Μαθηματική ξενάγηση

 Η απόδειξη στα αρχαιοελληνικά μαθηματικά.

ΤΑ ΚΑΘΑΡΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ—τα μαθηματικά για τα μαθηματικά, χωρίς, δηλαδή, συγκεκριμένο πρακτικό σκοπό—γεννήθηκαν όταν ο άνθρωπος άρχισε να σκέπτεται τους αριθμούς σαν αριθμούς, πέρα από το να μετράη τα πρόβατα του, και όταν άρχισε να σκέπτεται τα σχήματα σαν σχήματα, πέρα από τη μορφή ενός βάζου. Αλλά τα πρώτα αυτά καθαρά μαθηματικά δεν ήσαν η λογική και συστηματική επιστήμη πού γνωρίζομε σήμερα. Οι ξεχασμένοι σοφοί της Μεσοποταμίας, πού ανεκάλυψαν το 60δικό σύστημα, σπάνια σταματούσαν για να γεφυρώσουν τις ανακαλύψεις τους με τις εσωτερικές τους σχέσεις η για να εμβαθύνουν στις σκέψεις πού τους οδήγησαν σ’ αυτές. Όπως οι επήλυδες σε μια χρυσοφόρο περιοχή, πήγαιναν από δω κι από κει, μάζευαν τα ψήγματα πού βρισκόντουσαν στην επιφάνεια, αδιαφορώντας να σκάψουν στο έδαφος για να βρουν τη φλέβα. Οι πινακίδες με τη σφηνοειδή γραφή και οι πάπυροι, όπου οι Μεσοποτάμιοι και άλλοι αρχαίοι λαοί είχαν καταγράψει τα αποτελέσματα των μαθηματικών τους γνώσεων, ήσαν τόσο άδειοι από συλλογισμούς όσο οι οδηγοί μαγειρικής και παραμελούσαν τις αποδείξεις; όπως τα συνταγολόγια των φαρμακοποιών. Πρόσθεσε αυτό, η αφαίρεσε εκείνο—έλεγαν—και θα βρής έτσι την αλήθεια. Ένα περίφημο αιγυπτιακό κείμενο, ο πάπυρος του Ρήντ, αυτοτιτλοφορείται «οδηγίες για την κατανόηση όλων των σκοτεινών πραγμάτων», αλλά περιλαμβάνει κανόνες αυθαίρετους, διατυπωμένους χωρίς εξηγήσεις.

Όταν οι Αρχαίοι Έλληνες ξεχύθηκαν από τη Βαλκανική Χερσόνησο προς τον Νότο για να εκμεταλλευθούν, να μελετήσουν και τελικά να καθυποτάξουν τους παλαιούς πολιτισμούς της Μέσης Ανατολής, έγιναν οι κληρονόμοι ολόκληρου του μαθηματικού θησαυρού πού είχαν συσσωρεύσει οι αιώνες. Γοητεύθηκαν, κατεπλάγησαν, αλλ’ έμειναν επίσης ανικανοποίητοι. Γιατί να είναι αληθινές οι «σκοτεινές οδηγίες»; Τι πραγματικά εσήμαιναν; Με το δροσερό τους πνεύμα, τον σκεπτικισμό και τη λογική, οι Έλληνες κατέστρωσαν τις δύο διανοητικές λειτουργίες πού είναι ζωτικές για κάθε μαθηματική διαδικασία : την αφαίρεση και την απόδειξη.

Αφαίρεση, στη συλλογιστική, είναι η τέχνη να διακρίνης μια η περισσότερες κοινές ιδιότητες σε διαφορετικά πράγματα και να σχηματίζης έτσι μια γενική Ιδέα γι’ αυτά. Κάνομε αφαίρεση όταν βλέπουμε τις εκκλησίες, τα σπίτια, τους ουρανοξύστες σαν κτίρια· όταν βλέπουμε τους τροχούς, τα ελαστικά, τα στεφάνια χούλα-χούπ σαν κύκλους· όταν βλέπουμε τις αγελάδες, τις γάτες, τα σκυλιά σαν ζώα.

Απόδειξη, στη συλλογιστική, είναι η τέχνη να φθάνης με επιχειρήματα από μια πρόταση στο συμπέρασμα, με τέτοιου τρόπο ώστε να μη μένη κανένα κενό στη διαδοχή των επιχειρημάτων. Οι Έλληνες χώριζαν τις προτάσεις σε δύο είδη: τις γενικές, τις όποιες αποκαλούσαν αξιώματα, και τις ειδικότερες, πού ανήκαν στη σφαίρα των μαθηματικών και τις ονόμαζαν θεωρήματα. Για να έχουν όμως προτάσεις σαν αφετηρία στον συλλογισμό ανέτρεχαν σε μιαν άλλη νοητική διαδικασία, την επαγωγή. Ενώ η αφαίρεση ανευρίσκει ένα κοινό παρονομαστή σε διαφορετικά πράγματα—π.χ. οι γάτες και οι σκύλοι είναι ζώα—η επαγωγή τον επισημαίνει μέσα στην ίδια κατηγορία των πραγμάτων. Έτσι, παρατηρώντας τα σκυλιά, κάνομε την επαγωγική σκέψη ότι όλα τα σκυλιά γαβγίζουν παρατηρώντας τα λαγωνικά, συμπεραίναμε ότι όλα τα λαγωνικά είναι σκύλοι. Χρησιμοποιώντας τις γνώσεις μας, από τις δύο προτάσεις, φθάνομε στο αναπόφευκτο συμπέρασμα, πού αποδεικνύει ότι όλα τα λαγωνικά γαβγίζουν. Το συμπέρασμα αυτό μπορεί να ακολουθήται από ένα επίσης αναπόφευκτο πόρισμα, πού ξεκινάει από τη διαπίστωση. Στο παράδειγμα μας: το λαγωνικό του γείτονα είναι σκύλος, άρα γαβγίζει.

Οι Έλληνες επινόησαν και μιαν άλλη τεχνική για να φθάνουν στην απόδειξη, τη μέθοδο πού είναι γενικώς γνωστή με τον λατινικό όρο reductio ad absurdum την εις άτοπον απαγωγήν. Με τη μέθοδο αυτή αποδεικνύαμε την ορθότητα μιας προτάσεως, ξεκινώντας επίτηδες από το αντίθετο, για ν’ αποδείζωμε ότι το αντίθετο αυτό δεν μπορεί να σταθή. Ας υποθέσουμε ότι ο κ. Σπυρόπουλος, ο γείτονας μας και κάτοχος του λαγωνικού, αντιμετωπίζει τα παράπονα της γειτονίας ότι ο σκύλος του γαυγίζει συνεχώς. Ξεκινάει από δύο προτάσεις: όλα τα σκυλιά είναι ζώα και όλα τα ζώα πρέπει να τρώγουν και να κοιμούνται. Από αυτές τις προτάσεις καταλήγει στο συμπέρασμα ότι όλοι οι σκύλοι, πρέπει να τρώγουν και να κοιμούνται. Ύστερα καταστρώνει δύο ακόμη προτάσεις: μερικά σκυλιά γαυγίζουν ακατάπαυστα (το αν αντίθετο από ότι θέλει ν’ απόδειξη), και τα σκυλιά πού γαυγίζουν ακατάπαυστα δεν μπορούν να τρώγουν ή να κοιμούνται. Από το δεύτερο αυτό ζεύγος των προτάσεων βγάζει το συμπέρασμα ότι μερικά σκυλιά δεν τρώγουν και δεν κοιμούνται. Το συμπέρασμα είναι οπωσδήποτε άτοπο, αφού αντιφάσκει με το προηγούμενο συμπέρασμα ότι όλα τα σκυλιά πρέπει να τρώγουν και να κοιμούνται. Ο κ. Σπυρόπουλος επανεξετάζει τις τέσσερεις προτάσεις. Η μόνη αμφίβολη είναι ότι μερικά σκυλιά γαβγίζουν ακατάπαυστα. Αφού αυτή η πρόταση τον οδήγησε στο άτοπο συμπέρασμα, αυτή πρέπει να είναι λανθασμένη και το ακριβώς αντίθετο—ότι τα σκυλιά δεν γαβγίζουν ακατάπαυστα—πρέπει να είναι το σωστό. Έτσι, λοιπόν, απέδειξε—χάριν της ικανοποιήσεώς του και όχι βέβαια χάριν του ύπνου των γειτόνων του —αυτό πού ήθελε απόδειξη.

Όπως φαίνεται σ’ αυτήν τη διανοητική περιπλάνηση του κ, Σπυροπούλοι οι βασικές αρχές των Ελλήνων δεν είναι τίποτε περισσότερο από τη συστήματα ποίηση των συλλογιστικών μεθόδων πού χρησιμοποιούμε όταν θέλουμε να υποστηρίξωμε ένα επιχείρημα στην καθημερινή μας ζωή. Βέβαια ο τρόπος του συλλογισμό του κ. Σπυροπούλου είναι πολύ ασθενέστερος και λιγότερο διεισδυτικός από τ μαθηματική συλλογιστική. Ο μαθηματικός όμως, αν και αντιμετωπίζει θέματα πολύ λιγότερο χειροπιαστά από τα σκυλιά πού γαυγίζουν, εξακολουθεί να μεταχειρίζεται ακόμη τους ίδιους βασικούς κανόνες της αφαιρέσεως και της επαγωγής. Κάνει αφαιρετικούς συλλογισμούς, π.χ., όταν αναγνωρίζη ότι οι αριθμοί 6, 52 και 200 μπορούν να διαιρεθούν με το 2. Χρησιμοποιεί την εις άτοπον απαγωγή όταν εζετάζη την πρότάση, π.χ. ότι ένα άγνωστο κλάσμα—ας το ονομάσωμε p/q—είναι το κλάσμα με τούς μικρότερους δυνατούς απλοποιημένους όρους. Αν απόδειξη αλγεβρικά ότι και τα δύο άγνωστα στοιχεία, ο αριθμητής και ο παρονομαστής, του κλάσματος εξακολουθούν να είναι άρτιοι αριθμοί, τότε η πρόταση αποδεικνύεται «άτοπη, δεδομένου ότι ένα κλάσμα με δύο αρτίους αριθμούς δεν έχει απλουστευθή τελείως (2/2 ή 6/16, επί παραδείγματι, μπορούν να σμικρυνθούν ακόμη, αν διαιρεθούν με το 2).

 Πριν από τους Έλληνες, οι μαθηματικοί δεν περίμεναν ότι θα ενδιαφερόταν κανείς για τις διανοητικές προσπάθειες πού κατέβαλλαν ώσπου να φθάσουν σ’ ένα συμπέρασμα—στη συνταγή, ας πούμε, για την ποσότητα της πέτρας που χρειαζόταν για το κτίσιμο μιας πυραμίδας. Αν η συνταγή επαληθευόταν από την πράξη, αυτή ήταν η απόδειξη της ορθότητας της. Οι Έλληνες όμως δεν ήσαν ικανοποιημένοι από μόνο το γεγονός ότι ένας τύπος, μια συνταγή αποδεικνυόταν στην πράξη σωστή.

Οι Έλληνες ήθελαν να εξηγούν το γιατί και να το παρουσιάζουν με τη συντομώτερη, την αυστηρότερη λογική επιχειρηματολογία πού μπορούσε να επινοηθή. Η παράθεση των αποδείξεων έγινε γι’ αυτούς μια σωστή τέχνη, μια τέχνη πού τιμούσε τη μεγαλύτερη δυνατή πυκνότητα σε κάθε βαθμίδα του συλλογισμού, χωρίς, ταυτόχρονα, ν’ αφήνη τίποτε ασαφές και κενό. Τα Ελληνικά Μαθηματικά συγκέντρωσαν ένα πλήθος αποδεδειγμένων θεωρημάτων, πού το καθένα τους μπορούσε να χρησιμοποιηθή, χωρίς να χρειάζεται πάλι επαλήθευση, για να διατυπωθή ένα νέο, πιο προχωρημένο θεώρημα. Επιπλέον όλα αυτά τα θεωρήματα μπορούσαν να ταξινομηθούν, το ένα σφιχτά με τα’ άλλο, σ’ ένα σύστημα, σαν μία ανεστραμμένη πυραμίδα γνώσεων πού ολοένα μεγαλώνει. Το σημείο πού βρισκόταν στη βάση της πυραμίδας μπορούσε να θεμελιωθή στερεά, στην καθημερινή εμπειρία με τη βοήθεια μερικών αυταπόδεικτων αξιωμάτων, όπως π.χ. ότι η συντομώτερη οδός μεταξύ δύο σημείων είναι η ευθεία η ότι δύο ευθείες τέμνονται σ’ ένα μόνο σημείο.

Καθώς αναπτυσσόταν η μαθηματική επιστήμη, μεγάλωνε και η αποδεικτική αυστηρότης — το μέτρο δηλαδή της παραδοχής μιας τυπικής αποδείξεως. Με αλλά λόγια οι μαθηματικοί παραδέχονταν με διαρκώς μεγαλύτερη δυσκολία ως, μαθηματικές αλήθειες τα θεωρήματα της επιστήμης τους. Έτσι οι σύγχρονοι μαθηματικοί ανεκάλυψαν ότι ωρισμένες αποδείξεις στις όποιες κατέφυγαν οι Έλληνες περιείχαν κρυφές, ανεξακρίβωτες υποθέσεις. Περιώρισαν επίσης την ίδια την μέθοδο χρήσεως των αξιωμάτων και αναθεώρησαν ωρισμένα σημεία. Επινόησαν ακόμη άλλες σειρές αξιωμάτων για να θεμελιώσουν πάνω σ’ αυτές τους νεώτερους κλάδους των μαθηματικών. Αλλά το βασικό σύστημα των Ελλήνων, η συλλογιστική της αφαιρέσεως και της αποδείξεως, παραμένει άθικτο. Κάθε κλάδος των συγχρόνων μαθηματικών (οργανώθηκε όσο ήταν δυνατό πάνω σ’ αυτό το ελληνικό λογικό σύστημα.

 Το φεγγάρι και το κεφάλι της καρφίτσας.

Το ελατήριο πού έδωσε την ώθηση για να πραγματοποιηθή εκείνη την εποχή η Ελληνική Πνευματική Επανάσταση ήταν η γεωμετρία. Με την έμφυτη καλλιτεχνική κλίση τους οι Έλληνες (οδηγήθηκαν από ένστικτο στην καθαρότητα και την οπτική γοητεία πού συνδυάζει η γεωμετρία— τα μαθηματικά δηλαδή των σημείων, των γραμμών, των επιφανειών και των όγκων. Και οι Βαβυλώνιοι και οι Αιγύπτιοι είχαν μεταχειρισθή μία χονδροκομμένη, πρόχειρη γεωμετρία για να μετρούν τα χωράφια και τα κτίσματα τους, άλλα μόνο γι’ αυτές τις πρακτικές εφαρμογές των υπολογισμών— για να βρίσκουν π.χ. πόσα τούβλα, η πόσοι γρανιτόλιθοι χρειάζονταν στο χτίσιμο του δυτικού τοίχου του νέου ανακτόρου. Οι Έλληνες είχαν μια πολύ πιο θεωρητική, πιο «αφηρημένη» αντίληψη. Πίστευαν ότι ένα ωρισμένο είδος σχήματος έχει αναλλοίωτες, εσωτερικές ιδιότητες, ανεξάρτητες από το μέγεθος του. Έτσι, ένα ορθογώνιο τρίγωνο 45°—ένα τρίγωνο πού, μεταξύ άλλων, έχει δύο ίσες πλευρές—μπορεί να εκταθή ίσαμε το φεγγάρι η να μικρύνη ως το κεφάλι μιας καρφίτσας, αλλά θα παραμείνη και στις δύο περιπτώσεις ένα ορθογώνιο τρίγωνο 45°· 

    Ο πρώτος Έλλην πού συνέλαβε αυτήν τη θεμελιώδη δυνατότητα της αφαιρέσεως στη γεωμετρία — και συνέβαλε έτσι στη διαμόρφωση του ελληνικού οράματος, κατά το όποιο οι γνώσεις θα αυξάνουν σαν στέρεες, ανεστραμμένες πυραμίδες αποδείξεων, στηριγμένες σε λίγα βασικά αξιώματα— ήταν πιθανότατα ο Θαλής ο Μιλήσιος, ένας δραστήριος λαδέμπορος, πού ασκούσε τις επιχειρήσεις του κατά μήκος των ακτών της Μ. Ασίας μεταξύ του 600 και 550 π.Χ. Κατά τη διάρκεια των ταξιδιών του ήλθε σε επαφή με ανθρώπους πού ήξεραν τα παλιά μαθηματικά και την αστρονομία και όταν αποσύρθηκε από το εμπόριο ασχολήθηκε με την επιστήμη για «χόμπυ». Τα πέντε θεωρήματα πού αποδίδονται σ’ αυτόν— και πού παρουσιάζονται παρακάτω— έχουν μιαν εντυπωσιακή απλότητα, πού αποκαλύπτει την ενσυνείδητη προσπάθεια του Θαλή να θεμελίωση τη γεωμετρία σε βασικούς, αμετακίνητους όρους.

     Η φιλοδοξία, του Θαλή θα παρέμενε ίσως ανεκπλήρωτη αν δεν υπήρχε ένας άλλος Έλλην, ο όποιος συνεργάσθηκε, όπως πιστεύεται, μαζί του. Αυτός ήταν ο Πυθαγόρας, ένας άνδρας με δυνατή, μαγνητική προσωπικότητα. Κατά την παράδοση ο Πυθαγόρας ακολούθησε τη συμβουλή του Θαλή και ταξίδεψε χρόνια ολόκληρα για να ευρύνη το πεδίο των μαθηματικών γνώσεων του. Μεταξύ άλλων πηγών στις όποιες κατέφυγε ο Πυθαγόρας ήλθε σε επαφή και με τους ιερείς του Ζωροάστρη— τους σοφούς εκείνους από τους οποίους κατάγονται οι Μάγοι της χριστουγεννιάτικης ιστορίας— πού είχαν διαφυλάξει, κάτω από την Περσική κυριαρχία, τη μαθηματική κληρονομιά των Μεσοποταμιών. Αφού έμαθε ότι είχε να μάθη ο Πυθαγόρας ίδρυσε, γύρω στα 540 π.Χ., μια σχολή, μισοθρησκευτική, μισομαθηματική, στον Κρότωνα, μιαν ανθούσα ελληνική αποικία στο νότιο άκρο της Ιταλικής Χερσονήσου. Έκτος από τα μαθηματικά εδίδασκε στους μαθητές - οπαδούς του τη λατρεία των αριθμών, την επανενσάρκωση και τη μετεμψύχωση από άνθρωπο σε άνθρωπο και από άνθρωπο σε ζώο· τους ώριζε να μη τρώνε κουκιά, να μένουν πάντα ανώνυμοι και να υπογράφουν με το όνομα της Πυθαγόρειας Αδελφότητας κάθε γραπτό και κάθε ανακάλυψη τους.

     Από τη διδασκαλία του Πυθαγόρα το ευρύτερα γνωστό θεώρημα είναι ασφαλώς ότι το τετράγωνο της μεγαλύτερης πλευράς—της υποτεινούσης—ενός ορθογωνίου τριγώνου ισούται με το άθροισμα των τετραγώνων των δύο άλλων, βραχυτέρων πλευρών. Οι Βαβυλώνιοι εγνώριζαν το θεώρημα αυτό 1.000 χρόνια νωρίτερα, τη δόξα όμως την πήρε η Πυθαγόρεια Σχολή πού πρώτη το απέδειξε. Ακόμη και σήμερα παραμένει ανυπολόγιστη η αξία του για την επιστήμη. Αλλά και η πρακτική πλευρά, πού ενδιαφέρει τους περισσότερους, είναι εξ ίσου σημαντική, αφού με βάση το θεώρημα αυτό οι ξυλουργοί και οι οικοδόμοι μπορούν να ελέγχουν αν οι κατασκευές τους είναι τέλεια ορθογώνιες.

 Η κακορίζικη τετραγωνική ρίζα.

    Το ενοχλητικό εύρημα ήταν ένα νέο είδος αριθμών—πού σήμερα τους ονομάζομε «ασύμμετρους». Το χαρακτηριστικό του ασύμμετρου αριθμού είναι ότι παραμένει πεισματικά ανολοκλήρωτος, ό,τι και αν συμβή. Αυτή η εξοργιστική Ιδιότητα παρουσιάζεται συχνά σ’ αυτό πού αποκαλούμε «τετραγωνική ρίζα»— την ποσότητα πού όταν πολλαπλασιασθή με τον εαυτό της μας δίνει τον δεδομένο αριθμό. Η τετραγωνική ρίζα του 4 (πού γράφεται συμβολικά ρίζα2) είναι το καθαρό, ήρεμο 2 ρίζα 9 είναι το 3. Μια ασύμμετρη όμως τετραγωνική ρίζα μας δίνει ένα δεκαδικό κλάσμα με ατέλειωτη σειρά, χωρίς περιοδική τάξη, ψηφίων μετά το κόμμα. Παράδειγμα : η τετραγωνική ρίζα του 2 είναι 1,41421... κ.λπ. επ’ άπειρον ρίζα είναι 1,73205... κ.λπ. έπ’ άπειρον. Το πιο εκνευριστικό για μια νοικοκυρεμένη σκέψη είναι ότι οι ασύμμετρες τετραγωνικές ρίζες ξεπηδούν ξαφνικά, στην τύχη και με ανώμαλη συχνότητα.

     Η περίπτωση του ορθογωνίου τριγώνου μας δίνει ένα παραστατικό παράδειγμα. Αν μετρηθούν οι βραχύτερες, οι κάθετες πλευρές του, με τους αριθμούς 3 η μία και 4 η άλλη, τότε η μακρύτερη πλευρά, η υποτείνουσα, είναι ίση με το 5. Τέτοιοι όμως απλοί συνδυασμοί, όπως π.χ. επίσης 5-12- 13 ή 7-24- 25, είναι πολύ σπάνιοι. Μεταξύ αυτών των τελείων ορθογωνίων παρεμβάλλεται ένας μεγάλος αριθμός «ατελών» ορθογωνίων τριγώνων, με πλευρές π.χ. 1 - 1 -ρίζα 2 ή 1 - 2 -ρίζα 5 ή 2 -ρίζα 5 -3. Ας υποθέσωμε ότι έχομε να μετρήσωμε ένα χωράφι σχήματος Ισοσκελούς ορθογωνίου τριγώνου, δηλαδή με δύο ίσες πλευρές και μία μεγαλύτερη. Ας υποθέσωμε επίσης ότι το μήκος των δύο ίσων πλευρών εκφράζεται με ακριβείς αριθμούς. Τότε η τρίτη πλευρά, με οποιαδήποτε μονάδα και αν μετρηθή, δεν θα βγαίνη ακριβώς. Οποιαδήποτε και αν είναι η μονάδα (εκατοστό, πήχυς, οργυιά) το αποτέλεσμα θα είναι το ίδιο. Και αντίστροφα: όσες φορές και αν υποδιαιρέσωμε το μήκος της μεγάλης πλευράς ποτέ δεν θα φθάσωμε σε μιαν υποδιαίρεση πού να ισούται με κάποια υποδιαίρεση του μήκους των μικρών πλευρών. Μεταξύ της υποτεινούσης και μιας καθέτου πλευράς δεν υπάρχει καμιά κοινή μονάδα πού να τις μετρά.

     Οι Πυθαγόρειοι αντελήφθησαν ότι είναι αδύνατο να εκφράσουν με ολόκληρους αριθμούς αυτή τη σχέση στα περισσότερα ορθογώνια τρίγωνα, ακόμη καν αν επιστράτευαν όλους τους ακέραιους αριθμούς και τα κλάσματα τους— από το 1 έως το ένα δισεκατομμύριο η από το 1/1 ως το ένα δισεκατομμυριοστό. Η συντριπτική αυτή ανακάλυψη συνεκλόνισε ολόκληρη την πορεία της ελληνικής μαθηματικής σκέψεως. Διέλυσε πραγματικά κάθε ελπίδα ότι η μέτρηση μπορούσε να χρησιμεύση σαν γέφυρα ανάμεσα στη γεωμετρία και την αριθμητική των ακεραίων αριθμών. Οι Έλληνες άρχισαν ν’ αυτοπεριορίζωνται στη γεωμετρία των σχημάτων, πού δεν την απασχολούσαν οι μετρήσεις άλλα μόνο τα σχήματα. Έτσι μπορούσαν, αν όχι να μετρήσουν, πάντως να σχεδιάσουν μερικούς ασύμμετρους αριθμούς, όπως τη ρίζα2 η ρίζα3, σαν μια ορισμένη υποτείνουσα σ’ ένα ορισμένο ορθογώνιο τρίγωνο. Σαν τα άτακτα παιδιά, οι αριθμοί αυτοί μπορούσαν τουλάχιστον να κλεισθούν μέσα σε γνωστά ευθύγραμμα σχήματα, με καθορισμένα όρια —σε τρίγωνα, τετράγωνα και πυραμίδες.

     Οι ασύμμετροι αριθμοί όμως, καθώς και η έννοια του απείρου, δεν ήταν δυνατόν να εξοστρακισθούν και από τη στοιχειωδέστερη έστω γεωμετρία των σχημάτων. Αναπήδησαν πάλι, μετά από τα τρίγωνα, στο πρόβλημα του κύκλου. Η σχέση η ο λόγος μεταξύ της περιφερείας ενός κύκλου και της διαμέτρου του είναι πράγματι ένας ασύμμετρος αριθμός, 3,14159..., τον όποιο αποκαλούμε και γράφομε π (πιθανότατα από το πρώτο γράμμα της ελληνικής λέξεως περιφέρεια). Οποιαδήποτε και αν είναι η προέλευση του π, η ασύμμετρη ποσότης πού εκφράζει υπολογίσθηκε με περισσότερα από 100.000 δεκαδικά ψηφία και ξέρουμε ότι δεν την μετρήσαμε ολόκληρη· θα μπορούσαμε να συνεχίσουμε τον υπολογισμό αυτόν έπ’ άπειρον. Οι Έλληνες δεν είχαν αναγνωρίσει την πλήρη έκταση της ασυμμετρίας του π κι έτσι έχασαν πολύ χρόνο και κατέβαλαν μεγάλες προσπάθειες για να λύσουν το τεράστιο πρόβλημα πού ήταν άλυτο εξ αιτίας αυτής ακριβώς της ασυμμετρίας—δηλαδή να κατασκευάσουν ένα τετράγωνο, το εμβαδόν του οποίου να ισούται με το εμβαδόν ενός δεδομένου κύκλου, με άλλα λόγια να πετύχουν τον «τετραγωνισμό του κύκλου».

Το άπειρο και η μηλόπιτα.

Η καλύτερη μέθοδος για να υπολογίσουν, κατά προσέγγιση, την επιφάνεια ενός κύκλου ήταν να τον χωρίσουν σ’ ένα άπειρο αριθμό απείρως στενών ισοσκελών τριγώνων, τοποθετημένων όπως τα κομμάτια μιας μηλόπιτας. Τα τρίγωνα αυτά θα είχαν ύψος ίσο με την ακτίνα του κύκλου. Το άθροισμα των απείρως μικρών ευθειών πού χρησιμεύουν ως βάσεις στα τρίγωνα αποτελεί την περιφέρεια του κύκλου. Αν η συνολική επιφάνεια των τριγώνων αυτών είναι ίση με το ήμισυ του γινομένου της ακτίνος επί το άθροισμα των απειροελάχιστων αυτών βάσεων, το εμβαδόν του κύκλου θα ισούται με το ήμισυ του γινομένου της ακτίνας επί την περιφέρειαν. Ο συλλογισμός δεν ήταν εσφαλμένος και επαληθευόταν από την πράξη. Αλλά η προσπάθεια της αποδείξεως του, με την αυστηρή λογική διαδοχή, σκαλί-σκαλί, ήταν μια τολμηρή πνευματική περιπλάνηση, όχι λιγότερο ριψοκίνδυνη από τα ταξίδια του Οδυσσέα. Μέχρι ποιου σημείου μπορούμε να θεωρούμε τρίγωνα τα απειροελάχιστα αυτά στοιχεία; Καθώς το τρίγωνο γίνεται απείρως στενό, πότε ακριβώς παύει να έχει το τριγωνικό σχήμα και αρχίζει να αποκτά το σχήμα σαν τη φέτα της μηλόπιτας ; Ασφαλώς αυτό δεν συμβαίνει παρά μόνο όταν γίνη απείρως στενό, τότε όμως δεν είναι πια «κάτι» αλλά «τίποτα». Πώς λοιπόν μπορεί ένας άπειρος αριθμός από τίποτα να αθροίζεται για να σχηματίζει κάτι όπως τον κύκλο;

________________________________________________________

ΤΟ ΜΕΤΡΗΜΑ ΤΟΥ ΚΥΚΛΟΥ

Στo διάγραμμα αυτό μικραίνουν διαρκώς από αριστερά προς τα δεξιά οι χρωματισμένες επιφάνειες, πού σχηματίζονται ανάμεσα στην περιφέρεια του κύκλου και στις βάσεις διαφόρων ισοσκελών τριγώνων, πού έχουν όλο; τους ως κορυφή το κέντρο του κύκλου. Έτσι φαίνεται καθαρά ότι όσο οξύνεται η γωνία στην κορυφή, τόσο ελαττώνεται η χρωματισμένη περιοχή, κάτω από τη βάση. Επί πλέον όσο μικραίνουν τα τρίγωνα τόσο το ύψος τους (στικτή γραμμή) τείνει να ταυτισθή με την ακτίνα του κύκλου, ενώ οι βάσεις τους σχεδόν συμπίπτουν με την περιφέρεια. Βλέποντας λοιπόν ότι το ύψος γινόταν ακτίνα και ότι το άθροισμα των βάσεων εξισωνόταν με την περιφέρεια, οι Έλληνες εφήρμοσαν τον τύπο για το μέτρημα του εμβαδού του τριγώνου (το 1/2 της βάσεως Χ το ύψος) και στο εμβαδόν του κύκλου (το 1/2 της περιφερείας Χ την ακτίνα).________________________________________________________

Αυτές τις ενοχλητικές αντιρρήσεις διετύπωσαν—όχι χωρίς σαρκασμό—εναντίον της λογικής του ακατάπαυστου τεμαχισμού του κύκλου οι οπαδοί της Ελεατικής σχολής, μιας σχολής πού ιδρύθηκε στην Ελέα, πόλη γειτονική στον Κρότωνα καώ τους Πυθαγορείους. Οι Ελεάτες εξ αρχής φάνηκαν ν’ αντιμάχωνται τους Πυθαγορείους. Και τα μαθηματικά δεν ήσαν πια για τους Έλληνες μια διασκεδαστική ενασχόληση· τα προβλήματα της επιστήμης γινόντουσαν αγώνισμα σε ανοικτό χώρο. Αυτό πού τώρα, αναδρομικά μας φαίνεται σαν μια ήρεμη και ανεμπόδιστη πορεία προς τη διαρκώς αυξανόμενη γνώση, στην πραγματικότητα ήταν ένας πνευματικός πόλεμος με όλο το πάθος και την οξύτητα των αντεγκλήσεων. Τα όπλα στις μάχες αυτές ήσαν τα περίπλοκα επιχειρήματα· το έπαθλο, ο θρίαμβος της αποδείξεως.

  Οι Ελεάτες είχαν βαθύτατα επιστημονικά ενδιαφέροντα— όχι μόνο για τα τρίγωνα και τους κύκλους, αλλά για το σύμπαν. Ο κυριώτερος εκπρόσωπος τους ήταν ο Ζήνων, διδάσκαλος του περίπλοκου διανοήματος του παραδόξου — δηλαδή της προτάσεως εκείνης πού αν και λογικά είναι γερά θεμελιωμένη αντιφάσκει με την κοινή αντίληψη. Ο Ζήνων είχε γοητευθή με την ιδέα του απείρου. Διαισθάνθηκε σωστά ότι η επιστήμη δεν θα μπορούσε να δαμάση την πραγματικότητα αν δεν συνειδητοποιούσε τους τρόπους με τους οποίους το άπειρο φαινόταν να εμφανίζεται παντού στη φύση. Έθεσε μιαν απλή ερώτηση πού αφορούσε την κίνηση και την ανήγαγε σε διάσημη παραδοξολογία: Πώς μπορεί ένα κινούμενο σημείο να περνάη από έναν άπειρο αριθμό θέσεων σ’ ένα καθορισμένο χρονικό διάστημα ; Αν ο «ωκύπους Αχιλλεύς» συναγωνίζεται στο τρέξιμο μια χελώνα και η χελώνα ξεκινήση ένα πόδι πιο μπροστά, πώς θα μπόρεση—σύμφωνα με την αυστηρή ελληνική λογική — να την φθάση ο Αχιλλεύς ; Όταν ο Αχιλλεύς θα έχη προχωρήσει ένα πόδι και η χελώνα θα έχη προχωρήσει κατά τι, ας πούμε ένα δέκατο του ποδιού. Και όταν ο Αχιλλεύς θα έχη καλύψει το δέκατο αυτό, πάλι θα έχη προχωρήσει κατά τι η χελώνα.

    Ο καθένας βέβαια ξεύρει εμπειρικά ότι ο Αχιλλεύς θα φθάση τη χελώνα, αλλά πώς να το απόδειξη με λογικούς συλλογισμούς πού να μη χρειάζωνται άπειρες σελίδες για να διατυπωθούν: Οι σύγχρονοι μαθηματικοί έχουν βρή τρόπους για να παρακάμπτουν το πρόβλημα· το ίδιο έκαμαν και οι Έλληνες. Ένας από τους πρώτους διδασκάλους της γεωμετρίας, πιθανότατα ο Εύδοξος, αντικατέστησε την αμφισβητούμενη απόδειξη για το εμβαδόν του κύκλου με δύο βοηθητικές σειρές σκέψεως. Σύμφωνα μ’ αυτές, αν δεχθούμε ότι το εμβαδόν του κύκλου είναι μια ποσότητα μεγαλύτερη η μικρότερη από το ήμισυ του γινομένου του μήκους της περιφερείας επί την ακτίνα, τότε ανακύπτουν αντιφάσεις— και οι αντιφάσεις αυτές καθιστούν τις άλλες ενδεχόμενες λύσεις άτοπες (μία ακόμη εφαρμογή της εις άτοπον απαγωγής).

Την ίδια περίπου εποχή πού ο Εύδοξος αντιμαχόταν στο σημείο αυτό τους Ελεάτες και το άπειρο, ο αρχαίος ελληνικός κόσμος χανόταν μέσα στις απέραντες κατακτήσεις του Μεγάλου Αλεξάνδρου. Όταν έπαψε η κλαγγή των όπλων, μία πόλις, η Αλεξάνδρεια της Αιγύπτου εξελίχθηκε σε νέα πρωτεύουσα του ελληνικού πολιτισμού. Εκεί, γύρω στα 300 π.Χ., ο περιφημότερος απ’ όλους τους διδασκάλους της γεωμετρίας, ο Ευκλείδης, βάλθηκε να συγκέντρωση όλα τα θεωρήματα των προγενεστέρων του και να τα συμπεριλάβη σε μια μοναδική, αυτοτελή ενότητα.

Ο Ευκλείδης δεν ήταν ακριβώς ένας μεγάλος καινοτόμος· ήταν όμως ένας υπέροχος οργανωτής, πού συστηματοποίησε τα συμπεράσματα στα όποια έφθασαν ο Θαλής, ο Εύδοξος και άλλες φωτεινές διάνοιες της χρυσής εποχής της ελληνικής γεωμετρίας— άνδρες πού επέζησαν ως τις μέρες μας, περισσότερο σαν ονόματα και ολιγότερο με το έργο τους, όπως ο Δημόκριτος, ο Ιπποκράτης της Χίου, ο Αρχύτας. Ο Ευκλείδης είχε τη θαυμαστή ικανότητα ν’ ανασύνταξη τις αποδείξεις των θεωρημάτων σε σύντομους αυστηρούς όρους. Έτσι απλοποιημένες οι αποδείξεις περιελήφθησαν στο αριστούργημα του, τα Στοιχεία, ένα από τα ανεπανάληπτα εκείνα έργα πού, όπως η Βίβλος, έχουν αφομοιώσει σ’ ένα εμπνευσμένο σύνολο τις καλύτερες προσπάθειες ολοκλήρων γενεών δημιουργικής σκέψεως. Είναι ένα κείμενο με τόση σαφήνεια και κομψότητα ύφους ώστε πολλοί εκπαιδευτικοί το θεωρούν σαν την συνεκτικώτερη συλλογή αυστηρά λογικών διανοημάτων πού επραγματοποίησε ποτέ ο άνθρωπος. Στην αρχαιότητα κυκλοφορούσε ευρύτατα με τη μορφή χειρογράφου. Αφότου ανεκαλύφθη η τυπογραφία δημοσιεύθηκε σε χιλιάδες εκδόσεις. Μέχρι προ 100 ετών ήταν στις περισσότερες χώρες του κόσμου το κλασικό σύγγραμμα για τη διδασκαλία της γεωμετρίας και παραμένει, ακόμη και σήμερα, ξαναγραμμένο με ποικίλους τρόπους.

     Τα Στοιχεία περιλαμβάνουν 13 βιβλία η κεφάλαια, πού περιγράφουν και αποδεικνύουν ένα μεγάλο μέρος απ’ όσα γνωρίζει, ακόμη και τώρα, το ανθρώπινο γένος για τις γραμμές, τα σημεία, τους κύκλους και τα στοιχειώδη σχήματα των στερεών σωμάτων. Όλες αυτές τις πληροφορίες τις άντλησε ο Ευκλείδης, με την πιο κοφτερή λογική, από δέκα ακριβώς απλές προτάσεις — πέντε αξιώματα και πέντε θεωρήματα— (πού αναφέρονται στο περιθώριο της σελίδος αυτής). Με τις προτάσεις αυτές ο Ευκλείδης οικοδόμησε όχι μόνο τη γεωμετρία πού διδάσκεται κανονικά σήμερα στα σχολεία αλλά και πολλούς άλλους κλάδους των μαθηματικών. Τα κεφάλαια του για τα μήκη των γραμμών και για το εμβαδόν μας παρέχουν γεωμετρικές μεθόδους για τη λύση πολλών προβλημάτων πού σήμερα θεωρούνται αλγεβρικά θέματα. Ο τρόπος με τον όποιο αντιμετώπισε την έννοια του απείρου, την πληγή πού άνοιξε ο Ζήνων, και η τεχνική του για την άθροιση των εμβαδών πού περικλείονται σε κυκλικά τόξα περιέχουν τις ιδέες πού ερευνώνται σήμερα στον απειροστικό λογισμό.