παρακάτω φωτογραφίες. Τις κολλήσαμε πάνω στον πίνακα δίπλα στο τρίγωνο.
Στη συνέχεια μεταφέραμε τις "κομμένες" γωνίες πάνω στην ευθεία γωνία κατά τρόπο ώστε να γίνουν διαδοχικές. Παρατηρήσαμε ότι οι τρεις γωνίες συμπληρώνουν όλες μαζί την ευθεία γωνία που σημαίνει ότι το άθροισμα τους ισούται με μια ευθεία γωνία , δηλαδή 2 ορθές ή 180 μοίρες.
Διδακτικά οφέλη : Διαπιστώσαμε πειραματικά και εποπτικά ότι οι τρεις γωνίες ενός τριγώνου συμπληρώνουν πάντα μια ευθεία γωνία και άρα το άθροισμα τους ισούται με 180 μοίρες. Η δράση αυτή μπορεί να ενταχθεί στο εισαγωγικό μάθημα για το άθροισμα γωνιών τριγώνου τόσο στην α γυμνασίου όσο και στην Α λυκείου. Το πλεονέκτημα είναι ότι με σωστή ετοιμασία δεν απαιτεί πολύ διδακτικό χρόνο και μπορεί να ενταχθεί ομαλά στην διδασκαλία της διδακτικής ενότητας.
14. "ΑΡΠΕΔΟΝΑΠΤΕΣ ΣΤΗΝ ΑΡΧΑΙΑ ΑΙΓΥΠΤΟ" :
ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΣΤΟ ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜΑ
ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΣΤΟ ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜΑ
β΄ γυμνασίου
Η παρακάτω δραστηριότητα πραγματοποιήθηκε στην διδακτική ώρα των μαθηματικών β΄ γυμνασίου στο πυθαγόρειο θεώρημα. Αφορά την εμπειρική γνώση του θεωρήματος στην Αρχαία Αίγυπτο. Οι "αρπεδονάπτες" ( σκηνοφορείς) σχημάτιζαν ορθές γωνίες δένοντας 13 κόμπους δε ίσες αποστάσεις σε ένα σκοινί. Έτσι δημιουργούσαν 12 ευθύγραμμα τμήματα που σχημάτιζαν ορθογώνιο τρίγωνο με πλευρές 3, 4 , 5 τμήματα.
Χρόνος υλοποίησης δραστηριότητας : Σε 2 διδακτικές ώρες.
Κοινωνική ενορχήστρωση της τάξης: Οι μαθητές χωρίστηκαν σε ομάδες των 5 ατόμων.
2. Μολύβι
3. Γνώμονας
4. Πινέζες
5. Κορδόνι
Κοινωνική ενορχήστρωση της τάξης: Οι μαθητές χωρίστηκαν σε ομάδες των 5 ατόμων.
Πορεία δραστηριότητας: Στην πρώτη διδακτική ώρα μελετήσαμε την ιστορική αναδρομή της μεθόδου των αρπεδοναπτών. Χρησιμοποιήσαμε το σχολικό βιβλίο και το βιβλίο :"Μαθημαγικά" του Johnny Ball εκδόσεων Polaris 2011.Εκεί βρήκαμε τα ακόλουθα στοιχεία για την πρακτική χρησιμότητα της μεθόδου αυτής :
"Οι ετήσιες πλημμύρες κατέστρεφαν τα σύνορα στα χωράφια κι έτσι οι αγρότες έπρεπε να τα ξαναορίζουν. Έπρεπε να γνωρίζουν το μέγεθος των χωραφιών τους γιατί οι κυβερνήτες τους φορολογούσαν σύμφωνα με το εμβαδόν της γης που κατείχαν. Οι γεωργοί γνώριζαν ότι τα τρίγωνα με πλευρές 3, 4 ,5 σχημάτιζαν ορθογώνιο τρίγωνο. Το ίδιο και τα τρίγωνα με πλευρές 5 , 12 , 13.Ενώνοντας δύο ορθογώνια τρίγωνα δημιουργούσαν ορθογώνιο παραλληλόγραμμο με γνωστό εμβαδόν. Η διαίρεση της έκτασης σε ορθογώνια παραλληλόγραμμα ήταν γρήγορη και αποτελεσματική στον υπολογισμό του εμβαδού".
Στην δεύτερη διδακτική ώρα περάσαμε στην πειραματική δραστηριότητα με υλικά :
1. Χαρτόνι2. Μολύβι
3. Γνώμονας
4. Πινέζες
5. Κορδόνι
Στόχος της δραστηριότητας είναι να χωρίσουμε ένα κορδόνι σε 12 ίσα τμήματα ώστε να σχηματιστεί ορθογώνιο τρίγωνο με πλευρές 3, 4, 5. Για το λόγο αυτό σχεδιάσαμε πάνω στο χαρτόνι μια ορθή γωνία. Χωρίσαμε την μία πλευρά της σε 3 ίσα τμήματα και την άλλη σε 4 τμήματα , ίσα μεταξύ τους και ίσα με καθένα από τα προηγούμενα. Ενώνοντας τα τελευταία άκρα σχεδιάσαμε τη υποτείνουσα την οποία χωρίσαμε σε 5 ίσα τμήματα.
Στα χωρίσματα τοποθετήσαμε πινέζες. Στη συνέχεια δέσαμε κόμπους στο κορδόνι πάνω σε κάθε πινέζα. Έτσι το κορδόνι χωρίστηκε σε 12 ίσα τμήματα σχηματίζοντας ορθή γωνία
Λύνοντας στη συνέχεια το κορδόνι παρατητήσαμε ότι έχουμε 13 κόμπους που το χωρίζουν σε 12 ίσα τμήματα. Επαληθεύσαμε τέλος ότι το κορδόνι αυτό μπορεί πλέον να χρησιμοποιηθεί για τον σχηματισμό ορθογωνίου τριγώνου.
Διδακτικά οφέλη: Διαπιστώσαμε πειραματικά ότι ένα σχοινί χωρισμένο σε 12 ίσα τμήματα, σχηματίζει ορθογώνιο τρίγωνο. Ακολουθήσαμε τα ίχνη των αρχαίων αρπεδοναπτών της Αρχαίας Αιγύπτου στον σχηματισμό ορθών γωνιών κι επομένως ορθογωνίων παραλληλογράμμων.
15. Ο ΛΟΓΟΣ ΤΟΥ ΜΗΚΟΥΣ ΚΥΚΛΟΥ ΔΙΑ ΤΗΣ ΔΙΑΜΕΤΡΟΥ ΤΟΥ. (1)
β΄γυμνασίου
β΄γυμνασίου
Η παρακάτω πειραματική δραστηριότητα πραγματοποιήθηκε σε διδακτική ώρα των μαθηματικών β΄ γυμνασίου στις 6 Απριλίου 2016. Αφορούσε στην πειραματική ανακάλυψη ότι "ο λόγος του μήκους ενός κύκλου δια της διαμέτρου του ισούται περίπου με 3,14" στην παράγραφο που διδασκόταν το μήκος του κύκλου.
Χρόνος υλοποίησης δραστηριότητας : Τετάρτη 6 Απριλίου 2016
Κοινωνική ενορχήστρωση της τάξης: Οι μαθητές χωρίστηκαν σε ομάδες των 5 ατόμων.
Πορεία δραστηριότητας:.Σε κάθε ομάδα δόθηκε από ένα αντικείμενο κυκλικού σχήματος. Επιλέχθηκαν ένα CD ηλεκτρονικού υπολογιστή , ένα δίευρο κι ένα πλαστικό καπάκι από μπουκαλάκι νερού. Τα υλικά της πειραματικής δράσης ήταν τα παρακάτω :
1. CD ηλεκτρονικού υπολογιστή.
2. Δίευρο.3. Πλαστικό καπάκι από μπουκαλάκι νερού.
4. Κίτρινο σχοινάκι.(Νήμα)
5. Γνώμονας
6. Μολύβι.
7. Χαρτί
8. Αριθμομηχανή
Αρχικά έπρεπε να μετρήσουμε το μήκος κάθε κυκλικού αντικειμένου. Για το σκοπό αυτό χρησιμοποιήσαμε το κίτρινο σχοινάκι που το τυλίξαμε περιμετρικά γύρω από το κυκλικό αντικείμενο. Μετά ανοίγοντας το σχοινάκι ώστε να τεντωθεί , μετρήσαμε το μήκος του με τον χάρακα , το οποίο αντιστοιχεί στο μήκος του κύκλου. Καταγράψαμε την τιμή αυτή του μήκους.
Στην συνέχεια έπρεπε να μετρήσουμε την διάμετρο του κύκλου. Διαπιστώσαμε ότι δεν γνωρίζουμε το κέντρο του. Αποφασίσαμε να το βρούμε! Για το σκοπό αυτό χαράξαμε δυο χορδές και σχεδιάσαμε τις μεσοκαθέτους τους. Το σημείο τομής των μεσοκαθέτων μας έδωσε το κέντρο του κύκλου. Μετρήσαμε την απόσταση από το κέντρο μέχρι την περιφέρεια και βρήκαμε την ακτίνα. Το διπλάσιο της ισούται με την ζητούμενη διάμετρο.
Στο τέλος πήρε σειρά το υπολογιστικό μέρος της δραστηριότητας. Με την αριθμομηχανή υπολογίσαμε το πηλίκο του μήκους δια την διάμετρο (L/δ). Παρατηρήσαμε ότι είναι 3 και κάτι και βρίσκεται κοντά στο 3,14.
Διδακτικά οφέλη : Οι μαθητές μετατράπηκαν σε μικρούς ερευνητές που ανακάλυψαν τη νέα γνώση με πειραματικές δράσεις που αφορούσαν πραγματικά αντικείμενα.
Αδυναμίες : Δεν επετεύχθη ο στόχος να υπολογιστεί το πηλίκο L/ δ ακριβώς 3,14. Οι μαθητές προσέγγισαν αυτή την τιμή και βρήκαν αποτελέσματα 3, 25 3, 27 και 3, 19. Αποδόθηκαν αυτές οι αποκλίσεις στα σφάλματα μέτρησης. Και μόνο βέβαια που τα πηλίκα ήταν 3 και κάτι σε τρία διαφορετικά κυκλικά αντικείμενα βοήθησε στην κατανόηση του εγχειρήματος του Αρχιμήδη και στην κατανόηση του τύπου του μήκους του κύκλου.
16. Ο ΛΟΓΟΣ ΤΟΥ ΜΗΚΟΥΣ ΚΥΚΛΟΥ ΔΙΑ ΤΗΣ ΔΙΑΜΕΤΡΟΥ ΤΟΥ. (2)
β΄γυμνασίου
β΄γυμνασίου
Η παρακάτω πειραματική δραστηριότητα πραγματοποιήθηκε σε διδακτική ώρα των μαθηματικών β΄ γυμνασίου στις 7 Απριλίου 2016. Αφορούσε στην πειραματική ανακάλυψη ότι "ο λόγος του μήκους ενός κύκλου δια της διαμέτρου του ισούται περίπου με 3,14" στην παράγραφο που διδασκόταν το μήκος του κύκλου. Eίναι ουσιαστικά μια δεύτερη δραστηριότητα στην σχέση μήκoυς κύκλου - διαμέτρου σε συνέχεια της πρώτης που αναλύεται πρωτύτερα.
Χρόνος υλοποίησης δραστηριότητας : Πέμπτη 7 Απριλίου 2016
Κοινωνική ενορχήστρωση της τάξης: Οι μαθητές χωρίστηκαν σε ομάδες των 5 ατόμων.
Πορεία δραστηριότητας:.Σε κάθε ομάδα δόθηκε από ένα αντικείμενο κυκλικού σχήματος. Αυτή τη φορά ήταν ένα ζιλοτέιπ.
1. Ζιλοτέιπ
3. Μολύβι.
4. Χαρτί Μιλιμιτρέ
Αρχικά τοποθετήσαμε το ζιλοτέιπ πάνω σε ένα φύλλο χαρτί και σχεδιάσαμε περιμετρικά τον κύκλο του. Επαναλαμβάνοντας την διαδικασία που κάναμε στην προηγούμενη δραστηριότητα εντοπίσαμε το κέντρο του κύκλου. Χαράξαμε δηλαδή πάνω στο χαρτί δύο χορδές του κύκλου και τις μεσοκαθέτους τους. Το σημείο τομής των μεσοκαθέτων είναι το κέντρο. Μετρήσαμε την ακτίνα και υπολογίσαμε την διάμετρο από τον τύπο δ = 2ρ. Βρήκαμε δ = 5,6cm.
Στη συνέχεια πήραμε το χαρτί μιλιμιτρέ. Πάνω του χαράξαμε ένα ευθύγραμμο τμήμα το οποίο το χωρίσαμε σε τέσσερα μέρη ίσα με 5,6cm το καθένα(όση η διάμετρος).Κατασκευάσαμε δηλαδή ένα ευθύγραμμο τμήμα το οποίο έχει διαιρεθεί σε 4 ίσα μέρη ίσα το καθένα με το μήκος της διαμέτρου δ.
Ένας μαθητής τοποθέτησε το ζιλοτέιπ κατακόρυφα πάνω στην αρχή του ευθύγραμμου τμήματος. Το κυλούσε πάνω στο τμήμα αυτό μέχρι να κάνει μια πλήρη περιστροφή.Γ ια να το πετύχουμε αυτό χαράξαμε ένα σημαδάκι με στυλό σε κάποιο σημείο του ζιλοτέιπ. Τοποθετήσαμε έτσι το ζιλοτέιπ ώστε το σημαδάκι να είναι στο κατώτατο σημείο και να εφάπτεται στην αρχή του ευθύγραμμου τμήματος πάνω στο χαρτί. Ο μαθητής περιέστρεφε προσεκτικά το ζιλοτέιπ και σταμάτησε στη θέση όπου το σημαδάκι ξαναβρέθηκε στο κατώτατο σημείο και ακουμπούσε και πάλι ακριβώς πάνω στο χαρτί. Τότε το κυκλικό αντικείμενο ολοκλήρωσε μια πλήρη περιστροφή. Στη θέση αυτή - όπου ολοκληρώθηκε η περιστροφή - ένας άλλος μαθητής αποτύπωσε ένα σημαδάκι πάνω στο μιλιμιτρέ. Έτσι έχουμε παραστήσει οριζόντια πάνω σε μια ευθεία γραμμή απόσταση ίση με το μήκος του κύκλου.
Παρατηρήσαμε τελικά ότι το μήκος του κύκλου είναι τρεις φορές και κάτι της διαμέτρου. Με το χαρτί μιλιμιτρέ είχαμε τη δυνατότητα να μετρήσουμε αυτό το κάτι και να διαπιστώσουμε ότι ήταν περίπου τα 14/100 της διαμέτρου. Άρα : L = 3,14 . δ
17. YΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΜΒΑΔΟΥ ΚΥΚΛΟΥ ΜΕ ΧΑΡΤΟΚΟΠΤΙΚΗ
β΄ γυμνασίου
Η παρακάτω πειραματική δραστηριότητα πραγματοποιήθηκε σε διδακτική ώρα των μαθηματικών β΄ γυμνασίου στις 12 Απριλίου 2016. Αφορούσε στην πειραματική ανακάλυψη του τύπου του εμβαδού κύκλου με χειραπτικά αντικείμενα και χαρτοκοπτική.
Χρόνος υλοποίησης δραστηριότητας : Τρίτη 12 Απριλίου 2016
Κοινωνική ενορχήστρωση της τάξης: Οι μαθητές χωρίστηκαν σε ομάδες των 5 ατόμων.
Πορεία δραστηριότητας:.Τα υλικά που δόθηκαν αρχικά στους μαθητές κάθε ομάδας ήταν :
1. Ορθογώνιο Χαρτόνι σε μέγεθος Α4
2. Ψαλίδι
2. Γνώμονας
3. Μολύβι.
4. Πράσινος και κόκκινος μαρκαδόρος
5. Ζιλοτέιπ.
Κολλήσαμε με ζιλοτέιπ στον πίνακα τους κυκλικούς τομείς όπως φαίνεται παρακάτω. Οι ομάδες μιμήθηκαν το ίδιο πάνω στο θρανίο τους κάνοντας το ίδιο με τους δικούς τους κυκλικούς τομείς. Παρατηρήσαμε έτσι ότι το εμβαδόν του κύκλου προσομοιώνεται με το εμβαδόν ορθογωνίου παραλληλογράμμου μήκους πρ και πλάτους ρ. Oι παρακάτω φωτογραφίες είναι από τον πίνακα της σχολικής τάξης στο τέλος της δραστηριότητας οπότε κι έγινε η επικύρωση της γνώσης.
18. ΘΕΡΜΟΚΡΑΣΙΑ ΝΕΡΟΥ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙ ΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥ.
ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ ΣΤΙΣ ΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ
β΄γυμνασίου
ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ ΣΤΙΣ ΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ
β΄γυμνασίου
Η παρακάτω πειραματική δραστηριότητα πραγματοποιήθηκε σε διδακτική ώρα των μαθηματικών β΄γυμνασίου στις 29 Φεβρουαρίου 2016. Αφορούσε στις γραφικές παραστάσεις συναρτήσεων και ανήκει στην ειδική περίπτωση βιωματικής μάθησης στα μαθηματικά που αποκαλείται "πειραματικές δράσεις με χειραπτικά αντικείμενα". Στόχος ήταν να κατανοήσουν οι μαθητές το σχεδιασμό των γραφικών παραστάσεων αλλά και τη λειτουργικότητά τους στην εξαγωγή προβλέψεων και συμπερασμάτων.
Χρόνος υλοποίησης δραστηριότητας : Δευτέρα 29 Φεβρουαρίου 2016
Κοινωνική ενορχήστρωση της τάξης: Οι μαθητές χωρίστηκαν σε ομάδες των 5 ατόμων.
Πορεία δραστηριότητας: Αρχικά πάνω στην έδρα τοποθετήσαμε ένα καμινέτο που πάνω του βρισκόταν ένα κυλινδρικό δοχείο με νερό. Μέσα στο δοχείο τοποθετήσαμε θερμόμετρο οινοπνεύματος. Τα υλικά του πειράματος λοιπόν ήταν :
1. Καμινέτο
2. Κυλλινδρικό δοχείο
3. Νερό
4. Θερμόμετρο οινοπνεύματος
5. Αναπτήρας
6. Χαρτί μιλιτρέ ( ένα για κάθε ομάδα).
7. Χρονόμετρο.
7. Χρονόμετρο.
Στη συνέχεια μετρούσαμε κάθε ένα λεπτό τη θερμοκρασία του νερού όπως την κατέδειχνε το θερμόμετρο. Συγκεκριμένα ένας μαθητής χρησιμοποιούσε το χρονόμετρο και μόλις περνούσε ένα λεπτό ειδοποιούσε τον άλλον μαθητή και παρατηρούσε τη θερμοκρασία. Κατασκευάσαμε έτσι έναν πίνακα τιμών χρόνου - θερμοκρασίας.
Χρόνος 0 1 2 3 4 5 6
Θερμοκρασία 20 32 37 42 47 51 55
Αποτυπώθηκαν οι τιμές του πίνακα τιμών σε σημεία γραφήματος στο χαρτί μιλιμιτρέ.
Κατόπιν ενώνοντας τα διαδοχικά σημεία με ευθύγραμμα τμήματα σχηματίσαμε την γραφική παράσταση που παριστάνει την εξέλιξη του φαινομένου.
Το τελευταίο βήμα ήταν να εκτιμήσουμε τη θερμοκρασία του νερού 2,5 λεπτά και 4,5 λεπτά μετά το άναμμα της φωτιάς.Χρησιμοποιήσαμε κατακόρυφες κι οριζόντιες γραμμές στο χαρτί μιλιμετρέ. Συγκεκριμένα βρήκαμε τη θέση 2,5 ( και 4,5 αργότερα) στον οριζόντιο άξονα και από τη θέση αυτή σχεδιάσαμε κατακόρυφο ευθύγραμμο τμήμα μέχρι να συναντήσει την γραφική παράσταση. Από το σημείο εκείνο κατασκευάσαμε οριζόντιο τμήμα μέχρι να συναντήσει τον κατακόρυφο άξονα yy΄. Σε εκείνη τη θέση καταγράφεται η ζητούμενη τιμή θερμοκρασίας. Παρατηρήσαμε έτσι ότι η γραφική παράσταση είναι ένα εύχρηστο εργαλείο στην εκτίμηση και πρόβλεψη φαινομένων.
19. ΜΕΤΑΒΟΛΗ ΘΕΡΜΟΚΡΑΣΙΑΣ ΜΕ ΤΟ ΧΡΟΝΟ - ΑΝΑΖΗΤΗΣΗ ΚΑΛΥΤΕΡΟΥ ΘΕΡΜΟΜΟΝΩΤΙΚΟΥ ΥΛΙΚΟΥ - ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ ΣΤΙΣ ΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ
Η παρακάτω κατασκευή πραγματοποιήθηκε στις 24 Φεβρουαρίου 2016 σε διδακτική ώρα της άλγεβρας β΄ γυμνασίου. Αφορούσε στην διδακτική ενότητα της λειτουργικότητας των γραφικών παραστάσεων.
Χρόνος υλοποίησης δραστηριότητας : Σε 1 διδακτική ώρα στις 24 Φεβρουαρίου 2016.
Κοινωνική ενορχήστρωση της τάξης: Οι μαθητές χωρίστηκαν σε ομάδες των 5 ατόμων.
Πορεία δραστηριότητας: Σε κάθε ομάδα δόθηκαν τα παρακάτω χειραπτικά υλικά:
1. 4 όμοια τενεκεδάκια αναψυκτικού
2. αλουμινόχαρτο , χαρτί , βαμβάκι , μάλλινο ύφασμα
3. θερμόμετρο
4. καμινέτο
5. πυρίμαχο δοχείο
6. ζιλοτέιπ
7. χαρτί , χαρτί μιλιμιτρέ ,μολύβι
8 ψαλίδι
9. Χρονόμετρο
Σκοπός της δράσης είναι να εντοπίσουμε ποιο από τα υλικά : αλουμινόχαρτο , χαρτί , βαμβάκι , μάλλινο ύφασμα είναι το καλύτερο θερμομονωτικό υλικό. Για το σκοπό αυτό επενδύουμε με καθένα από τα υλικά αυτά καθένα από τα πανομοιότυπα τενεκεδάκια. Στο πυρίμαχο δοχείο προσθέτουμε νερό και το τοποθετούμε πάνω στο αναμμένο καμινέτο. Μέσα στο δοχείο με το νερό βάζουμε ένα θερμόμετρο και παρακολουθούμε την άνοδο της θερμοκρασίας του. Μόλις η ένδειξη του θερμομέτρου είναι 70 βαθμοί απομακρύνουμε το δοχείο από την εστία φωτιάς και ρίχνουμε ίση ποσότητα νερού στα 4 τενεκεδάκια. Στη συνέχεια με βοήθεια χρονομέτρου κια θερμομέτρου καταγράφουμε τη θερμοκρασία του νερού σε καθένα από τα τενεκεδάκια στα 3 , 6 , 9 ,12 λεπτά μετά από την είσοδο του νερού. Παριστάνουμε τα αποτελέσματα σε πίνανα και σε γραφική παράσταση σε χαρτί μιλιμιτρέ.
Στη συνέχεια καταγράψαμε τις μετρήσεις σε πίνακα και στη συνέχεια τις παραστήσαμε σε γραφική παράσταση χρόνου - θερμοκρασία.
Διδακτικά οφέλη: Παρατηρήσαμε έτσι ότι η γραφική παράσταση αποτελεί ένα εύχρηστο κι αξιόπιστο εργαλείο για την παρουσίαση μετρήσεων και κυρίως για την ασφαλή εξαγωγή συμπερασμάτων . Έτσι από αυτήν φαίνεται ότι το καλύτερο θερμομονωτικό υλικό είναι το μάλλινο ύφασμα. Ακολουθεί το βαμβάκι και μετά το χαρτί και τέλος το αλουμινόχαρτο.
20. ΜΕΤΡΗΣΗ ΤΟΥ ΥΨΟΥΣ ΤΟΥ ΣΧΟΛΕΙΟΥ
ΜΕ ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗ ΓΩΝΙΑΣ ΥΨΟΥΣ
β΄γυμνασίου
Η παρακάτω πειραματική δραστηριότητα πραγματοποιήθηκε σε διδακτική ώρα των μαθηματικών β΄γυμνασίου στις 25 Φεβρουαρίου 2016. Αφορούσε στην διδασκαλία της εφαπτομένης οξείας γωνίας και ανήκει στην ειδική περίπτωση βιωματικής μάθησης στα μαθηματικά που αποκαλείται "μεταφορά προβλήματος στην πραγματικότητα". Στόχος ήταν να υπολογίσουν οι μαθητές το ύψος του κτιρίου του σχολείου τους χρησιμοποιώντας την τριγωνομετρία και για το λόγο αυτό κατασκεύασαν με απλά υλικά γωνιόμετρο.
β΄γυμνασίου
Η παρακάτω πειραματική δραστηριότητα πραγματοποιήθηκε σε διδακτική ώρα των μαθηματικών β΄γυμνασίου στις 25 Φεβρουαρίου 2016. Αφορούσε στην διδασκαλία της εφαπτομένης οξείας γωνίας και ανήκει στην ειδική περίπτωση βιωματικής μάθησης στα μαθηματικά που αποκαλείται "μεταφορά προβλήματος στην πραγματικότητα". Στόχος ήταν να υπολογίσουν οι μαθητές το ύψος του κτιρίου του σχολείου τους χρησιμοποιώντας την τριγωνομετρία και για το λόγο αυτό κατασκεύασαν με απλά υλικά γωνιόμετρο.
Χρόνος υλοποίησης δραστηριότητας : Πέμπτη 25 Φεβρουαρίου 2016
Κοινωνική ενορχήστρωση της τάξης: Οι μαθητές χωρίστηκαν σε ομάδες των 5 ατόμων. Ο πρώτος θα ήταν ο χειριστής του γωνιόμετρου , ο δεύτερος ο καταγραφέας που καταγράφει τις μετρήσεις στο φύλλο εργασίας , οι δύο επόμενοι μετρούσαν την οριζόντια απόσταση από το σημείο που στάθηκε ο χειριστής μέχρι τη βάση του σχολείου.Ο τελευταίος ήταν ο συντονιστής της ομάδας.
Πορεία δραστηριότητας: Αρχικά η κάθε ομάδα με απλά υλικά κατασκεύασε ένα απλό γωνιόμετρο. Τα υλικά που χρειάστηκαν ήταν:
1. Ορθογώνιο χαρτόνι.
2. Φωτοτυπία μοιρογνωμόνιου
3. Ζιλοτέιπ
4. Κόλλα
5. Κλωστή
6. Κουμπιά ( σα βαρίδι)
Τα παιδιά είχαν φέρει από το σπίτι τους τα περισσότερα υλικά και η κατασκευή έγινε εύκολα.
Στη συνέχεια βγήκαμε στο προαύλιο του σχολείου. Ο χειριστής του γωνιόμετρου κάθε ομάδας στάθηκε σε ένα συγκεκριμένο και διαφορετικής απόστασης σημείο από το κτίριο του σχολείου. Με κλειστό το ένα μάτι στόχευσε το ψηλότερο σημείο του σχολείου και όταν ήταν έτοιμος ο καταγραφέας παρατήρησε την γωνία που έδειχνε η κλωστή με το βαρίδι ( κουμπί) πάνω στη φωτοτυπία του μοιρογνωμονίου. την κατέγραψε στο φύλλο εργασίας.
Στη συνέχεια οι μαθητές μέτρησαν την οριζόντια απόσταση από το σημείο που στάθηκε ο χειριστής μέχρι τη βάση του σχολείου καθώς και το ύψος του κάθε χειριστή. Ο καταγραφέας κατέγραψε και αυτές τις μετρήσεις και οδηγηθήκαμε ξανά στην αίθουσα διδασκαλίας.
Στην τάξη με τη βοήθεια του φύλλου εργασίας σχεδιάσαμε ένα πρόχειρο σχεδιάγραμμα και προβήκαμε στον υπολογισμό του ύψους του κτιρίου χρησιμοποιώντας την εφαπτομένη της γωνίας ύψους.
H κατασκευή του γωνιόμετρου στηρίχτηκε στον λεγόμενο "Τετράντα του Ίππαρχου" , γνωστό μετρητικό όργανο της ελληνικής αρχαιότητας που χρησιμοποιούνταν στην αστρονομία , ναυσιπλοΐα και στον υπολογισμό του ύψους ενός κτιρίου. Το παρακάτω κείεμνο οφείλεται στον μηχανικό κ. Κοτσανά που έχει προχωρήσει σε πάμπολλες αναπαραστάσεις αρχαίας ελληνικής τεχνολογίας.
Διαδακτικά οφέλη : Συνδέθηκε η μαθηματική γνώση με την πραγματικότητα. Οι μαθητές κατανόησαν την χρησιμότητα της τριγωνομετρίας στον υπολογισμό του ύψους κτιρίων ή δέντρων. Κατασκεύασαν ειδικό όργανο ( γωνιόμετρο) με απλά υλικά και διαπίστωσαν πως με μαθηματικές σκέψεις και πράξεις λύνουμε προβλήματα στον πραγματικό χώρο. Οι μαθητές μετατράπηκαν σε μικρούς ερευνητές και ανακάλυψαν μαθηματικές γνώσεις που επιλύουν συγκεκριμένα πραγματικά προβλήματα. Η δραστηριότητα εκτός από το υπολογιστικό μέρος της περιείχε και μαθηματικές διαδικασίες σε μολύβι - χαρτί σαν να ήταν μια απλή άσκηση εφαπτομένης οξείας γωνίας. Μόνο που τώρα πήρε "σάρκα και οστά" γιατί αφορούσε σε υπολογισμό πραγματικού ύψους!
Αδυναμίες : Η δραστηριότητα δεν μπορεί να ολοκληρωθεί επιτυχώς σε μια διδακτική ώρα. Απαιτείται σε μια νέα ώρα να αναστοχαστούν οι μαθητές τι έκαναν , να εμπεδωθούν καλύτερα οι μαθηματικές πράξεις που οδήγησαν στον υπολογισμό του ύψους του σχολείου. Τέλος πρέπει να συζητηθούν οι αποκλίσεις στα αποτελέσματα των ομάδων που οφείλονται στα σφάλματα μέτρησης.
Σε μια νέα διδακτική ώρα μελετήσαμε ένα σχετικό μικροπείραμα σε Geogebra. Είδαμε τότε ότι το ύψος του κτιρίου δεν εξαρτάται από το ύψος του παρατηρητή ούτε από την απόστασή του από τη βάση του σχολείου.
(κάντε κλικ στην παραπάνω εικόνα για να εμφανιστεί το μικροπείραμα σε Geogebra).
21 ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ ΣΤΟ ΤΕΤΡΑΓΩΝΟ ΑΘΡΟΙΣΜΑΤΟΣ
γ΄ γυμνασίου
Η παρακάτω πειραματική δραστηριότητα πραγματοποιήθηκε σε διδακτική ώρα των μαθηματικών γ΄ γυμνασίου στις 15 Νοεμβρίου 2016. Αφορούσε σε εισαγωγική δραστηριότητα του τετραγώνου αθροίσματος. Στόχος ήταν η εννοιολογική κατανόηση της ταυτότητας μέσα από χειραπτικά αντικείμενα κατασκευής παζλ.
Χρόνος υλοποίησης δραστηριότητας : Τρίτη 15 Νοεμβρίου 2016.
Κοινωνική ενορχήστρωση της τάξης: Οι μαθητές ήταν χωρισμένοι σε ομάδες των 5 ατόμων.
Πορεία της δραστηριότητας : Σε κάθε ομάδα δόθηκαν τα παρακάτω υλικά :
1. Χαρτόνι
2. Στυλό
3. Ψαλίδι
4. Μαρκαρόροι (μπλε , κόκκινος , πράσινος).
5. Χάρακας
Οι μαθητές σχεδίασαν πάνω στο χαρτόνι ένα τετράγωνο (Α) πλευράς 2cm , ένα τετράγωνο (Β) πλευράς 3cm και δύο ορθογώνια (Γ) διαστάσεων 2x3. Στη συνέχεια χρωμάτισαν με μπλε χρώμα το τετράγωνο Α , με πράσινο το Β και με κόκκινο καθένα από τα ορθογώνια Γ.
Χρόνος υλοποίησης δραστηριότητας : Τρίτη 15 Νοεμβρίου 2016.
Κοινωνική ενορχήστρωση της τάξης: Οι μαθητές ήταν χωρισμένοι σε ομάδες των 5 ατόμων.
Πορεία της δραστηριότητας : Σε κάθε ομάδα δόθηκαν τα παρακάτω υλικά :
1. Χαρτόνι
2. Στυλό
3. Ψαλίδι
4. Μαρκαρόροι (μπλε , κόκκινος , πράσινος).
5. Χάρακας
Οι μαθητές σχεδίασαν πάνω στο χαρτόνι ένα τετράγωνο (Α) πλευράς 2cm , ένα τετράγωνο (Β) πλευράς 3cm και δύο ορθογώνια (Γ) διαστάσεων 2x3. Στη συνέχεια χρωμάτισαν με μπλε χρώμα το τετράγωνο Α , με πράσινο το Β και με κόκκινο καθένα από τα ορθογώνια Γ.
Σύμφωνα με τις οδηγίες του φύλλου εργασίας που τους μοιράστηκε ένωσαν κατάλληλα τα σχήματα που κατασκεύασαν με παζλ ώστε να σχηματιστεί τετράγωνο πλευράς 5cm. Τα σχήματα μιας ομάδας κολλήθηκαν στον πίνακα κι ένας μαθητής έκανε την αναπαράστασης της κατασκευής του ζητούμενου τετραγώνου στον πίνακα,
Στην συνέχεια απαντώντας στα ερωτήματα του φύλλου εργασίας οδηγηθήκαμε στην ταυτότητα του τετραγώνου αθροίσματος όπως φαίνεται και στην παρακάτω εικόνα.
Διδακτικά οφέλη : Πετύχαμε την εννοιολογική κατανόηση της ταυτότητας του τετραγώνου αθροίσματος με χρήση γεωμετρικού παζλ. Αιτιολογήθηκε εποπτικά με χρήση χειραπτικών αντικειμένων γιατί στην ταυτότητα αυτή περιέχεται ο όρος του διπλασίου γινομένου των α, β. Ουσιαστικά όρος αυτός ισούται με τα εμβαδά των δύο κόκκινων ορθογωνίων Γ.
22. ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ ΣΤΗΝ ΤΡΙΓΩΝΙΚΗ ΑΝΙΣΟΤΗΤΑ
γ΄ γυμνασίου
Η παρακάτω πειραματική δραστηριότητα πραγματοποιήθηκε σε διδακτική ώρα των μαθηματικών γ΄ γυμνασίου στις 16 Νοεμβρίου 2016. Αφορούσε στην διδασκαλία της τριγωνικής ανισότητας. Στόχος ήταν να διαπιστώσουν οι μαθητές ότι για να σχηματιστεί τρίγωνο πρέπει το άθροισμα των μηκών δύο πλευρών του να είναι μεγαλύτερο από την τρίτη πλευρά. Για το λόγο αυτό χρησιμοποιήθηκαν χειραπτικά αντικείμενα ( καλαμάκια).
Χρόνος υλοποίησης της δραστηριότητας : Τετάρτη 16 Νοεμβρίου 2016.
Κοινωνική ενορχήστρωση της τάξης : Οι μαθητές χωρίστηκαν σε ομάδες των 5 ατόμων.
Πορεία διδασκαλίας : Σε κάθε ομάδα δόθηκαν τα παρακάτω υλικά :
1. 4 καλαμάκια διαφόρων χρωμάτων.
2. Ψαλίδι.
3. Ζιλοτέιπ.
Αρχικά οι μαθητές κράτησαν ένα ολόκληρο καλαμάκι και έκοψαν άλλα δύο μικρότερα κομμάτια από ένα δεύτερο/ τα δύο αυτά μικρά κομμάτια δεν συμπλήρωναν το μήκος ενός ολόκληρου. Τους ζητήθηκε να σχηματίσουν τρίγωνα με πλευρές αυτά τα τμήματα. Διαπιστώσαμε ότι αυτό ήταν αδύνατο γιατί το άθροισμα των δύο ήταν μικρότερο από το τρίτο και μεγαλύτερο.
Στη συνέχεια επαναλάβαμε τη διαδικασία με τρία κομμάτια από καλαμάκια τέτοια ώστε το άθροισμα των μηκών των δύο να ξεπερνάει το μήκος του τρίτου. Οι μαθητές τότε διαπίστωσαν ότι τα κομμάτια αυτά σχηματίζουν τρίγωνο καθώς πληρούν τις προϋποθέσεις της τριγωνικής ανισότητας.
Στο τέλος τα συμπεράσματα παρουσιάστηκαν σε όλη την τάξη με την διατύπωση της τριγωνικής ανισότητας και αφού κολλήθηκαν στον πίνακα με ζιλοτέιπ τα κομμάτια από τα καλαμάκια για την εποπτική επικύρωσή της
Διδακτικά οφέλη : Οι μαθητές διαπίστωσαν με χρήση χειραπτικών αντικειμένων ότι για να σχηματιστεί τρίγωνο με πλευρές δοθέντα τμήματα πρέπει το άθροισμα των δύο να είναι μεγαλύτερο από το τρίτο. Έτσι επαλήθευσαν πειραματικά την τριγωνική ανισότητα.
ΜΕΤΡΗΣΗ ΤΟΥ ΥΨΟΥΣ ΤΟΥ ΣΧΟΛΕΙΟΥ
γ΄ γυμνασίου
Η παρακάτω πειραματική δραστηριότητα πραγματοποιήθηκε σε διδακτική ώρα των μαθηματικών γ΄γυμνασίου στις 19 Φεβρουαρίου 2016. Αφορούσε στην διδασκαλία των ομοίων τριγώνων και ανήκει στην ειδική περίπτωση βιωματικής μάθησης στα μαθηματικά που αποκαλείται "μεταφορά προβλήματος στην πραγματικότητα". Στόχος ήταν να υπολογίσουν οι μαθητές το ύψος του κτιρίου του σχολείου τους χρησιμοποιώντας τη θεωρία ομοίων τριγώνων και για το λόγο αυτό κατασκεύασαν με απλά υλικά υψομετρητή.
Ημερομηνία παραγματοποίησης : 19 - 2 - 2016
Κοινωνική ενορχήστρωση της τάξης : Η τάξη χωρίστηκε σε ομάδες των 5 ατόμων. Ο ένας μαθητής ήταν ο χειριστής του υψομετρητή , ο δεύτερος ο καταγραφέας των μετρήσεων σε ένα χαρτί , ο τρίτος κι ο τέταρτος θα μετρούν την οριζόντια απόσταση κι τελευταίος θα συντονίζει την ομάδα.
Πορεία δραστηριότητας : Αρχικά η κάθε ομάδα κατασκεύασε έναν υψομετρητή χρησιμοποιώντας ως υλικά τα : χαρτόνι , καλαμάκι , χαρτί μιλιμιτρέ , κλωστή , κουμπί , κόλλα , ψαλίδι , ζιλοτέιπ.
Στη συνέχεια βγήκαμε στο προαύλιο του σχολείου. στήθηκε ο χειριστής του υψομετρητή σε ένα σημείο και στόχευσε στην κορυφή του σχολείου. Ο καταγραφέας κατέγραψε την απόσταση σε εκατοστά που έδειξε η κλωστή με το βαρίδι (κουμπί).
Οι δύο επόμενοι μαθητές της ομάδας μέτρησαν την οριζόντια απόσταση από το σημείο που στάθηκε ο χειριστής έως τη βάση του σχολείου. Ο καταγραφέας κατέγραψε κι αυτή την μέτρηση. Χρειάστηκε να μετρήσουμε και το ύψος όσων χειριστών δεν το γνώριζαν.
Στο τέλος μπήκαμε στην αίθουσα διδασκαλίας και υπολογίσαμε το ύψος του σχολείου χρησιμοποιώντας τη θεωρία ομοίων τριγώνων με τη βοήθεια κατάλληλου φύλλου εργασίας.
Το σκεπτικό της δραστηριότητας στηρίζεται στην ομοιότητα των τριγώνων ΔΕΖ και ΑΒΓ (παρακάτω σχήμα.)
Οπότε ισχύει ΔΖ/ΕΖ = ΒΓ / ΔΓ . Έχοντας μετρήσει τα ΕΖ πάνω στο χαρτί μιλιμιτρέ , την οριζόντια απόσταση ΔΓ και η ΔΖ = 10cm = 0,1m υπολογίζουμε το ΒΓ. Προσθέτοντας την ΒΓ με το ύψος του χειριστή βρίσκουμε το συνολικό ύψος του σχολείου.
Ημερομηνία παραγματοποίησης : 30 - 1 - 2016
1. Τις γωνίες Α, Β, Γ του τριγώνου ΑΒΓ.
2. Τις γωνίες Δ . Ε , Ζ του τριγώνου ΔΕΖ.
3. Τις πλευρές ΑΒ , ΑΓ , ΒΓ του τριγώνου ΑΒΓ
4. Τις πλευρές ΔΕ , ΔΖ , ΕΖ του τριγώνου ΔΕΖ
5. Τους λόγους ΑΒ/ΔΕ , ΑΓ/ΔΖ , ΒΓ/ΕΖ
Έπρεπε μετά από τις μετρήσεις να βγάλουν το συμπέρασμά τους και να συζητήσουμε μέσα στην τάξη τα αποτελέσματα όλων των ομάδων.
Συμπεράσματα : α. Όλοι οι μαθητές οδηγήθηκαν εύκολα στο συμπέρασμα ότι τα τρίγωνα έχουν τις γωνίες τους μία προς μία ίσες.
β. Στους λόγους των πλευρών παρατηρήθηκαν σφάλματα μέτρησης ώστε οι λόγοι των πλευρών να φαίνεται ότι έχουν κοντινές αλλά όχι ίσες τιμές. Με μια προσεκτικότερη μέτρηση με το χάρακα οι δύο ομάδες οδηγήθηκαν στο συμπέρασμα ότι οι λόγοι είναι ίσοι ενώ η τρίτη ομάδα βρήκε τους δύο λόγους ίσους και τον τρίτο με μια μικρή απόκλιση ενός χιλιοστού.
γ. Έγινε σύνδεση του σταθερού λόγου των πλευρών με την σμίκρυνση 71% = 71/100 = 0,71. Παρακάτω θα δείτε φωτογραφικό υλικό από την εργασία των μαθητών.
Διδακτικά Οφέλη : Συνδέθηκε η μαθηματική γνώση με την πραγματικότητα. Οι μαθητές κατανόησαν την χρησιμότητα της θεωρίας των ομοίων τριγώνων στον υπολογισμό του ύψους κτιρίων ή δέντρων. Κατασκεύασαν ειδικό όργανο ( υψομετρητή) με απλά υλικά και διαπίστωσαν πως με μαθηματικές σκέψεις και πράξεις λύνουμε προβλήματα στον πραγματικό χώρο. Οι μαθητές μετατράπηκαν σε μικρούς ερευνητές ( "μικροί Θαλήδες" ) επαναλαμβάνοντας στην πράξη την πορεία δράσης του αρχαίου Έλληνα μαθηματικού όταν ανακάλυπτε μαθηματικές γνώσεις που επιλύουν συγκεκριμένα πραγματικά προβλήματα. Η δραστηριότητα εκτός από το υπολογιστικό μέρος της περιείχε και μαθηματικές διαδικασίες σε μολύβι - χαρτί σαν να ήταν μια απλή άσκηση μαθηματικών στα όμοια τρίγωνα. Μόνο που τώρα πήρε "σάρκα και οστά" γιατί αφορούσε σε υπολογισμό πραγματικού ύψους!
Αδυναμίες: Η δραστηριότητα δεν μπορεί να ολοκληρωθεί επιτυχώς σε μια διδακτική ώρα. Απαιτείται σε μια νέα ώρα να αναστοχαστούν οι μαθητές τι έκαναν , να εμπεδωθούν καλύτερα οι μαθηματικές πράξεις που οδήγησαν στον υπολογισμό του ύψους του σχολείου. Τέλος πρέπει να συζητηθούν οι αποκλίσεις στα αποτελέσματα των ομάδων που οφείλονται στα σφάλματα μέτρησης.
24. ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ ΣΤΑ ΟΜΟΙΑ ΤΡΙΓΩΝΑ
γ΄ γυμνασίου
Η παρακάτω πειραματική δραστηριότητα πραγματοποιήθηκε σε διδακτική ώρα των μαθηματικών γ΄ γυμνασίου στις 30 Ιανουαρίου 2016. Αφορούσε στην διδασκαλία των ομοίων τριγώνων και ανήκει στην ειδική περίπτωση βιωματικής μάθησης στα μαθηματικά που αποκαλείται " πειραματικές δράσεις με χειραπτικά αντικείμενα". Στόχος ήταν να κατανοήσουν οι μαθητές ότι τα όμοια τρίγωνα έχουν ίσες μία προς μία τις γωνίες τους και τις πλευρές τους ανάλογες. Οι μαθητές με απλά υλικά ( χαρτί μολύβι , χάρακας , μοιρογνωμόνιο , υπολογιστή τσέπης) και χρησιμοποιώντας το φωτοτυπικό μηχάνημα του σχολείου προέβησαν σε κατάλληλες μετρήσεις και ανακάλυψαν τις ιδιότητες των ομοίων σχημάτων.
Ημερομηνία παραγματοποίησης : 30 - 1 - 2016
Κοινωνική ενορχήστρωση της τάξης : Η τάξη χωρίστηκε σε ομάδες των 5 ατόμων. Δόθηκε σε κάθε ομάδα μία φωτοτυπία, στο οποίο υπήρχε σχεδιασμένο ένα τρίγωνο ΑΒΓ , ένα μοιρογνωμόνιο κι ένας χάρακας.
Πορεία δραστηριότητας : Ένας μαθητής από κάθε ομάδα πήγε στο φωτοτυπικό του σχολείου μας κι έφερε μια επιπλέον φωτοτυπία του τριγώνου με σμίκρυνση 71%. Ονομάσαμε το νέο τρίγωνο ΔΕΖ.
Ζητήθηκε από τους μαθητές να υπολογίσουν :1. Τις γωνίες Α, Β, Γ του τριγώνου ΑΒΓ.
2. Τις γωνίες Δ . Ε , Ζ του τριγώνου ΔΕΖ.
3. Τις πλευρές ΑΒ , ΑΓ , ΒΓ του τριγώνου ΑΒΓ
4. Τις πλευρές ΔΕ , ΔΖ , ΕΖ του τριγώνου ΔΕΖ
5. Τους λόγους ΑΒ/ΔΕ , ΑΓ/ΔΖ , ΒΓ/ΕΖ
Έπρεπε μετά από τις μετρήσεις να βγάλουν το συμπέρασμά τους και να συζητήσουμε μέσα στην τάξη τα αποτελέσματα όλων των ομάδων.
Συμπεράσματα : α. Όλοι οι μαθητές οδηγήθηκαν εύκολα στο συμπέρασμα ότι τα τρίγωνα έχουν τις γωνίες τους μία προς μία ίσες.
β. Στους λόγους των πλευρών παρατηρήθηκαν σφάλματα μέτρησης ώστε οι λόγοι των πλευρών να φαίνεται ότι έχουν κοντινές αλλά όχι ίσες τιμές. Με μια προσεκτικότερη μέτρηση με το χάρακα οι δύο ομάδες οδηγήθηκαν στο συμπέρασμα ότι οι λόγοι είναι ίσοι ενώ η τρίτη ομάδα βρήκε τους δύο λόγους ίσους και τον τρίτο με μια μικρή απόκλιση ενός χιλιοστού.
γ. Έγινε σύνδεση του σταθερού λόγου των πλευρών με την σμίκρυνση 71% = 71/100 = 0,71. Παρακάτω θα δείτε φωτογραφικό υλικό από την εργασία των μαθητών.
Διδακτικά οφέλη : Οι μαθητές ανακάλυψαν μόνοι τους τις ιδιότητες των ομοίων τριγώνων προβαίνοντας σε μετρήσεις και υπολογισμούς χωρίς να επιβληθεί η γνώση από την αυθεντία του διδάσκοντα. Κατανόησαν έτσι καλύτερα τις ιδιότητες αυτές γιατί ήταν προϊόν δικής τους δραστηριοποίησης.
Αδυναμίες : Παρουσιάστηκε δυσκολία στην επιβεβαίωση της ισότητας των λόγων των ομοίων τριγώνων που οφειλόταν σε σφάλματα μέτρησης με τα γεωμετρικά όργανα. Με προσεκτικότερες όμως μετρήσεις επιτυγχάθηκε το αναμενόμενο αποτέλεσμα.
25. ΒΙΩΜΑΤΙΚΟ ΔΡΩΜΕΝΟ ΣΤΗΝ ΙΔΙΟΤΗΤΑ :
"Αν α = γ και β = γ τότε α = β ".
Α΄ Λυκείου
Το παρακάτω βιωματικό δρώμενο πραγματοποιήθηκε σε διδακτική ώρα της γεωμετρίας Α΄Λυκείου στην 4.1 παράγραφο. Η άσκηση που λύσαμε ήταν ότι οι εκτός εναλλάξ γωνίες είναι ίσες στις 3 Φεβρουαρίου 2017. στόχος ήταν να κατανοήσουν οι μαθητές την ιδιότητα "Αν α = γ και β = γ τότε α = β".
Δύο μαθήτριες σηκώθηκαν στον πίνακα και έπαιξαν τον ρόλο των γωνιών α, β κρατώντας ένα χαρτί που ανέγραφε α και β αντίστοιχα. Μια τρίτη μαθήτρια με παρόμοιο χαρτί παρίστανε την γωνία γ. Η βασική σκέψη που μεταφέρθηκε στους μαθητές ήταν :
Αν η Εύη (α) είναι συμμαθήτρια με την Ελισάβετ (γ) και
η Φαίδρα (β) είναι συμμαθήτρια με την Ελισάβετ (γ) τότε και
η Εύη (α) είναι συμμαθήτρια με την Φαίδρα (β).
Μετά επεκτείναμε την σχέση "συμμαθητριών " με την σχέση "ισότητας" των ηλικιών τους.
Αν α = γ και β = γ τότε α = β.
