Μαθηματική ξενάγηση

 Το κινέζικο δωμάτιο του Σιρλ.
 

 Ο Searle (1980) προτείνει το «νοητικό πείραμα», όπως το αποκαλεί, του Κι­νέζικου Δωματίου για να δείξει ότι η νόηση και οι γνωστικές λειτουργίες δεν εξισώνονται με υπολογιστική – συντακτική διαδικασία η οποία εκτελεί ένα σύνολο από κανόνες – πρόγραμμα, είτε αυτή λαμβάνει χώρα σε μια μηχανή είτε στον ανθρώπινο εγκέφαλο. Σκοπός αυτού του νοητικού πειράματος είναι να δώσει απάντηση στους υποστηρικτές της άποψης ότι, όταν μια συντακτική μηχανή είναι εφοδιασμένη με κατάλληλους κανόνες και αλγορίθμους, διαθέ­τει νόηση και κατανοεί.

Το νοητικό πείραμα έχει ως εξής: Υποθέτουμε ότι σε ένα δωμάτιο υπάρ­χει ένα άτομο, το οποίο δε γνωρίζει κινέζικα, αλλά γνωρίζει τη φυσική του γλώσσα, ας πούμε ελληνικά. Στο δωμάτιο υπάρχουν δύο θυρίδες - ας τις ονο­μάσουμε Ι (Input) και Ο (Output) αντίστοιχα. Από τη θυρίδα Ι εισέρχονται χαρτιά με κινέζικα σύμβολα. Στο δωμάτιο υπάρχει ένα βιβλίο γραμμένο στα ελληνικά στο οποίο βρίσκονται καταγραμμένοι όλοι οι απαραίτητοι κανόνες της μορφής: « Όταν λαμβάνεις ένα χαρτί από τη θυρίδα Ι με το Χ κινέζικο σύμβολο, ακολούθησε τις αντίστοιχες διαδικασίες, γράψε σε ένα κομμάτι χαρτί το Ψ κινέζικο σύμβολο και πέρασέ το στη θυρίδα Ο». Οι κανόνες αυτοί επιτρέπουν τη συσχέτιση ενός συνόλου τυπικών συμβόλων με ένα άλλο σύ­νολο τυπικών συμβόλων, όπου «τυπικός» σημαίνει ότι μπορούμε να αναγνω­ρίσουμε τα σύμβολα μόνο από τη μορφή τους. Επίσης, το βιβλίο περιλαμβά­νει οδηγίες για το πώς το άτομο μέσα στο δωμάτιο θα σχεδιάζει ορισμένα κινέζικα σύμβολα ως απάντηση στους ορισμένους τύπους χαρακτήρων που του δίνονται. Χωρίς να το γνωρίζει, τα πρόσωπα που του προμηθεύουν τα σύμβολα ονομάζουν με διάφορους τεχνικούς όρους, όπως «γραφή», «λεξιλό­γιο», «σύνταξη», «ερωτήσεις» τα χαρτιά που του δίνουν. Επιπλέον, ονομά­ζουν «απαντήσεις» τα σύμβολα που το άτομο τους επιστρέφει διαμέσου της θυρίδας Ο και «πρόγραμμα» το σύνολο των κανόνων και οδηγιών στα ελλη­νικά που του έδωσαν. Με αυτό τον τρόπο, κάθε φορά που μια ακολουθία κι­νέζικων συμβόλων εισέρχεται στο δωμάτιο, το άτομο τα επεξεργάζεται σύμ­φωνα με τους κανόνες που διαθέτει και εξάγει μια κατάλληλη ακολουθία από επίσης κινέζικα σύμβολα.

Ύστερα από λίγο καιρό το άτομο μέσα στο δωμάτιο, με τη μηχανοποίηση της συνήθειας, γίνεται τόσο ικανό στο να εκτελεί τους κανόνες χειρισμού των κινέζικων συμβόλων και τα πρόσωπα έξω από το δωμάτιο είναι τόσο ικανά στο να του προμηθεύουν τους σωστούς κανόνες, ώστε από την άποψη ενός εξωτερικού παρατηρητή οι απαντήσεις που δίνει το άτομο φαίνονται εντελώς σωστές και όμοιες με τις απαντήσεις που θα έδινε κάποιος που έχει τα κινέ­ζικα μητρική του γλώσσα. Στην περίπτωση όμως των κινέζικων, και αντίθετα με ό,τι συμβαίνει με την πραγματική μητρική γλώσσα του ατόμου, τα ελλη­νικά, οι απαντήσεις δίνονται διαμέσου του χειρισμού τυπικών συμβόλων που είναι ανερμήνευτα γι’ αυτό. Ως προς τα κινέζικα λοιπόν το άτομο συμπεριφέ­ρεται όπως ένας υπολογιστής, δηλαδή εκτελεί διεργασίες υπολογισμού πάνω σε στοιχεία που έχουν προσδιοριστεί με τυπικό τρόπο, και επομένως είναι απλώς μια εξατομίκευση του προγράμματος ενός υπολογιστή.

Συνεπώς, ο εξωτερικός παρατηρητής υποθέτει ότι το άτομο μέσα στο δωμά­τιο γνωρίζει κινέζικα, πράγμα το οποίο δεν αληθεύει. Το άτομο αυτό απλώς συμπεριφέρεται ως γνώστης των κινέζικων χωρίς στην πραγματικότητα να τα γνωρίζει. Εκείνο που κάνει είναι να χειρίζεται σύμβολα με τη βοήθεια κανό­νων χωρίς να γνωρίζει τι σημαίνουν αυτά τα σύμβολα Επομένως, το Κινέζικο Δωμάτιο αντιστοιχεί στη λειτουργία ενός υπολογιστή και με αυτό ο Searle δείχνει ότι η εκτέλεση κανόνων δεν μπορεί ποτέ να θεωρηθεί κατανόηση ή σκέψη, εφόσον αυτό που κάνει το άτομο μέσα στο δωμάτιο, αλλά και οι υπο­λογιστές, είναι ο χειρισμός συμβόλων σύμφωνα με τη μορφή τους και τους αντίστοιχους κανόνες.

Η αίθουσα διδσκαλίας είναι ένα κινέζικο δωμάτιο!

Ας θεωρήσουμε την εξής αντιστοιχία:

Κινέζικο Δωμάτιο	«	Αίθουσα Μαθηματικών
Άτομο μέσα στο δωμάτιο	«	Μαθητής των Μαθηματικών
Κινέζικα σύμβολα	«	Μαθηματικά σύμβολα
Πρόσωπα έξω από το δωμάτιο	«	Δάσκαλοι των Μαθηματικών
Κανόνες – οδηγίες	«	Κανόνες των Μαθηματικών
Εξωτερικός παρατηρητής	«	Εξετάσεις

      Τότε έχουμε έναν ισομορφισμό, ο οποίος μας επιτρέπει να οδηγηθούμε στα ίδια συμπεράσματα για την Αίθουσα Μαθηματικών με αυτά του Searle για το Κινέζικο Δωμάτιο. Συγκεκριμένα, οι απαντήσεις που δίνει ο μαθητής στα Μαθηματικά φαίνονται εντελώς σωστές και όμοιες με τις απαντήσεις που θα έδινε κάποιος που έχει βαθιά γνώση και κατανόηση των Μαθηματικών (φυσικά μιλάμε γι’ αυτούς που πράγματι δίνουν τις σωστές απαντήσεις). Στην περίπτωση όμως των Μαθηματικών, οι απαντήσεις δίνονται διαμέσου του χειρισμού τυπικών συμβόλων που συνήθως είναι ανερμήνευτα για το μαθητή. Ως προς τα Μαθηματικά λοιπόν ο μαθητής συμπεριφέρεται όπως ένας υπο­λογιστής, δηλαδή εκτελεί διεργασίες υπολογισμού πάνω σε στοιχεία που έχουν προσδιοριστεί με τυπικό τρόπο, και επομένως είναι απλώς μια εξατο­μίκευση του προγράμματος ενός υπολογιστή. Συνεπώς, οι εξετάσεις δείχνουν ότι ο μαθητής γνωρίζει Μαθηματικά, πράγμα το οποίο δεν αληθεύει. Ο μαθη­τής απλώς συμπεριφέρεται ως γνώστης των Μαθηματικών χωρίς στην πραγ­ματικότητα να γνωρίζει Μαθηματικά. Εκείνο που κάνει είναι να χειρίζεται σύμβολα με τη βοήθεια κανόνων χωρίς να γνωρίζει τι σημαίνουν αυτά τα σύμβολα. Επομένως, η Αίθουσα Μαθηματικών, όπως και το Κινέζικο Δωμά­τιο, αντιστοιχεί στη λειτουργία ενός υπολογιστή και με αυτό δείχνουμε ότι η εκτέλεση κανόνων δεν μπορεί ποτέ να θεωρηθεί κατανόηση ή σκέψη, εφόσον αυτό που κάνει ο μαθητής είναι ο χειρισμός συμβόλων σύμφωνα με τη μορφή τους και τους αντίστοιχους κανόνες. Συνεπώς, αφού η νόηση είναι κάτι πα­ραπάνω από το συντακτικό χειρισμό συμβόλων σύμφωνα με κάποιους κανό­νες, και ο μαθητής περιορίζεται ουσιαστικά μόνο σε αυτό, τότε δεν μπορούμε να υποστηρίξουμε σοβαρά ότι ο μαθητής νοεί και κατανοεί τα Μαθηματικά. Το θεωρητικό αυτό συμπέρασμα μπορεί να τεκμηριωθεί και εμπειρικά από κάποιον που βρίσκεται σε μια Αίθουσα Μαθηματικών για σειρά ετών και βιώνει την πραγματικότητά της.

Το ερώτημα που τίθεται στη συνέχεια είναι: Τι πρέπει να γίνει ώστε να πε­ράσουμε από την απλή διαχείριση συμβόλων, σύμφωνα με ορισμένους κανό­νες, στη νόηση, σκέψη και κατανόηση των Μαθηματικών από το μαθητή;

3.   Τεχνικά Μαθηματικά και Μαθηματικά του Νοήματος

Υπάρχουν περιοχές των Μαθηματικών όπου είναι αναγκαία η εφαρμογή κά­ποιου αλγόριθμου, άλλες όπου απαιτείται η επινόηση νέων τεχνικών για την επίλυση συγκεκριμένων προβλημάτων, άλλες που έχουν σχέση με έννοιες και σημασίες, και άλλες όπου, μέσα σε αυστηρό πλαίσιο αρχών, αποδεικνύουμε την ύπαρξη οντοτήτων και λύσεων, χωρίς να ενδιαφερόμαστε για την ακριβή μέθοδο που θα τις προσεγγίσουμε. Η πρώτη περιοχή καλείται αλγοριθμικά Μαθηματικά, η δεύτερη ευρετικά, η τρίτη εννοιακά Μαθηματικά και η τέ­ταρτη υπαρξιακά. Τα αλγοριθμικά και ευρετικά Μαθηματικά σχετίζονται άμεσα με την εύρεση και εφαρμογή τεχνικών, ενώ τα εννοιολογικά και υπαρ­ξιακά Μαθηματικά με έννοιες, σημασίες, βαθιά γνώση, κατανόηση, λογική και νόημα (Davis & Hersh, 1984). Ονομάζουμε το πρώτο είδος Τεχνικά Μαθημα­τικά και το δεύτερο Μαθηματικά του Νοήματος.

Η επικράτηση της τεχνικής πλευράς των Μαθηματικών, η οποία οφείλεται κυρίως στην εξέλιξη της τεχνολογίας και των μηχανών που αυτή κατασκευά­ζει και στις ανάγκες εφαρμογών, οδηγεί στην υποτίμηση της άλλης πλευράς, με αποτέλεσμα να αποκρύπτεται ο εννοιολογικός και νοηματικός χαρακτή­ρας των Μαθηματικών. Έτσι, ο διχασμός ανάμεσα στο «σώμα» και στο «νου» των Μαθηματικών, καταλήγει για άλλη μια φορά υπέρ του πρώτου και σε βάρος του δεύτερου. Σύμφωνα με αυτά, υπάρχει φανερή αντίθεση μεταξύ τεχνικής και εννοιολογικής πλευράς των Μαθηματικών, μεταξύ φορμαλισμού και ενατένισης και μεταξύ συντακτικού – γλωσσικού και σημαντικού – σημα­σιολογικού – νοηματικού χαρακτήρα. Η επιμονή και η προσκόλληση στην πρώτη πλευρά είναι προσκόλληση μόνο στο σημαίνον και αδιαφορία για το σημαινόμενο, οπότε φυσιολογικά χάνεται το νόημα. Όμως, τα αντίθετα είναι συμπληρωματικά ως προς την ολότητα, επομένως η άποψη που υποστηρί­ζουμε δεν είναι παρά η ανάγκη να υπάρξει ισορροπία ανάμεσα στις δυο πλευρές, πράγμα που σημαίνει αναβάθμιση, στην πράξη, της νοηματικής πλευράς. Το εννοιολογικό πλαίσιο, μέσα στο οποίο εντάσσονται οι βασικές μαθηματικές έννοιες και οι σχέσεις τους, πρέπει να προηγείται από την εύ­ρεση και εφαρμογή των τεχνικών, γιατί με τον τρόπο αυτό οι τεχνικές απο­κτούν νόημα και φαίνονται φυσικές και δικαιολογημένες, ενώ στην αντίθετη περίπτωση μοιάζουν αυθαίρετες και κενές περιεχομένου.

Σύμφωνα με τα πιο πάνω, απαιτείται γενναία στροφή για αλλαγή νοοτροπίας στη διδασκαλία των Μαθηματικών. Η αδιαφορία και ο τρόμος του μαθητή μπροστά στα Μαθηματικά, έτσι όπως αυτά σήμερα διδάσκονται, δεν είναι στην ουσία παρά η αδιαφορία και ο τρόμος μπροστά στο κενό περιεχομένου και στο μηχανιστικό, μπροστά σε μια σύγχρονη ζωή δίχως νόημα. Η απάν­θρωπη ψυχρότητα, η έλλειψη συναισθήματος, το οποίο δένει τον άνθρωπο με το αντικείμενο, η απαίτηση μόνο για επιτεύξεις και αποτελέσματα, η ψυχολο­γική και υλική εκμετάλλευση όλων των δυσκολιών, κάνουν ένα από τα υψη­λότερα δημιουργήματα του ανθρώπου απρόσιτο, αδιάφορο και απωθητικό για τους νέους. Οι μαθητές, στην πλειοψηφία τους, αφενός δεν έχουν πηγαίο κίνητρο και ενδιαφέρον γι’ αυτά, αφετέρου μένουν με ψευδείς, στρεβλές και λανθασμένες εντυπώσεις για το τι πραγματικά είναι τα Μαθηματικά, χωρίς να μπορέσουν ποτέ να μπουν στην ουσία και στην ομορφιά τους. Και στη συ­νέχεια, ως δάσκαλοι και γονείς, αναπαράγουν τη λανθασμένη νοοτροπία, την άγνοια και τη σύγχυση. Όλοι όσοι συνιστούμε τη μαθηματική παιδεία σήμερα στον τόπο μας έχουμε αμαρτήσει, δηλαδή ξαστοχήσει, γιατί τα Μαθηματικά δεν είναι αυτοσκοπός στην εκπαίδευση, αλλά κυρίως μέσο διαπαιδαγώγησης, καλλιέργειας διανοητικής και συναισθηματικής. Πρέπει, συνεπώς, να μετα-νοήσουμε, δηλαδή να αλλάξουμε νου. Πράγματι, σύμφωνα και με τους Kof­man & Senge (1995), η μεγάλη έμφαση που δίνεται στην επιλογή και στον εξ αυτής ανταγωνισμό μεταξύ των μαθητών λόγω των εξετάσεων, κάνει το «να δείχνεις» καλός περισσότερο σημαντικό από το «να είσαι» πραγματικά κα­λός. Ο φόβος της αποτυχίας και του να μη δείχνεις καλός είναι από τους με­γαλύτερους εχθρούς της μάθησης. Για να μάθουμε χρειάζεται να αναγνωρί­σουμε ότι υπάρχει κάτι που δεν ξέρουμε και να ενεργήσουμε ακριβώς σε αυτά που δεν είμαστε καλοί. Η κύρια δυσλειτουργία του σύγχρονου σχολείου είναι στην πραγματικότητα αποτέλεσμα της όποιας επιτυχίας του στο παρελ­θόν. Επομένως, αυτή η δυσλειτουργία δεν είναι απλώς πρόβλημα προς λύση, είναι κρυσταλλωμένα μοντέλα σκέψης που χρειάζεται να διαλυθούν. Ο δια­λύτης είναι ένας νέος τρόπος σκέψης, ακριβώς η μετά-νοια, η αλλαγή νου και νοοτροπίας. Σε αυτό το νέο μοντέλο σκέψης πρέπει να μετακινηθούμε από το μερικό στο ολιστικό, από το μηχανιστικό στο νοηματικό – σημασιολογικό (Γαβαλάς, 1999).

Σκοπός, λοιπόν, δεν είναι, μετά από χρόνια μαθητείας, να μπορούν οι μαθη­τές να λύνουν εκατοντάδες ασκήσεις με μηχανικό τρόπο, δίχως να καταλα­βαίνουν τι ακριβώς κάνουν και ποιο είναι το νόημα, αλλά να έχουν δομήσει ένα νοηματικό πλαίσιο από τις βασικές μαθηματικές έννοιες, που είναι φο­ρείς της σημασίας, και να μπορούν να μορφοποιήσουν ένα τρόπο σκέψης χρήσιμο στη ζωή και στην επιστήμη. Σκοπός είναι να έχουν εξοπλίσει και πλουτίσει το εννοιολογικό τους οπλοστάσιο με τις κατάλληλες έννοιες, οι οποίες θα τους βοηθήσουν να αντιμετωπίσουν τα πραγματικά προβλήματα της ζωής. Όλοι μαζί έχουμε υποβαθμίσει και αποπνευματοποιήσει ακριβώς ένα από τα πιο πνευματικά ανθρώπινα δημιουργήματα. Τα Μαθηματικά μπορούν να αποτελέσουν ωραίο πνευματικό ταξίδι, γεμάτο νόημα και αισθη­τική, γεμάτο μορφωτικά αποτελέσματα, δεν υπάρχει λόγος να το κάνουμε εφιάλτη για τα παιδιά.