Μαθηματική ξενάγηση

 Περί φιλοσοφίας των μαθηματικών . . .

Είναι καιρός τώρα που ασχολούμαι με τα μαθηματικά , και όσο και αν ψάχνω το ερώτημα αυτό μένει θολό . Είναι τα μαθηματικά μοντέλα μια εφεύρεση της διανόησης του ανθρώπου ή είναι ανακάλυψη , είναι δηλαδή μέρος του χωροχρόνου , προϋπάρχουν και εμείς απλώς τα ανακαλύπτουμε σταδιακά? (Ή μήπως είναι και τα δύο?)

Ιστορικά τα μαθηματικά ξεκίνησαν στην αρχαία Μεσοποταμία κυρίως για λόγους μετρήσεως χωραφιών και για το σύστημα φορολογίας . Είναι δυνατόν όμως μια ανθρωπινή εφεύρεση να είναι τόσο τέλεια και απολύτως εφαρμόσιμη σε φυσικά φαινόμενα?

Τα μαθηματικά ασφαλώς και είναι συνδεδεμένα με το σύμπαν, ο άνθρωπος τα ανακάλυψε με την δημιουργία κοινωνιών και των σχέσεων με τους υπόλοιπους συγκατοίκους του από την πρωτόγονη κοινωνία μέχρι την σημερινή . Η ανάγκη δημιουργήθηκε αυτόματα, οι συναλλαγές, ο τρόπος απόκτησης αγαθών, η διαμοίραση τους στα μέλη της κοινωνίας, οι ανταλλαγές προϋποθέτουν από μόνα τους μαθηματικά. Η μαθηματική επιστήμη είναι συνδεδεμένη και βρίσκεται πίσω από όλες τις υπόλοιπες επιστήμες ακόμα και από τις μη θετικές, είναι κάτι που αγκαλιάζει τα πάντα.

Για να μπορέσουμε να το διερευνήσουμε περαιτέρω, πιστεύω ότι πρέπει να ξεφορτωθούμε ακόμα και αυτά τα οποία θεωρούμε δεδομένα, δηλαδή την ύπαρξη των αριθμών με τον τρόπο με τον οποίο τους αντιλαμβανόμαστε εμείς οι άνθρωποι.

Οι αριθμοί για τον άνθρωπο, έχουν μία συγκεκριμένη σημασία, γιατί εμείς τους την έχουμε δώσει. Έχουμε θεωρήσει ότι υπάρχει κάτι που αντικατοπτρίζει την ποσότητα 1, την ποσότητα 2,3,4,… και πάει λέγοντας. Αυτό όμως είναι μια δική μας σύμβαση. Ένας τρόπος που χρησιμοποιήσαμε για να κατανοήσουμε τον κόσμο. Αν ξεφεύγαμε λίγο από τους συμβολισμούς , δηλαδή όταν λέμε αριθμός να μην σκεφτόμαστε 1,2,3,4.. κτλ θα είχαμε μια πιο ολοκληρωμένη εικόνα για αυτό το θέμα! Ο αριθμός προϋπάρχει της έννοιας που εμείς του έχουμε δώσει , δεν έχουμε ιδέα τι είναι αριθμοί , απλώς αρκούμαστε στο να “μελετάμε” τις σχέσεις και τις ιδιότητες τους , δεν έχουμε δώσει κάποιον σαφή ορισμό δηλαδή .

Ακόμα, τους αριθμούς αυτούς τους διαιρέσαμε, τους επεξεργαστήκαμε με κάθε δυνατό τρόπο και κάθε φορά προέκυπτε ένα σύνολο αριθμών που οι άκρες του αγγίζανε το άπειρο. Σ’ αυτούς τους αριθμούς – τους επινοημένους – αρχίσαμε να ανακαλύπτουμε συσχετισμούς μεταξύ τους και με έκπληξη διαπιστώσαμε, ότι αυτή η αφηρημένη γλώσσα είναι σε θέση να περιγράψει, να προβλέψει, να εξηγήσει τον κόσμο μας με καλύτερο τρόπο από όσο θα μπορούσε να το κάνει οποιαδήποτε άλλη γλώσσα. Κι εδώ βρίσκεται το παράδοξο!

Οι αριθμοί φαίνεται ότι έχουν μία υπόσταση που τους έχουμε δώσει εμείς, αλλά ερευνώντας τους ανακαλύπτουμε ότι εκφράζονται με κάθε δυνατό τρόπο στο σύμπαν. Πηγαίνοντας πέρα από τους αριθμούς στις συναρτήσεις, διαπιστώνουμε ότι αυτές δεν είναι τίποτε άλλο, παρά η αναπαράσταση της καθαρής λογικής σκέψης. Η οποία πολλές φορές – αν και λογική – φαίνεται ότι φλερτάρει με το πεδίο της παραδοξότητας…

Αν οι αριθμοί δεν έχουν άλλο νόημα, παρά αυτό που τους έχουμε δώσει εμείς, εάν δεν εκφράζουν τον κόσμο άμεσα, αλλά μόνο έμμεσα – ως ένα σκαλοπάτι που είναι πιο κοντά στην αντίληψή μας και που μπορούμε να το χρησιμοποιήσουμε για τη μελέτη μας στον κόσμο – τι είναι αυτό που υπάρχει πίσω ακόμα και από τους αριθμούς; Τι είναι αυτό που τους δημιουργεί;

Μήπως η απάντηση στην ερώτηση αυτή βρίσκεται στο απλούστερο και πλέον μυστηριώδες – κατά την άποψή μου – δυαδικό σύστημα αρίθμησης, το οποίο πηγαίνει πίσω κι από τους γνωστούς αριθμούς, περιγράφοντας δύο μόνο καταστάσεις; Το μηδέν και το άπειρο. Δύο απλοί “αριθμοί”, 0 και 1, που οι συνδυασμοί τους μας έχουν φτάσει στο σημείο να δημιουργήσουμε ακόμα και τεχνητή νοημοσύνη. Μονάχα με τη χρήση αυτών των δύο καταστάσεων και κάποιων πολύ απλών λογικών κανόνων, μπορούμε σήμερα να χτίσουμε ακόμα και έναν ολόκληρο κόσμο μέσα σε έναν υπολογιστή.

Τα μαθηματικά είναι από μόνα τους μια ισχυρή λογική και η σχέση τους με την φιλοσοφία είναι μάλλον αντιφατική καθώς οι φιλόσοφοι σκέφτονται και υποθέτουν αιώνια , ενώ οι μαθηματικοί μετά από αυτά τα στάδια αποδεικνύουν κιόλας . Η αποδειξιμότητα των προτάσεων φυσικά δεν είναι καθεαυτό στοιχείο των μαθηματικών. Είναι στοιχείο των Επιστημών. Βέβαια η αποδεικτική διαδικασία των μαθηματικών είναι απαράμιλλης αξίας, κάτι που αναγνωρίζεται από όλους. Η γεωμετρία (λέει ο Σωκράτης στην “Πολιτεία” του Πλάτωνα) αναγκάζει την ψυχή να αντικρίσει την ουσία των όντων. Έχει αντικείμενό της τη γνώση του αιώνιου (αεί) όντος και όχι του εμφανιζόμενου και εξαφανιζόμενου. Έλκει την ψυχή προς την αλήθεια και αναπτύσσει το φιλοσοφικό εκείνο πνεύμα που εξυψώνει το βλέμμα μας προς τα ανώτερα πράγματα . O Αριθμός των Πυθαγορείων κατέχει ανάλογη μεταφυσική θέση. Σε κάθε αντικείμενο ή ον μπορεί να αποδοθεί ένας αριθμός, μια μαθηματική σχέση, μια αναλογία που συνιστά το υπεραισθητό αφηρημένο πρότυπο με βάση το οποίο έχει δομηθεί το ον ή το αντικείμενο. Και σκοπός των όντων και γενικότερα του κόσμου είναι να γίνουν ένα κατά το δυνατόν τέλειο αντίγραφο του υπεραισθητού προτύπου που αντιπροσωπεύουν, να αναπαράγουν εξωτερικά το εσωτερικό μαθηματικό κάλλος που τα δομεί και τα διέπει.

Βέβαια όποιος έφτιαξε αυτόν τον κόσμο, τον έφτιαξε με κάποιους νόμους και κανόνες. Τα φυσικά φαινόμενα δρούσαν και πριν εμφανιστεί ο άνθρωπος, ο οποίος προσπαθώντας να τους εξηγήσει με τον δικό του τρόπο χρησιμοποίησε τα μαθηματικά. Δεν είναι ανάγκη οι συναρτήσεις που χρησιμοποίησε ο Δημιουργός για να φτιάξει τον κόσμο, να συμπίπτουν, όλες, με αυτές των ανθρώπων. Εξάλλου έχουμε κάνει και λάθη, για παράδειγμα το Γεωκεντρικό σύστημα εξηγούταν κάπως και με μαθηματικούς τύπους, φαντάζομαι. Από την άλλη κάποια μαθηματικά προβλήματα έχουν πάνω από μια σωστή λύση.

Ας δούμε ένα γενικό παράδειγμα : Η Ευκλείδεια γεωμετρία εφαρμόζεται μόνο σε επίπεδο χώρο και όχι σε καμπυλωμένους χωροχρόνους όποτε στη σύγχρονη φυσική είναι ουσιαστικά άχρηστη και μη εφαρμόσιμη . Επίσης υπήρχαν κάποιες ατέλειες με μεγάλη σημασία για την σταθερότητα του κλάδου . Παράδειγμα , τα κριτήρια ισότητας τριγώνων αποδεικνύονται μεταφέροντας το ένα τρίγωνο πάνω στο άλλο , όμως ο Ευκλείδης παραλείπει στο σημείο αυτό ότι τα τρίγωνα μπορεί να αλλάζουν κατά την μεταφορά , πράγμα το όποιο και συμβαίνει καθώς στη σύγχρονη φυσική ξέρουμε ότι όσο τα σώματα κινούνται αλλάζουν οι διαστάσεις τους . Γι αυτό το λόγο ο Hilbert το 1899 διατύπωσε κάποια επιπλέον αξιώματα ώστε η Γεωμετρία να είναι ένα καλώς οριζόμενο μαθηματικό σύστημα .

Σε άλλο παράδειγμα , το αξίωμα της αυτοομοιότητας (α=α) δηλαδή ότι κάθε πράγμα είναι πάντα “ίσο” με τον εαυτό του ισχύει μόνο στην Αριστοτελική Λογική , και είχε αμφισβητηθεί ανοιχτά από την εποχή του Ηράκλειτου ακόμα (έλεγε συγκεκριμένα ο Ηράκλειτος ότι κάθε μέρα δεν βλέπεις το ίδιο ποτάμι άρα πως μπορεί να είναι ίδιο με τον εαυτό του) . Φυσικά έχουν γραφεί λογικές μη Αριστοτελικές που δεν δέχονται αυτό το αξίωμα , όπως και πολλές άλλες παραδοχές της , όπως πχ ότι κάθε πρόταση έχει τιμή αληθείας “αλήθεια” ή “ψέμα” , ενώ οι σύγχρονες Θεωρίες δεν αποκλείουν το τρίτο ενδεχόμενο (όποιο κ να είναι αυτό , πχ “Δεν γνωρίζουμε”) .

Για να επανέλθω λοιπόν , όντως στις σύγχρονες αντιλήψεις περί φυσικής δεν χωράν τα “στενά” πλαίσια συμβατικών μαθηματικών θεωριών !

Είναι σαν να θέλεις να υπολογίσεις τροχιές στο διάστημα , με Ευκλείδεια γεωμετρία.

Όπως και στα “κατασκευαστικά” μαθηματικά , όπου και εκεί τα πράγματα που κατασκευάζονται είναι απείρως ελάχιστα σε σχέση με αυτά που δεν μπορούμε να “φτάσουμε” . Οι λογικιστές μαθηματικοί , κυρίως οι σύγχρονοι , απορρίπτουν την ιδέα του ότι κάθε τι πρέπει να είναι “χειροπιαστό” στα μαθηματικά . Δηλαδή δεν τους νοιάζει να βρουν κάτι , αρκεί να ξέρουν ότι υπάρχει ! Διαφορετικά περιορίζονται τρομερά οι δυνατότητες μας . Φανταστείτε για παράδειγμα ένα άπειρων διαστάσεων σκοτεινό δωμάτιο , και μια λάμπα σε μια άκρη του . Αυτό είναι και το μέρος των μαθηματικών που “βλέπουμε” .

Ο Godel (και κατ’επέκταση όλοι όσοι ασχολούνται με τη Λογική ως κλάδο των μαθηματικών) διατυπώνοντας ότι <<Υπάρχουν αληθείς προτάσεις που είναι μη αποδείξιμες καθώς δεν υπάρχουν αρκετά στοιχειά στο ιδεολογικό τους περιβάλλον για κάτι τέτοιο>> , ουσιαστικά αποδέχεται ότι οι αλήθειες των μαθηματικών προϋπάρχουν στον κόσμο των ιδεών (όπως πίστευε και ο Πλάτωνας ότι υπάρχει) αλλά εμείς δεν έχουμε αρκετά εργαλεία για την απόδειξη τους . Στα μαθηματικά υπάρχουν επίσης οι έννοιες του ‘’πλατωνισμού’’ και του ‘’αντιπλατωνισμού’’ . Πλατωνισμός είναι η πίστη σε αντικείμενα τα όποια υπάρχουν ανεξαρτήτως χωροχρόνου , όπως για παράδειγμα είναι οι συναρτήσεις . Πολλοί λοιπόν μαθηματικοί αντιμάχονταν για το αν υπάρχουν τέτοια αντικείμενα ώσπου τελικά το 1998 ο Mark Beleaguer σε ένα σύγγραμμα του κατέληξε ότι δε υπάρχουν σταθερές αποδείξεις για καμία πλευρά .

Ένα τελευταίο παράδειγμα είναι το λεγόμενο “Αξίωμα της Επιλογής” ένα πολύ αμφιλεγόμενο αξίωμα που ουσιαστικά είναι μια πρόταση η όποια δεν “επιδέχεται” απόδειξη . Αυτό το αξίωμα απλουστευμένα λέει ότι μπορούμε πάντα να επιλέγουμε ένα στοιχείο από κάθε σύνολο μιας οικογένειας συνόλων .

Όμως όταν μιλάμε για άπειρα σύνολα , το να επιλέξεις στοιχειά από κάθε ένα δεν είναι και τόσο καθημερινό ε? Αυτό το αξίωμα δεν εμπίπτει λοιπόν κ τόσο στις αισθήσεις μας όπως έχουμε συνηθίσει με τα αξιώματα.

Εν κατακλείδι λοιπόν ,τα μαθηματικά είναι ένα τεράστιο σύστημα ενεργειών που φαντάζει ‘’θεϊκό’’ και ανώτερο , που όμως μοιάζει συνάμα και τόσο καθημερινό και ανθρώπινο . Οι μαθηματικοί όλων αυτών των αιώνων άφησαν το ερώτημα αναπάντητο περί εφεύρεσης ή ανακάλυψης , όμως άλλωστε αυτή είναι και η μαγεία των μαθηματικών : να μας κάνουν να ψάχνουμε περά από τις δυνάμεις και τις αισθήσεις μας !