Μαθηματική ξενάγηση

 Το τελευταίο θεώρημα του Fermat.

 

Ο Pierre de Fermat γεννήθηκε στις 20 Αυγούστου του 1601 σε μια μικρή πόλη της νοτιοδυτικής Γαλλίας. Ακολούθησε καριέρα ως δικαστικός και εργάστηκε για λογαριασμό της τοπικής κυβέρνησης. Για να εξασφαλισθεί το αμερόληπτο των δικαστών την εποχή εκείνη , δεν τους επιτρεπόταν να έρχονται σε επαφή με τον πολύ κόσμο και περιόριζαν τις κοινωνικές τους εκδηλώσεις. Για τον λόγο αυτό ο Fermat στον ελεύθερο χρόνο του όταν σταματούσε τη δουλειά του , ξεκινούσε την ενασχόλησή του με το χόμπι του , τα Μαθηματικά. Παρ’ότι ερασιτέχνης , ο Fermat ήταν αρκετά καλλιεργημένος μαθηματικά και σε αυτόν οφείλεται κατά ένα μεγάλο μέρος η ανάπτυξη της θεωρίας των πιθανοτήτων και οι βάσεις του μαθηματικού λογισμού

Περισσότερο από όλα ο Fermat ήταν πολύ καλός γνώστης της θεωρίας αριθμών και ασχολήθηκε με τη μελέτη των ακεραίων αριθμών και τις σχέσεις που ισχύουν μεταξύ τους. Συχνά έγραφε επιστολές προς γνωστούς μαθηματικούς της εποχής του στις οποίες εξέθετε τις απόψεις και αναλύσεις του πάνω σε μαθηματικά προβλήματα , αλλά επίσης ζητούσε και την άποψή τους για την επιβεβαίωση των δικών του μεθόδων. Αυτές οι «προκλήσεις» καθώς και το γεγονός ότι δεν αποκάλυπτε τους δικούς του υπολογισμούς , προκαλούσε συχνά μια κάποια απογοήτευση.

Ο Fermat έγραψε κάποτε μια ανάλυση σχετική με το περίφημο πια «τελευταίο θεώρημα του» , κατά τη διάρκεια της ενασχόλησής του με το αρχαίο ελληνικό κείμενο Αριθμητική (Arithmetica) που ήταν γραμμένο από τον Διόφαντο της Αλεξάνδρειας. Το βιβλίο αυτό ανέλυε το θέμα της ύπαρξης ακεραίων λύσεων για την εξίσωση a²+b²=c² , που είναι ο γνωστός τύπος του Πυθαγόρα για τα ορθογώνια τρίγωνα. Η εξίσωση αυτή έχει άπειρες τριάδες λύσεων , που καλούνται πυθαγόρειες τριάδες. Μια γνωστή σε όλους λύση είναι η a=3, b=4, c=5. Ο Fermat επέκτεινε τον τύπο του Πυθαγόρα ένα βήμα παραπάνω και κατέληξε στο συμπέρασμα ότι δεν υπάρχουν μη μηδενικές λύσεις (τριάδες) για μια οικογένεια παρόμοιων εξισώσεων της μορφής aⁿ+bⁿ=cⁿ , όπου n= ακέραιος >2.

Έγραφε λοιπόν :" Είναι αδύνατο μια κυβική δύναμη να γραφεί ως άθροισμα δύο κυβικών δυνάμεων ή μια τέταρτη δύναμη να γραφεί ως άθροισμα δύο τέταρτων δυνάμεων και γενικά οποιαδήποτε δύναμη μεγαλύτερη του τετραγώνου είναι αδύνατον να γραφεί ως άθροισμα ιδίων δυνάμεων".

Είναι εκπληκτικό το γεγονός ότι παρ’όλο που υπάρχουν άπειρες πυθαγόρειες τριάδες, δεν υπάρχει καμία τριάδα Fermat. Παρ’όλ’αυτά ο Fermat πίστευε ότι μπορούσε να υποστηρίξει τον ισχυρισμό του με μια αυστηρή απόδειξη. Στο περιθώριο του βιβλίου Arithmetica ο Fermat έγραψε μια υποσημείωση που ταλάνισε γενιές μαθηματικών : «Έχω βρει μια εκπληκτική απόδειξη αυτής της πρότασης , την οποία το περιθώριο αυτού εδώ του βιβλίου είναι πολύ μικρό για να χωρέσει».

Ο Fermat έγραψε και άλλα τέτοια εξοργιστικά σημειώματα και μετά το θάνατό του ο γιος του εξέδωσε μια έκδοση του Arithmetica η οποία περιείχε όλα αυτά τα πειραχτικά προς τους μαθηματικούς σχόλια. Τελικά αυτό που συνέβη στην πράξη ήταν να αποδειχθούν και τα συνθετότερα των θεωρημάτων και ένα μόνο να μείνει άλυτο : το τελευταίο θεώρημα του Fermat.

Πολλοί μαθηματικοί πολέμησαν κατά καιρούς να βρουν κάποια απόδειξη , όμως τελικά αποτύγχαναν. Το 1742 ο Leonard Euler , ο μεγαλύτερος θεωρητικός της θεωρίας των αριθμών του 18^ου αιώνα , απογοητεύτηκε τόσο από την ανικανότητά του να επιλύσει το πρόβλημα , που ζήτησε από ένα φίλο του να ψάξει το σπίτι του Fermat μήπως και τυχόν έβρισκε κάποιο μυστικό παραπεταμένο σημείωμα που θα βοηθούσε στην προσπάθεια επίλυσης.  Τον 19^ο αιώνα η Sophie Germain – η οποία λόγω προκατάληψης προς τις γυναίκες μαθηματικούς χρησιμοποιούσε τον ανδρικό τίτλο Monsieur Leblanc – έκανε το πρώτο μικρό αλλά αποφασιστικό βήμα. Η Germain απέδειξε ένα γενικό θεώρημα το οποίο επιχειρούσε να βοηθήσει στην εύρεση λύσεων για την εξίσωση Fermat για τιμές του n>2 που είναι πρώτοι αριθμοί έτσι ώστε και ο αριθμός 2n+1 να είναι επίσης πρώτος. Αλλά μια πλήρης απόδειξη για ύπαρξη τέτοιου είδους εκθετών που δίνουν λύσεις παρέμεινε έξω από τις δυνατότητές της .

Στην αρχή του 20ού αιώνα, ο Paul Wolfskehl , ένας Γερμανός βιομήχανος κληροδότησε 100.000 μάρκα σε όποιον θα αντιμετώπιζε επιτυχώς την πρόκληση του Fermat. Σύμφωνα με κάποιους ιστορικούς, ο Wolfskehl βρισκόταν σε κάποια περίοδο στα πρόθυρα αυτοκτονίας , αλλά απέκτησε τόσο πάθος στην προσπάθεια να βρει τη λύση στο πρόβλημα που είχε θέσει ο Fermat που σύντομα εγκατέλειψε την ιδέα περί αυτοκτονίας. Επηρεασμένος από αυτήν την τροπή που είχαν πάρει τα πράγματα ο Wolfskehl ξαναέγραψε την διαθήκη του . Το βραβείο που όρισε ήταν κάτι σαν χρέος στον γρίφο που του είχε σώσει την ζωή.

Παραδόξως , παρόλο που το βραβείο Wolfskehl ωθούσε τους χομπίστες μαθηματικούς να βρουν τη λύση , οι επαγγελματίες έχαναν κάθε ελπίδα. Γενικά μέχρι εκείνη την εποχή η απόδειξη του τελευταίου θεωρήματος του Fermat αποτελούσε ένα ρομαντικό και απραγματοποίητο όνειρο από το παρελθόν και τίποτα παραπάνω.

Το 1963, σε ηλικία 10 μόλις ετών ο Wiles σαγηνεύτηκε από την πρόκληση του τελευταίου θεωρήματος του Fermat . Είχε διαβάσει γι’αυτό στην τοπική βιβλιοθήκη στο Cambridge και είχε υποσχεθεί στον εαυτό του ότι μια μέρα θα πετύχαινε να παρουσιάσει μια ολοκληρωμένη απόδειξη.

Δυστυχώς στα πρώτα του μαθητικά και φοιτητικά χρόνια οι δάσκαλοί του τον αποθάρρυναν από ένα τέτοιο εγχείρημα , θεωρώντας το ως κάτι πολύ μακρινό και άπιαστο. Τελικά όμως ο μεταπτυχιακός επιτηρητής του στο Πανεπιστήμιο του Cambridge τον ώθησε να ασχοληθεί με την περιοχή της μαθηματικής επιστήμης που ονομάζεται θεωρία των ελλειπτικών καμπυλών. Οι Αρχαίοι Έλληνες αρχικά ερεύνησαν την θεματική αυτή περιοχή. Οι ελλειπτικές καμπύλες εμφανίζονται μάλιστα σαν αντικείμενα προς μελέτη και στο βιβλίο Arithmetica. Αρχικά ο Wiles όταν άρχισε την ενασχόλησή του με την συγκεκριμένη περιοχή δεν μπορούσε να φανταστεί ότι αυτό θα τον οδηγούσε προς την κατεύθυνση του προβλήματος του Fermat.

Οι ελλειπτικές καμπύλες δεν είναι ελλείψεις. Αντιθέτως έχουν πάρει αυτήν την ονομασία διότι περιγράφονται ως μαθηματικά αντικείμενα με χρήση κυβικών εξισώσεων, όπως τέτοιες είναι και οι εξισώσεις που περιγράφουν μια έλλειψη. Οι κυβικές εξισώσεις – ονομάζονται έτσι διότι είναι βαθμού 3 – για τις ελλειπτικές καμπύλες λαμβάνουν τη μορφή y²=x³+ax²+bx+c , όπου a,b και c είναι ακέραιοι που ικανοποιούν κάποιες συγκεκριμένες συνθήκες. Οι θεωρητικοί της θεωρίας αριθμών προσπαθούν γενικά να προσδιορίσουν τον αριθμό των ρητών λύσεων . Για την περίπτωση των εξισώσεων βαθμού 4^ου ή και μεγαλύτερου ο αριθμός των πιθανών λύσεων είναι πάντα πεπερασμένος – γεγονός που ονομάζεται πόρισμα του Mordell και που απέδειξε το 1983 ο μαθηματικός Gerd Faltings. Όμως οι ελλειπτικές καμπύλες ( οι εξισώσεις που τις περιγράφουν ) παρουσιάζουν την ενδιαφέρουσα ιδιομορφία ότι μπορεί να έχουν είτε πεπερασμένο είτε άπειρο πλήθος λύσεων , πράγμα που είναι αδύνατο να μπορεί να πει κανείς να πει εύκολα από την αρχή.

Για να απλοποιήσουν κάπως τα πράγματα όσον αφορά στις εξισώσεις που περιγράφουν τις ελλειπτικές καμπύλες , οι μαθηματικοί κάνουν συχνά χρήση της αριθμητικής υπολοίπων  (modular arithmetic). Διαιρούν τις μεταβλητές x και y της κυβικής εξίσωσης με έναν πρώτο αριθμό p και κρατούν μόνο το υπόλοιπο της διαίρεσης. Αυτή η εξίσωση που προκύπτει τώρα είναι ισοδύναμη με την αρχική και ονομάζεται «η mod p» ισοδύναμή της. Η διαδικασία αυτή της διαίρεσης με τον παράγοντα p και μεταβάλλοντας την τιμή του p ελέγχεται κάθε φορά το set των λύσεων που προκύπτει ( Το p λειτουργεί ως παράμετρος στην όλη διαδικασία ) . Οι υπολογισμοί αυτοί διαμορφώνουν μια σειρά από πολύ απλούστερα προβλήματα , τα οποία είναι ακριβώς ανάλογα με το αρχικό .

Το βασικό πλεονέκτημα της αριθμητικής υπολοίπων είναι ότι οι μέγιστες πιθανές τιμές των μεταβλητών της υπό εξέταση εξίσωσης περιορίζονται με βάση το p . Οι μαθηματικοί για να κατανοήσουν το πρόβλημα των απείρων λύσεων στο αρχικό πρόβλημα , εξετάζουν πώς μεταβάλλονται οι λύσεις καθώς μεταβάλλεται η παράμετρος p. Χρησιμοποιώντας αυτήν την πληροφορία κατασκευάζουν τις λεγόμενες L-σειρές , που είναι δυναμοσειρές όπου στην p-στη δύναμη εμφανίζεται ως συντελεστής ο αριθμός των λύσεων που προκύπτει με χρήση του modulo-p για την τροποποίηση της αρχικής εξίσωσης.

Στην πραγματικότητα , στα μαθηματικά υπάρχουν και άλλες μαθηματικές οντότητες που καλούνται τύποι υπολοίπων (modular forms)  και οι οποίοι διαθέτουν επίσης L-σειρές. Οι τύποι υπολοίπων δεν έχουν καμία σχέση με την αριθμητική υπολοίπων. Είναι ένα είδος συνάρτησης που σχετίζεται με τους μιγαδικούς αριθμούς.

Οι τύποι υπολοίπων παρουσιάσουν το εκπληκτικό χαρακτηριστικό ότι μπορούν να εμφανίσουν μια γενικευμένη συμμετρία. Όπως οι τριγωνομετρικές συναρτήσεις , π.χ η συνάρτηση ημίτονο μένει απαράλλαχτη αν το όρισμά της μεταβληθεί κατά γωνία π ακτινίων, έτσι και οι τύποι υπολοίπων εμφανίζουν μια τέτοια αλλά πιο γενικευμένη συμμετρία ούτως ώστε να μετασχηματίζουν ένα μιγαδικό όρισμα με τέτοιο τρόπο που το αποτέλεσμα να παραμένει αναλλοίωτο. Ο πρώτος που μελέτησε αυτό το φαινόμενο της συμμετρίας ήταν ο Γάλλος Henri Poincare.

Μια δεκαετία περίπου πριν ο Wiles μάθει για το πρόβλημα του Fermat δύο Γιαπωνέζοι μαθηματικοί , ο Goro Shimura και ο Yutaka Taniyama εξέλιξαν μια θεωρία σχετικά με τους τύπους υπολοίπων που θα αποτελούσε τον ακρογωνιαίο λίθο στην προσπάθεια της απόδειξης από τον Wiles. Οι γιαπωνέζοι μαθηματικοί πίστευαν πως οι τύποι υπολοίπων και οι ελλειπτικές καμπύλες συνδέονταν στενά ως θεωρίες, παρ’όλο που οι δύο αυτές οντότητες ανήκαν σε δύο διαφορετικούς κλάδους των μαθηματικών. Με αφετηρία στην σκέψη τους ότι και τόσο στους τύπους υπολοίπων όσο και στις ελλειπτικές τροχιές έχουμε χρήση των L-σειρών , ισχυρίστηκαν ότι μεταξύ των δύο αυτών συνόλων αντικειμένων θα μπορούσε να υπάρξει μια απεικόνιση , τέτοια ώστε σε κάθε ζεύγος που αντιστοιχίζεται να αναλογεί σε κάθε περίπτωση η ίδια L-σειρά.

Οι δύο μαθηματικοί γνώριζαν ότι αν ο ισχυρισμός τους ήταν σωστός , τότε οι συνέπειες θα ήταν πολύ σημαντικές. Και αυτό διότι με την σύνδεση των κλάδων των μαθηματικών θα ήταν πλέον δυνατό τα πορίσματα που θα προέκυπταν στον ένα να εφαρμόζονται και στον άλλο κλάδο και αντίστροφα.

Η υπόθεση που διαμόρφωσαν οι δύο Γιαπωνέζοι μαθηματικοί , αν και δεν αποδείχτηκε αμέσως , ωστόσο καθώς περνούσαν τα χρόνια επηρέαζε όλο και περισσότερο τους μαθηματικούς της εποχής. Μέχρι που φτάσανε στο σημείο πολλοί από αυτούς να θεωρούν την υπόθεση  Shimura-Taniyama ως δεδομένη και τη χρησιμοποιούσαν σαν βάση για την απόδειξη περαιτέρω προτάσεων.

Το φθινόπωρο του 1984 σε ένα επιστημονικό συμπόσιο στο Oberwolfach της Γερμανίας ο καθηγητής Gerhard Frey του Πανεπιστημίου του Saarland έδωσε μια διάλεξη που έδινε μια άλλη κατεύθυνση αντιμετώπισης του προβλήματος του Fermat. Συγκεκριμένα οδήγησε τα μυαλά της εποχής προς την κατεύθυνση της χρήσης της δια ατόπου απαγωγής.

Η ιδέα του Frey είχε ως εξής: Έστω ότι οι αριθμοί Α και Β είναι τέλειες n-στές δυνάμεις δύο αριθμών έτσι ώστε και το άθροισμα Α+Β να είναι τέλεια n-οστή δύναμη κάποιου αριθμού, δηλ. έστω ότι υπάρχει μια λύση στην εξίσωση του Fermat. Τότε οι αριθμοί Α και Β μπορούν να χρησιμοποιηθούν ως συντελεστές σε μια εξίσωση ειδικής ελλειπτικής καμπύλης : y²=x(x - A)(x + B). Μια ποσότητα η οποία υπολογίζεται πάντοτε σε κάθε περίπτωση μελέτης ελλειπτικών καμπυλών είναι η παράσταση Κ=Α²Β²(Α+Β)² .Με βάση τα όσα αναφέρθηκαν για τους Α και Β  η παράσταση Κ είναι επίσης μια τέλεια n-οστή δύναμη. Το κρίσιμο σημείο στην τακτική του Frey είναι ότι αν το τελευταίο θεώρημα του Fermat είναι λάθος , τότε ακέραιες λύσεις Α και Β μπορούν να χρησιμοποιηθούν για την κατασκευή της παράστασης Κ , η οποία θα είναι τέλεια n-οστή δύναμη. Συνεπώς το να αποδείξει κανείς ότι η παράσταση Κ δεν μπορεί ποτέ να είναι μια  τέλεια n-οστή δύναμη θα αποτελούσε ένδειξη ότι  ισχύει το θεώρημα του Fermat. Ο Frey δεν μπόρεσε να προχωρήσει περαιτέρω σε αυτό το σημείο . Υποψιάστηκε όμως ότι αν υπήρχε  μια ελλειπτική καμπύλη της οποίας η αντιστοιχούσα Κ παράσταση ήταν τέλεια n-οστή δύναμη, τότε αυτή η ελλειπτική καμπύλη θα ήταν modular. Με άλλα λόγια η ύπαρξη μιας τέτοιας καμπύλης θα ακύρωνε την ορθότητα της πρότασης  Shimura-Taniyama. Σκεπτόμενος ανάποδα , ο Frey διατύπωσε τον ισχυρισμό ότι αν κάποιος κατάφερνε να αποδείξει την θεωρία Shimura-Taniyama και επίσης ότι η ελλειπτική εξίσωση y²=x(x - A)(x + b)δεν είναι modular , θα είχε καταφέρει ισοδύναμα να αποδείξει ότι η ελλειπτική αυτή εξίσωση δεν μπορεί να υπάρξει. Στην περίπτωση αυτή και η λύση στην εξίσωση του Fermat δεν μπορεί να υπάρξει και συνεπώς το θεώρημα του Fermat θα αποδεικνυόταν.

Πολλοί μαθηματικοί προσπάθησαν να ακολουθήσουν τη γραμμή που είχε χαράξει o Frey , αλλά η πιο ουσιαστική προσπάθεια έγινε από έναν από τους συγγραφείς αυτού του άρθρου , τον μαθηματικό Ribet.

Για αρχή να πούμε ότι η απόδειξη του Ribet βασίστηκε σε μια γεωμετρική μέθοδο για την «πρόσθεση» δύο σημείων μιας ελλειπτικής καμπύλης. Οπτικά η ιδέα είναι ότι προβάλλουμε μια γραμμή ανάμεσα από ένα ζεύγος διακριτών λύσεων , P₁ και P₂. Η γραμμή τότε τέμνει την καμπύλη σε ένα τρίτο σημείο το οποίο διαισθητικά το ονομάζουμε το άθροισμα των Ρ₁ και Ρ₂. . Μια πιο χρήσιμη εκδοχή αυτής της πρόσθεσης έχει ως εξής: πρώτα «προσθέτουμε» δύο σημεία και λαμβάνουμε ένα νέο σημείο , όπως περιγράφηκε και τελικά βρούμε το συμμετρικό αυτού του σημείου ως προς τον άξονα x λαμβάνουμε την τελική λύση Q.

Αυτή η ειδική μορφή πρόσθεσης μπορεί να εφαρμοσθεί σε οποιοδήποτε ζεύγος σημείων εντός του άπειρου πλήθους σημείων της καμπύλης, όμως αυτή η πράξη είναι ιδιαίτερα χρήσιμη , αν λάβουμε υπ’όψη ότι υπάρχουν σύνολα με πεπερασμένα το πλήθος σημεία τα οποία έχουν την ιδιότητα το άθροισμα οποιωνδήποτε δύο να ανήκει επίσης στο σύνολο που ανήκουν τα αρχικά αυτά σημεία . Τα σύνολα αυτά μαζί διαμορφώνουν μια ομάδα , η οποία υπακούει σε μια σειρά αξιωμάτων. Αποδεικνύεται ότι αν η ελλειπτική καμπύλη είναι modular τότε το ίδιο ισχύει και με όλα τα σημεία που ανήκουν σε μια μη πεπερασμένη ομάδα σημείων της καμπύλης. Αυτό που απέδειξε ο Ribet είναι ότι μια συγκεκριμένη ομάδα σημείων που ανήκουν στην  ελλειπτική καμπύλη του Frey δεν μπορεί να είναι modular , και έτσι αποκλείεται να είναι modular και ολόκληρη η καμπύλη.

Για περίπου τρεισήμισι αιώνες , το τελευταίο θεώρημα του Fermat ήταν ένα μεμονωμένο πρόβλημα , ένας μυστηριώδης και αποκλεισμένος γρίφος των μαθηματικών. Το 1986 ο Ribet δουλεύοντας πάνω στο δρόμο που είχε ανοίξει ο Frey , είχε πετύχει να αναδείξει για τα καλά το πρόβλημα και αναζωπυρώσει το ενδιαφέρον για την επίλυσή του. Φτάσαμε τελικά στο σημείο να είναι προφανώς δυνατόν να αποδειχτεί το τελευταίο θεώρημα , μόνο αν αποδεικνυόταν η πρόταση των Shimura-Taniyama. Τελικά ο Wiles , που ήταν πλέον καθηγητής στο Πανεπιστήμιο του Princeton δεν έχασε χρόνο. Αφιέρωσε επτά περίπου χρόνια και δούλεψε με απόλυτη μυστικότητα και μόνο η γυναίκα του γνώριζε για το μεγάλο του αυτό πάθος.

O Wiles έπρεπε, για να πετύχει το εγχείρημά του, να καταφέρει να αξιοποιήσει και να συνδυάσει τις μέχρι τότε γνωστές μεθόδους από την θεωρία των αριθμών. Όταν οι θεωρίες αυτές αποδεικνύονταν ανεπαρκείς , αναγκαζόταν να επινοεί και να χρησιμοποιεί νέες δικές του μεθόδους.

Όπως αποδείχτηκε τελικά ο Wiles δεν χρειάστηκε καν να αποδείξει την πλήρη πρόταση των Shimura-Taniyama . Αντιθέτως αυτό που χρειάστηκε να κάνει ήταν να δείξει ότι ένα συγκεκριμένο υποσύνολο ελλειπτικών καμπύλων  - τέτοιο που να περιελάμβανε την υποθετική καμπύλη που είχε προτείνει ο Frey , αν αυτή όντως υπήρχε – είναι modular. Ωστόσο κάτι τέτοιο δεν απλούστευε και πολύ το έργο του , διότι το υποσύνολο καμπυλών που είχε να μελετήσει περιελάμβανε όλες τις ιδιάζουσες περιπτώσεις. Η στρατηγική του Wiles χρησιμοποίησε τα ίδια εργαλεία που είχε χρησιμοποιήσει και  ο Ribet συν πολλά ακόμα.

Η δυσκολία βρισκόταν στο να αποδειχτεί ότι κάθε καμπύλη στο υποσύνολο του Wiles ήταν modular. Για να το πετύχει αυτό ο Wiles τις ομαδικές ιδιότητες ενός συνόλου σημείων μιας ελλειπτικής καμπύλης και εφάρμοσε ένα θεώρημα των μαθηματικών Langlands και Tunnell. To θεώρημα αποδεικνύει ότι για κάθε ελλειπτική καμπύλη που ανήκει στο σύνολο του Wiles υπάρχει πάντα μια ομάδα σημείων που είναι modular. Αυτή η απαίτηση ωστόσο είναι αναγκαία αλλά όχι ικανή για την απόδειξη ότι η ελλειπτική καμπύλη σαν σύνολο είναι modular .

Η ομάδα που εξεταζόταν είχε μόνο εννιά στοιχεία και κάποιος μπορεί να θεωρούσε ότι η απόδειξη ότι η ομάδα αυτή είναι modular θα ήταν ένα πολύ μικρό βήμα για να μπορεί να γενικευτεί για όλη την καμπύλη. Για να κλείσει αυτό το κενό ο Wiles αποφάσισε να μελετήσει τις ιδιότητες ομάδων με πολύ μεγαλύτερο πλήθος στοιχείων και συγκεκριμένα δυνάμεων του εννιά. Αν αποδείκνυε ότι ομάδες με πολύ μεγάλο πλήθος στοιχείων  ήταν modular , θα κατέληγε ότι το ίδιο ισχύει και για όλη την καμπύλη , μπορώντας πλέον να γενικεύσει ευκολότερα. Ο Wiles το πέτυχε αυτό με χρήση μιας τεχνικής που είχε ως βάσει την μέθοδο της μαθηματικής επαγωγής . Δηλαδή αποδείκνυε ότι μια ομάδα πεπερασμένων το πλήθος στοιχείων είναι modular ελέγχοντας την αντίστοιχη ιδιότητα της αμέσως προηγούμενης ομάδας. Τελικά στις 23 Ιουνίου του 1993 ο Wiles περιχαρής ανακοίνωσε την συνολική του μελέτη σε ένα συνέδριο στο Πανεπιστήμιο του Cambridge και εξέπληξε όλη τη μαθηματική κοινότητα.

Ωστόσο δεν άργησαν και πολύ να εμφανιστούν τα πρώτα σημάδια που έθεταν σε αμφισβήτηση το κύρος της μελέτης του Wiles. Και αυτό συνέβη όταν ο καθηγητής Nicholas Katz από το Princeton εντόπισε μια ατέλεια στην αποδεικτική διαδικασία που είχε ακολουθηθεί. Στην επαγωγική του μέθοδο ο Wiles είχε δανειστεί την μέθοδο Kolyvagin-Flach από δύο διαφορετικούς καθηγητές αμερικανικών Πανεπιστημίων. Όμως οι μέθοδοι αυτές φαινόταν ότι δεν μπορούσαν να εφαρμοστούν για συγκεκριμένους λόγους στην προκειμένη περίπτωση και έτσι καθιστούσαν την όλη απόδειξη ανεπαρκή.

Για τους επόμενους 14 μήνες ο Wiles αποσύρθηκε από τα φώτα της δημοσιότητας και συζητούσε το όλο θέμα μόνο με ένα παλιό μαθητή του , τον Richard Taylor . Μαζί προσπάθησαν να βρουν λύση στο πρόβλημα , διατηρώντας τη μέθοδο που είχε χρησιμοποιήσει ο Wiles και τροποποιώντας την κατάλληλα ούτως ώστε να δίνει ικανοποιητικά αποτελέσματα.  Είχαν αρχίσει να χάνουν κάθε ελπίδα όταν τελικά το Σεπτέμβριο του 1994 βρήκαν την ζωτική λύση. O Wiles διαπίστωσε ότι μια επιμέρους μέθοδος που είχε απορρίψει στο παρελθόν μπορούσε να πετύχει ακριβώς για τον ίδιο λόγο που αποτύγχανε η μέθοδος Kolyvagin-Flach, για την οποία είχε γίνει όλη η φασαρία και του είχε δημιουργήσει πονοκέφαλο.

Ο ίδιος ο Wiles θυμάται και περιγράφει την αντίδρασή του σε αυτή την ανακάλυψη: «Ήταν τόσο απερίγραπτα όμορφη , ήταν τόσο απλή και συνάμα μεγαλόπρεπη. Την πρώτη νύχτα πήγα σπίτι και κοιμήθηκα με τις σκέψεις αυτής της ανακάλυψης. Και το επόμενο πρωί την ξαναέλεγξα και την βρήκα εντάξει . Ήταν κάτι που ήθελα να το ανακοινώσω στη γυναίκα μου με μεγάλη ικανοποίηση. Το βρήκα ! Βρήκα τη διόρθωση στην απόδειξή μου !

Για τον Wiles , το βραβείο Wolfskehl είναι το ορόσημο μιας προσπάθειας που κράτησε περισσότερο από 30 συνολικά χρόνια. «Έχοντας πλέον λύσει το πρόβλημα είχα μια απόλυτη αίσθηση ελευθερίας . Ήμουν τόσο παθιασμένος με αυτό το πρόβλημα που για οκτώ χρόνια ήταν ένα από τα λίγα πράγματα που είχα συνεχώς στο μυαλό μου , από το πρωί μέχρι το βράδυ. Η οδύσσεια πλέον έφτασε στο τέλος της!

Για άλλους μαθηματικούς όμως, αρκετά μεγάλα ερωτήματα είναι ακόμα ανοιχτά. Συγκεκριμένα όλοι συμφωνούν στο ότι η απόδειξη που έδωσε ο Wiles είναι τελικά αρκετά πολύπλοκη και μοντέρνα ώστε να προσεγγίζει αυτό που είχε στο μυαλό του ο Fermat όταν έγραψε το περίφημο σημείωμα στο Arithmetica. Συνεπώς είτε ο Fermat έκανε λάθος και η απόδειξή του – αν ποτέ υπήρξε – ήταν ανεπαρκής, είτε μια απλή και αφοπλιστική απόδειξη περιμένει την ανακάλυψή της.