Τα Μαθηματικά και η Φιλοσοφία στους διάλογους της μέσης περιόδου του Πλάτωνα.

Τα Μαθηματικά και η Φιλοσοφία στους διάλογους της μέσης περιόδου του Πλάτωνα.

Τα Μαθηματικά και η Φιλοσοφία στους διάλογους της μέσης περιόδου του Πλάτωνα.

(Μένων, Φαίδων, Πολιτεία, Θεαίτητος)

Διπλωματική εργασία του Βαγγέλη Σπηλιωτάκη

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑ ΦΙΛΟΣΟΦΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΦΙΛΟΣΟΦΙΑΣ ΡΕΘΥΜΝΟ - ΜΑΙΟΣ 1998

Εισαγωγή

 «H ελληνική γεωμετρία υπήρξε αυτό το αδιάφθορο πρότυπο, πρότυπο που προτείνεται όχι μόνο σε κάθε γνώση που αποβλέπει στην τελειότητα του αλλά και απαράμιλλο πρότυπο των  τυπικών χαρακτηριστικών της ευρωπαϊκής νόησης……Αυτές οι κολόνες, αυτά τα κιονόκρανα , αυτά τα επιστύλια, αυτοί οι θριγκοί με τις υποδιαιρέσεις τους, και οι διακοσμήσεις που γέρνουν χωρίς ποτέ να φεύγουν από την θέση τους και την άρμοση τους, με κάνουν να σκέφτομαι εκείνες τις αρθρώσεις της καθαρής επιστήμης , όπως τις είχαν συλλάβει οι  Έλληνες, Ορισμούς, αξιώματα ,προτάσεις, θεωρήματα , συμπεράσματα , πορίσματα , προβλήματα……Δηλαδή ορατή η μηχανή του πνεύματος.  
                                             

                                                     Πωλ  Βαλερύ   Η  κρίση του πνεύματος. 

   

     Είναι γνωστό ότι τα μαθηματικά θέματα στον Πλάτωνα είναι πάντοτε ενταγμένα στο ευρύτερο πλαίσιο της επιστήμης που την θεωρεί ενοποιημένη  όχι όσο αφορά την  γλώσσα αλλά  αναφορικά με την μέθοδο και το είδος των όντων που εξετάζει. To καθεστώς της ενοποιημένης επιστήμης υπαγορεύεται από την  διάθρωση του αντικειμένου της γνώσης και εξετάζεται αναλυτικά από τον Πλάτωνα στην Πολιτεία[1] και αναφέρεται ρητά  τόσο στον  Μένωνα[2] όσο και στον Φαίδωνα και στον Θεαίτητο. Εδώ ο όρος  επιστήμη αναφέρεται  στην γνώση αλλά και στις συνθήκες της δυνατότητάς της. Δεν περιορίζεται στην γνώση κάποιου αντικειμένου αλλά κυρίως επεκτείνεται και εξετάζει τους όρους που καθιστούν  δυνατή και  εφικτή την διαδικασία της γνώσης. Περιλαμβάνει ότι ονομάζουμε  σήμερα επιστήμη και φιλοσοφία.

Τι είναι  όμως η μέθοδος. Στο βιβλίο Ζ της Πολιτείας, η διαλεκτική μέθοδος χαρακτηρίζεται ως διανοητική πορεία :

«Τι ούν ου διαλεκτική ταυτην την πορειαν καλεις»[Πολ. ,532β,] ,

 αλλά και ως οδός και τρόπος σκέψης :

«Λεγε ουν τις ο τρόπος της του διαλέγεσθαι δυνάμεως, και κατά ποία δη είδη διέστηκεν, και τίνες αυ οδοί, αύται γαρ αν ηδη ,ως εοικεν, αι προς αυτό αγουσαι ειεν, οι αφικόμενοι ώσπερ οδου ανάπαυλα αν ειη και τέλος της πορείας» [Πολ. 532ε] .

.Συζητώντας μεταφορικά κατανοούμε την μέθοδο ως την οδό και τον τρόπο για να φθάσουμε στην Θήβα  και η Θήβα προκαθορίζει τους δρόμους και τους τρόπους της προσέγγισής της. Αυτό είναι ένα θεμελιώδες ζήτημα που θα προσπαθήσω να κάνω φανερό στην  εργασία αυτή Ποίο ήταν όμως το μαθηματικό τοπίο που αντίκριζε ο Πλάτωνας, σε  ποίο βαθμό το διαμόρφωσε, και πως συσχέτισε τα μαθηματικά ως μέρος του σώματος της καθολικής επιστήμης.

 Μαθηματικά και φιλοσοφία στους διάλογους Μένωνα και Θεαίτητο    

     Το κεντρικό θέμα του διαλόγου είναι να εξετασθεί αν η αρετή είναι διδακτή (70α) που μας οδηγεί με λογική αναγκαιότητα στην απαίτηση να δοθεί ο ορισμός της αρετής(71δ).Ο Σωκράτης οδηγεί τον Μένωνα   με κατάλληλα παραδείγματα - όπως π.χ. με τις μέλισσες που αν και είναι πολλές και ξεχωριστές η μία από την άλλη έχουν κάτι κοινό που τις κάνει να είναι μέλισσες - στην κατανόηση του γεγονότος ότι αν και οι αρετές ειναι πολλές έχουν κάτι κοινό που τις κάνει να είναι αρετές :

« καν ει πολλαί και παντοδαπαί εισίν, έν γε τι είδος ταυτόν έχουσιν, δι ό εισίν αρεταί  »[3][72γ].

   Αν και έχει γίνει σαφές στον αναγνώστη ότι αναζητούν το είδος της αρετής ο Μένωνας επιχειρεί να δώσει τον ορισμό της αρετής με την απαρίθμηση αρετών. . Στο θέμα αυτό ο Πλάτωνας θα επανέλθει στον Θεαίτητο  με στόχο το σεβαστό του μαθηματικό για να του υποδείξει ότι αν και γνωρίζει καλά μια επιστήμη δεν έχει διανοηθεί τι είναι η επιστήμη. Δεν είναι τυχαίο άλλωστε, ότι η ανεπιτυχής προσπάθεια να δοθεί απάντηση στο ερώτημα τι είναι η επιστήμη πραγματοποιείται ανάμεσα στον Σωκράτη και τους εξέχοντες μαθηματικούς Θεαίτητο και Θεόδωρο.

   Η απάντηση του Θεαίτητου όπως και του Μένωνα  ειναι με την μέθοδο της απαρίθμησης αν και ο Θεαίτητος κατανοεί γρήγορα το σφάλμα του όταν ο Σωκράτης του επισημαίνει ότι στην ερώτηση τι είναι ο πηλός η απάντηση δεν είναι ο πηλός των πιθαράδων και ο πηλός των κεραμέων κοκ. Ο Θεαίτητος ακολούθως λέει στον Σωκράτη αυτό ακριβώς που θέλει να ακούσει:

« Περί δυνάμεων τι ημίν Θεόδωρος όδε έγραφε, της τε τρίποδος περι και πεντάποδος αποφαίνων ότι μήκει ου σύμμετροι τη ποδιαία ,και ούτω κατά μίαν εκάστην προαιρούμενος μέχρι της επτακαιδεκάποδος,εν δε ταυτη πως ενέσχετο. Ημιν ουν εισηλθε τι τοιουτον, επειδή άπειροι το πληθος αι δυνάμεις εφαίνοντο, πειραθηναι συλλαβειν εις εν, οτω πάσας ταύτας προσαγορεύομεν τας δυνάμεις[4] ».

     Η απάντηση του Θεαίτητου που δείχνει πλήρη κατανόηση του επιδιωκόμενου σκοπού  να δοθεί ένας ορισμός του « άρρητου » ως ένας κανόνας διάκρισης τους, φέρνει την συζήτηση στο ίδιο σημείο που την συναντούμε στον Μένωνα όταν ο Σωκράτης αναγκάζεται να διδάξει στον Μένωνα - που δεν γνωρίζει μαθηματικά - την τέχνη του ορισμού, με τον ορισμό του σχήματος:

 «κατά  γάρ παντός σχήματος τούτο λέγω, εις ο το στερεον περαίνει, τουτο είναι σχήμα όπερ αν συλλαβών ειποιμι στερεού πέρας σχήμα είναι[5]». 

Ο ορισμός που δίνει ο Θεαίτητος είναι ουσιαστικά ένας κανόνας που χωρίζει τους  φυσικούς αριθμούς σε δύο κλάσεις τους τετράγωνους και τους ορθογώνιους  που όταν θεωρηθούν ότι εκφράζουν εμβαδά τετραγώνων οι αντίστοιχες πλευρές των είναι σύμμετρες ή ασύμμετρες προς την μονάδα αντίστοιχα. Ο  Θεαίτητος στον ορισμό αυτό αναζητά και βρίσκει ένα κοινό γνώρισμα μέσω του οποίου αντιλαμβανόμαστε την πολλαπλότητα ως ένα, και την ιδία λογική φαίνεται να ακολουθεί και ο ορισμός του σχήματος στον Μένωνα όπου η κοινή ιδιότητα όλων των σχημάτων είναι ότι είναι πέρατα. Ο Βλαστός[6] ερμηνεύει ότι ο Πλάτωνας αυτό επιδιώκει και στον ορισμό της αρετής ή της επιστήμης -που τελικά δεν δίδονται - δηλαδή να προσδιορίσει το κοινό στοιχείο που έχουν οι αρετές και οι επιστήμες .Τι εμπόδιζε όμως τον Πλάτωνα που κατείχε την λογική των ορισμών να κάνει το ευκολότερο . Να εφαρμόσει την αρχή αυτή όπως έκανε ο Αριστοτέλης προσδιορίζοντας τις αρετές ως μεσότητες μεταξύ της υπερβολής και της έλλειψης των παθών. Στην διαπραγμάτευση που ακολουθεί ο Πλάτωνας δεν καταφεύγει στον ορισμό της αρετής ή της επιστήμης ακολουθώντας τους ορισμούς των μαθηματικών και  μου φαίνεται πιθανότερο ότι το κοινό που αναζητεί στις επιμέρους αρετές και επιστήμες δεν είναι θέμα λογικής τάξης αλλά μεταφυσικής και αιτιακής τάξης όπως κάνει στον Φαίδωνα όπου η ιδέα ως μεταφυσική οντότητα είναι το αίτιο και το κοινό στοιχείο των επιμέρους.      

     Τα υπόλοιπα συμπεράσματα είναι νομίζω ευκολονόητα. Την εποχή του Πλάτωνα οι ορισμοί στα μαθηματικά ήταν εξαιρετικά ακριβείς και θεμελιώδεις. Το μαθηματικό ενδιαφέρον δεν είναι πρακτικό αλλά θεωρητικό και δομικό αφού αναζητούνται ορισμοί των στοιχειωδών εννοιών. Ο Πλάτωνας  νιώθει άνετα σε αυτό το μαθηματικό περιβάλλον για να χρησιμοποιεί διδακτικά παραδείγματα σε φιλοσοφικά ζητήματα δανεισμένα από τον χώρο των μαθηματικών.

   Στην ανάπτυξη που ακολουθεί γίνεται φανερό ότι κοινός στόχος και των δύο διαλόγων είναι η λυτρωτική αναγνώριση της άγνοιας, που επιτυγχάνεται με τον σωκρατικό έλεγχο και την χρήση της μεθόδου της απαγωγής σε άτοπο[7]. Ο σωκρατικός έλεγχος συνίσταται στην αναγνώριση της αντίφασης που εμφανίζεται στην εξέταση της ορθότητας μιας θέσης που προτείνει ο συνομιλητής του Σωκράτη ,με άλλη θέση που αποδέχεται ως αληθή ο εξεταζόμενος κατά την διάρκεια της ελεγκτικής διαδικασίας.[8] Συνήθως η μέθοδος εφαρμόζεται στους πρώιμους διάλογους, σε εκείνους  που αποτελούν προοίμιο άλλων που έχουν να προτείνουν μία νέα σημαντική θεώρηση - τον Μένωνα ακολουθούν ο Φαίδωνας και η Πολιτεία, τον Θεαίτητο ο Σοφιστής -  αλλά και στον διάλογο της αυτοκριτικής του τον Παρμενίδη. Στον Θεαίτητο π.χ ο συνομιλητής παραδίνει στον έλεγχο τον ορισμό:

 « ουκ άλλο τι εστί επιστήμη ή αίσθησις » (151a)

 και ο Σωκράτης οδηγεί τον Θεαίτητο  να αποδεχθεί ως αναγκαία χαρακτηριστικά της επιστήμης το αλάνθαστο, και την αμεταβλητότητα του αντικείμενου της:

«Αίσθησις άρα του όντος αεί έστιν και αψευδές ως επιστήμη ουσα ».(152b)

  Σύμφωνα με τον Ανδριόπουλο[9]οδηγούμαστε στα παρακάτω λογικά σχήματα.   

Α)   η επιστήμη είναι αλάνθαστη         Β)     η επιστήμη  είναι επιστήμη του 
                                         όντος    
η αίσθηση είναι επιστήμη                    η  αίσθηση είναι επιστήμη

         άρα  η αίσθηση είναι αλάνθαστη          άρα  η αίσθηση είναι επιστήμη
                                                      του όντος                 

Ακολούθως ο Πλάτωνας θα εξετάσει την ορθότητα των τελικών συμπερασμάτων σε μια εκτενέστατη ανάλυση τους για να καταλήξει ότι οδηγούν σε αντιφάσεις, και αυτό με την σειρά του σημαίνει ότι ο μέσος όρος της λογικής σύζευξης είναι ψευδής πρόταση, δηλαδή η αίσθηση δεν είναι επιστήμη.

   Η  χρήση της μεθόδου έχει αρνητικό σκοπό, θέλει  να καθαρίσει το έδαφος πριν από την σπορά και στο έδαφος της ψυχής έχουν φυτρώσει τα παράγωγα του πνεύματος της εποχής και η παραδοσιακή φιλοσοφία  Μέσα από τον έλεγχο ο Πλάτωνας αναζητεί το σημείο μηδέν, το καθαρό έδαφος της ψυχής , από τις επιδράσεις των σοφιστών που είναι σε πλήρη συμφωνία με τις κυριαρχούσες αντιλήψεις της πλειοψηφίας των Αθηναίων αλλά και από τις επιδράσεις της φιλοσοφικής παράδοσης. Ο Παρμενίδης και ο Ηράκλειτος, ο Πυθαγόρας και ο Αναξαγόρας, ο Πρωταγόρας και ο Γοργίας αποδομούνται στο πλαίσιο του ελέγχου -   συνήθως οι απόψεις του συνομιλητή του Σωκράτη εμφανίζονται ως παράγωγες τους - για να χρησιμοποιηθούν τα στοιχεία τους σε νέα σύνθεση . Αυτή η επιστροφή στο σημείο μηδέν της σύνθεσης μας οδηγεί στον Μένωνα με την θεωρία της ανάμνησης  στα μεταφυσικά θεμέλια της Πλατωνικής θεωρίας της γνώσης, και στον Θεαίτητο το αντίστοιχο γεγονός ειναι η στροφή της ψυχής στον εαυτό της ως αναγκαία συνθήκη για την γνώση και στην ανάγκη να ξυπνήσει η ψυχή που ονειρευόμενη αναζητεί την αιτία των όντων στον κόσμο της αίσθησης και της μεταβολής. Το ξύπνημα της ψυχής πραγματοποιείτε σε  δύο φάσεις, προηγείται η αναγνώριση της άγνοιας με τον έλεγχο και ακολουθεί  η καθοδήγηση της ψυχής  με εργαλείο τα μαθηματικά. Αυτή η πορεία ακολουθείται στον Μενώνα ενώ στον Θεαίτητο και στους διάλογους της τρίτης περιόδου που τον ακολουθούν οι ρητές τουλάχιστον αναφορές στα μαθηματικά έχουν περιθωριακό χαρακτήρα. Αυτό είναι ένα ζήτημα που δεν θα εξετάσω εδώ αφού θα περιοριστώ στους διάλογους της μέσης περιόδου του Πλάτωνα.