Το ιστολόγιο αυτό δημιουργήθηκε από τον Μόσχο Αλέξανδρο μαθηματικό του γυμνασίου - Λ.Τ Σημάντρων Χαλκιδικής.

Περιέχει πληθώρα άρθρων σχετικών με τη ιστορία , τη φιλοσοφία , τη λογοτεχνία τη χρησιμότητα των μαθηματικών.

Τρίτη 21 Ιανουαρίου 2014

 Το κινέζικο δωμάτιο του Σιρλ.
 


 Ο Searle (1980) προτείνει το «νοητικό πείραμα», όπως το αποκαλεί, του Κι­νέζικου Δωματίου για να δείξει ότι η νόηση και οι γνωστικές λειτουργίες δεν εξισώνονται με υπολογιστική – συντακτική διαδικασία η οποία εκτελεί ένα σύνολο από κανόνες – πρόγραμμα, είτε αυτή λαμβάνει χώρα σε μια μηχανή είτε στον ανθρώπινο εγκέφαλο. Σκοπός αυτού του νοητικού πειράματος είναι να δώσει απάντηση στους υποστηρικτές της άποψης ότι, όταν μια συντακτική μηχανή είναι εφοδιασμένη με κατάλληλους κανόνες και αλγορίθμους, διαθέ­τει νόηση και κατανοεί.
Το νοητικό πείραμα έχει ως εξής: Υποθέτουμε ότι σε ένα δωμάτιο υπάρ­χει ένα άτομο, το οποίο δε γνωρίζει κινέζικα, αλλά γνωρίζει τη φυσική του γλώσσα, ας πούμε ελληνικά. Στο δωμάτιο υπάρχουν δύο θυρίδες - ας τις ονο­μάσουμε Ι (Input) και Ο (Output) αντίστοιχα. Από τη θυρίδα Ι εισέρχονται χαρτιά με κινέζικα σύμβολα. Στο δωμάτιο υπάρχει ένα βιβλίο γραμμένο στα ελληνικά στο οποίο βρίσκονται καταγραμμένοι όλοι οι απαραίτητοι κανόνες της μορφής: « Όταν λαμβάνεις ένα χαρτί από τη θυρίδα Ι με το Χ κινέζικο σύμβολο, ακολούθησε τις αντίστοιχες διαδικασίες, γράψε σε ένα κομμάτι χαρτί το Ψ κινέζικο σύμβολο και πέρασέ το στη θυρίδα Ο». Οι κανόνες αυτοί επιτρέπουν τη συσχέτιση ενός συνόλου τυπικών συμβόλων με ένα άλλο σύ­νολο τυπικών συμβόλων, όπου «τυπικός» σημαίνει ότι μπορούμε να αναγνω­ρίσουμε τα σύμβολα μόνο από τη μορφή τους. Επίσης, το βιβλίο περιλαμβά­νει οδηγίες για το πώς το άτομο μέσα στο δωμάτιο θα σχεδιάζει ορισμένα κινέζικα σύμβολα ως απάντηση στους ορισμένους τύπους χαρακτήρων που του δίνονται. Χωρίς να το γνωρίζει, τα πρόσωπα που του προμηθεύουν τα σύμβολα ονομάζουν με διάφορους τεχνικούς όρους, όπως «γραφή», «λεξιλό­γιο», «σύνταξη», «ερωτήσεις» τα χαρτιά που του δίνουν. Επιπλέον, ονομά­ζουν «απαντήσεις» τα σύμβολα που το άτομο τους επιστρέφει διαμέσου της θυρίδας Ο και «πρόγραμμα» το σύνολο των κανόνων και οδηγιών στα ελλη­νικά που του έδωσαν. Με αυτό τον τρόπο, κάθε φορά που μια ακολουθία κι­νέζικων συμβόλων εισέρχεται στο δωμάτιο, το άτομο τα επεξεργάζεται σύμ­φωνα με τους κανόνες που διαθέτει και εξάγει μια κατάλληλη ακολουθία από επίσης κινέζικα σύμβολα.

Ύστερα από λίγο καιρό το άτομο μέσα στο δωμάτιο, με τη μηχανοποίηση της συνήθειας, γίνεται τόσο ικανό στο να εκτελεί τους κανόνες χειρισμού των κινέζικων συμβόλων και τα πρόσωπα έξω από το δωμάτιο είναι τόσο ικανά στο να του προμηθεύουν τους σωστούς κανόνες, ώστε από την άποψη ενός εξωτερικού παρατηρητή οι απαντήσεις που δίνει το άτομο φαίνονται εντελώς σωστές και όμοιες με τις απαντήσεις που θα έδινε κάποιος που έχει τα κινέ­ζικα μητρική του γλώσσα. Στην περίπτωση όμως των κινέζικων, και αντίθετα με ό,τι συμβαίνει με την πραγματική μητρική γλώσσα του ατόμου, τα ελλη­νικά, οι απαντήσεις δίνονται διαμέσου του χειρισμού τυπικών συμβόλων που είναι ανερμήνευτα γι’ αυτό. Ως προς τα κινέζικα λοιπόν το άτομο συμπεριφέ­ρεται όπως ένας υπολογιστής, δηλαδή εκτελεί διεργασίες υπολογισμού πάνω σε στοιχεία που έχουν προσδιοριστεί με τυπικό τρόπο, και επομένως είναι απλώς μια εξατομίκευση του προγράμματος ενός υπολογιστή.

Συνεπώς, ο εξωτερικός παρατηρητής υποθέτει ότι το άτομο μέσα στο δωμά­τιο γνωρίζει κινέζικα, πράγμα το οποίο δεν αληθεύει. Το άτομο αυτό απλώς συμπεριφέρεται ως γνώστης των κινέζικων χωρίς στην πραγματικότητα να τα γνωρίζει. Εκείνο που κάνει είναι να χειρίζεται σύμβολα με τη βοήθεια κανό­νων χωρίς να γνωρίζει τι σημαίνουν αυτά τα σύμβολα Επομένως, το Κινέζικο Δωμάτιο αντιστοιχεί στη λειτουργία ενός υπολογιστή και με αυτό ο Searle δείχνει ότι η εκτέλεση κανόνων δεν μπορεί ποτέ να θεωρηθεί κατανόηση ή σκέψη, εφόσον αυτό που κάνει το άτομο μέσα στο δωμάτιο, αλλά και οι υπο­λογιστές, είναι ο χειρισμός συμβόλων σύμφωνα με τη μορφή τους και τους αντίστοιχους κανόνες.

Η αίθουσα διδσκαλίας είναι ένα κινέζικο δωμάτιο!

Ας θεωρήσουμε την εξής αντιστοιχία:

Κινέζικο Δωμάτιο
«
Αίθουσα Μαθηματικών
Άτομο μέσα στο δωμάτιο
«
Μαθητής των Μαθηματικών
Κινέζικα σύμβολα
«
Μαθηματικά σύμβολα
Πρόσωπα έξω από το δωμάτιο
«
Δάσκαλοι των Μαθηματικών
Κανόνες – οδηγίες
«
Κανόνες των Μαθηματικών
Εξωτερικός παρατηρητής
«
Εξετάσεις

      Τότε έχουμε έναν ισομορφισμό, ο οποίος μας επιτρέπει να οδηγηθούμε στα ίδια συμπεράσματα για την Αίθουσα Μαθηματικών με αυτά του Searle για το Κινέζικο Δωμάτιο. Συγκεκριμένα, οι απαντήσεις που δίνει ο μαθητής στα Μαθηματικά φαίνονται εντελώς σωστές και όμοιες με τις απαντήσεις που θα έδινε κάποιος που έχει βαθιά γνώση και κατανόηση των Μαθηματικών (φυσικά μιλάμε γι’ αυτούς που πράγματι δίνουν τις σωστές απαντήσεις). Στην περίπτωση όμως των Μαθηματικών, οι απαντήσεις δίνονται διαμέσου του χειρισμού τυπικών συμβόλων που συνήθως είναι ανερμήνευτα για το μαθητή. Ως προς τα Μαθηματικά λοιπόν ο μαθητής συμπεριφέρεται όπως ένας υπο­λογιστής, δηλαδή εκτελεί διεργασίες υπολογισμού πάνω σε στοιχεία που έχουν προσδιοριστεί με τυπικό τρόπο, και επομένως είναι απλώς μια εξατο­μίκευση του προγράμματος ενός υπολογιστή. Συνεπώς, οι εξετάσεις δείχνουν ότι ο μαθητής γνωρίζει Μαθηματικά, πράγμα το οποίο δεν αληθεύει. Ο μαθη­τής απλώς συμπεριφέρεται ως γνώστης των Μαθηματικών χωρίς στην πραγ­ματικότητα να γνωρίζει Μαθηματικά. Εκείνο που κάνει είναι να χειρίζεται σύμβολα με τη βοήθεια κανόνων χωρίς να γνωρίζει τι σημαίνουν αυτά τα σύμβολα. Επομένως, η Αίθουσα Μαθηματικών, όπως και το Κινέζικο Δωμά­τιο, αντιστοιχεί στη λειτουργία ενός υπολογιστή και με αυτό δείχνουμε ότι η εκτέλεση κανόνων δεν μπορεί ποτέ να θεωρηθεί κατανόηση ή σκέψη, εφόσον αυτό που κάνει ο μαθητής είναι ο χειρισμός συμβόλων σύμφωνα με τη μορφή τους και τους αντίστοιχους κανόνες. Συνεπώς, αφού η νόηση είναι κάτι πα­ραπάνω από το συντακτικό χειρισμό συμβόλων σύμφωνα με κάποιους κανό­νες, και ο μαθητής περιορίζεται ουσιαστικά μόνο σε αυτό, τότε δεν μπορούμε να υποστηρίξουμε σοβαρά ότι ο μαθητής νοεί και κατανοεί τα Μαθηματικά. Το θεωρητικό αυτό συμπέρασμα μπορεί να τεκμηριωθεί και εμπειρικά από κάποιον που βρίσκεται σε μια Αίθουσα Μαθηματικών για σειρά ετών και βιώνει την πραγματικότητά της.
Το ερώτημα που τίθεται στη συνέχεια είναι: Τι πρέπει να γίνει ώστε να πε­ράσουμε από την απλή διαχείριση συμβόλων, σύμφωνα με ορισμένους κανό­νες, στη νόηση, σκέψη και κατανόηση των Μαθηματικών από το μαθητή;
3.   Τεχνικά Μαθηματικά και Μαθηματικά του Νοήματος

Υπάρχουν περιοχές των Μαθηματικών όπου είναι αναγκαία η εφαρμογή κά­ποιου αλγόριθμου, άλλες όπου απαιτείται η επινόηση νέων τεχνικών για την επίλυση συγκεκριμένων προβλημάτων, άλλες που έχουν σχέση με έννοιες και σημασίες, και άλλες όπου, μέσα σε αυστηρό πλαίσιο αρχών, αποδεικνύουμε την ύπαρξη οντοτήτων και λύσεων, χωρίς να ενδιαφερόμαστε για την ακριβή μέθοδο που θα τις προσεγγίσουμε. Η πρώτη περιοχή καλείται αλγοριθμικά Μαθηματικά, η δεύτερη ευρετικά, η τρίτη εννοιακά Μαθηματικά και η τέ­ταρτη υπαρξιακά. Τα αλγοριθμικά και ευρετικά Μαθηματικά σχετίζονται άμεσα με την εύρεση και εφαρμογή τεχνικών, ενώ τα εννοιολογικά και υπαρ­ξιακά Μαθηματικά με έννοιες, σημασίες, βαθιά γνώση, κατανόηση, λογική και νόημα (Davis & Hersh, 1984). Ονομάζουμε το πρώτο είδος Τεχνικά Μαθημα­τικά και το δεύτερο Μαθηματικά του Νοήματος.
Η επικράτηση της τεχνικής πλευράς των Μαθηματικών, η οποία οφείλεται κυρίως στην εξέλιξη της τεχνολογίας και των μηχανών που αυτή κατασκευά­ζει και στις ανάγκες εφαρμογών, οδηγεί στην υποτίμηση της άλλης πλευράς, με αποτέλεσμα να αποκρύπτεται ο εννοιολογικός και νοηματικός χαρακτή­ρας των Μαθηματικών. Έτσι, ο διχασμός ανάμεσα στο «σώμα» και στο «νου» των Μαθηματικών, καταλήγει για άλλη μια φορά υπέρ του πρώτου και σε βάρος του δεύτερου. Σύμφωνα με αυτά, υπάρχει φανερή αντίθεση μεταξύ τεχνικής και εννοιολογικής πλευράς των Μαθηματικών, μεταξύ φορμαλισμού και ενατένισης και μεταξύ συντακτικού – γλωσσικού και σημαντικού – σημα­σιολογικού – νοηματικού χαρακτήρα. Η επιμονή και η προσκόλληση στην πρώτη πλευρά είναι προσκόλληση μόνο στο σημαίνον και αδιαφορία για το σημαινόμενο, οπότε φυσιολογικά χάνεται το νόημα. Όμως, τα αντίθετα είναι συμπληρωματικά ως προς την ολότητα, επομένως η άποψη που υποστηρί­ζουμε δεν είναι παρά η ανάγκη να υπάρξει ισορροπία ανάμεσα στις δυο πλευρές, πράγμα που σημαίνει αναβάθμιση, στην πράξη, της νοηματικής πλευράς. Το εννοιολογικό πλαίσιο, μέσα στο οποίο εντάσσονται οι βασικές μαθηματικές έννοιες και οι σχέσεις τους, πρέπει να προηγείται από την εύ­ρεση και εφαρμογή των τεχνικών, γιατί με τον τρόπο αυτό οι τεχνικές απο­κτούν νόημα και φαίνονται φυσικές και δικαιολογημένες, ενώ στην αντίθετη περίπτωση μοιάζουν αυθαίρετες και κενές περιεχομένου.

Σύμφωνα με τα πιο πάνω, απαιτείται γενναία στροφή για αλλαγή νοοτροπίας στη διδασκαλία των Μαθηματικών. Η αδιαφορία και ο τρόμος του μαθητή μπροστά στα Μαθηματικά, έτσι όπως αυτά σήμερα διδάσκονται, δεν είναι στην ουσία παρά η αδιαφορία και ο τρόμος μπροστά στο κενό περιεχομένου και στο μηχανιστικό, μπροστά σε μια σύγχρονη ζωή δίχως νόημα. Η απάν­θρωπη ψυχρότητα, η έλλειψη συναισθήματος, το οποίο δένει τον άνθρωπο με το αντικείμενο, η απαίτηση μόνο για επιτεύξεις και αποτελέσματα, η ψυχολο­γική και υλική εκμετάλλευση όλων των δυσκολιών, κάνουν ένα από τα υψη­λότερα δημιουργήματα του ανθρώπου απρόσιτο, αδιάφορο και απωθητικό για τους νέους. Οι μαθητές, στην πλειοψηφία τους, αφενός δεν έχουν πηγαίο κίνητρο και ενδιαφέρον γι’ αυτά, αφετέρου μένουν με ψευδείς, στρεβλές και λανθασμένες εντυπώσεις για το τι πραγματικά είναι τα Μαθηματικά, χωρίς να μπορέσουν ποτέ να μπουν στην ουσία και στην ομορφιά τους. Και στη συ­νέχεια, ως δάσκαλοι και γονείς, αναπαράγουν τη λανθασμένη νοοτροπία, την άγνοια και τη σύγχυση. Όλοι όσοι συνιστούμε τη μαθηματική παιδεία σήμερα στον τόπο μας έχουμε αμαρτήσει, δηλαδή ξαστοχήσει, γιατί τα Μαθηματικά δεν είναι αυτοσκοπός στην εκπαίδευση, αλλά κυρίως μέσο διαπαιδαγώγησης, καλλιέργειας διανοητικής και συναισθηματικής. Πρέπει, συνεπώς, να μετα-νοήσουμε, δηλαδή να αλλάξουμε νου. Πράγματι, σύμφωνα και με τους Kof­man & Senge (1995), η μεγάλη έμφαση που δίνεται στην επιλογή και στον εξ αυτής ανταγωνισμό μεταξύ των μαθητών λόγω των εξετάσεων, κάνει το «να δείχνεις» καλός περισσότερο σημαντικό από το «να είσαι» πραγματικά κα­λός. Ο φόβος της αποτυχίας και του να μη δείχνεις καλός είναι από τους με­γαλύτερους εχθρούς της μάθησης. Για να μάθουμε χρειάζεται να αναγνωρί­σουμε ότι υπάρχει κάτι που δεν ξέρουμε και να ενεργήσουμε ακριβώς σε αυτά που δεν είμαστε καλοί. Η κύρια δυσλειτουργία του σύγχρονου σχολείου είναι στην πραγματικότητα αποτέλεσμα της όποιας επιτυχίας του στο παρελ­θόν. Επομένως, αυτή η δυσλειτουργία δεν είναι απλώς πρόβλημα προς λύση, είναι κρυσταλλωμένα μοντέλα σκέψης που χρειάζεται να διαλυθούν. Ο δια­λύτης είναι ένας νέος τρόπος σκέψης, ακριβώς η μετά-νοια, η αλλαγή νου και νοοτροπίας. Σε αυτό το νέο μοντέλο σκέψης πρέπει να μετακινηθούμε από το μερικό στο ολιστικό, από το μηχανιστικό στο νοηματικό – σημασιολογικό (Γαβαλάς, 1999).

Σκοπός, λοιπόν, δεν είναι, μετά από χρόνια μαθητείας, να μπορούν οι μαθη­τές να λύνουν εκατοντάδες ασκήσεις με μηχανικό τρόπο, δίχως να καταλα­βαίνουν τι ακριβώς κάνουν και ποιο είναι το νόημα, αλλά να έχουν δομήσει ένα νοηματικό πλαίσιο από τις βασικές μαθηματικές έννοιες, που είναι φο­ρείς της σημασίας, και να μπορούν να μορφοποιήσουν ένα τρόπο σκέψης χρήσιμο στη ζωή και στην επιστήμη. Σκοπός είναι να έχουν εξοπλίσει και πλουτίσει το εννοιολογικό τους οπλοστάσιο με τις κατάλληλες έννοιες, οι οποίες θα τους βοηθήσουν να αντιμετωπίσουν τα πραγματικά προβλήματα της ζωής. Όλοι μαζί έχουμε υποβαθμίσει και αποπνευματοποιήσει ακριβώς ένα από τα πιο πνευματικά ανθρώπινα δημιουργήματα. Τα Μαθηματικά μπορούν να αποτελέσουν ωραίο πνευματικό ταξίδι, γεμάτο νόημα και αισθη­τική, γεμάτο μορφωτικά αποτελέσματα, δεν υπάρχει λόγος να το κάνουμε εφιάλτη για τα παιδιά.


Μαθηματικά. Γιατί όχι;

Μαθηματικά. Ο απόλυτος ορισμός του εφιάλτη για τους μαθητές. Εξισώσεις συν γραφικές παραστάσεις συν παράγωγοι συν ολοκληρώματα ίσον… πονοκέφαλος. Αντιμέτωπος με όλες τις παραπάνω έννοιες που υπήρξαν ανέκαθεν σύστοιχες του πανικού, με τετρασέλιδα διαγωνίσματα, με ημίτρελους μαθηματικούς και απειλητικούς μαυροπίνακες, αναμφίβολα κάθε μαθητής– σκουπίζοντας τον κρύο ιδρώτα που κυλά στο μέτωπό του–  θα έχει σκεφτεί να ρωτήσει «σοβαρά τώρα, κύριε, τι να τα κάνω εγώ τα μαθηματικά σας;».
Σε αυτό το αθώο, πλην όμως εξαιρετικά σύνηθες, ερώτημα ανέλαβαν να απαντήσουν τρεις διακεκριμένοι μαθηματικοί στα πλαίσια της συζήτησης «Μαθηματικά. Γιατί;» που έλαβε χώρα στη Στέγη Γραμμάτων και Τεχνών στις 24 Απριλίου. Η τριμελής ομάδα των επιστημόνων, που επιφορτίστηκε να λύσει την απορία των κοινών θνητών, αποτελούνταν από τον μαθηματικό, συγγραφέα και εκπαιδευτικό Τεύκρο Μιχαηλίδη, τον μαθηματικό Didier Nordon και τον καθηγητή Gilles Dowek.
οια είναι λοιπόν η χρησιμότητα των μαθηματικών; Είναι ένα εργαλείο κατανόησης του κόσμου που προορίζεται για τους λίγους; Είναι το κλειδί για την τεχνολογική πρόοδο; Είναι η απαραίτητη γνώση του μέσου ανθρώπου; Ή μήπως είναι απλά μια τεράστια σπαζοκεφαλιά για δυνατούς λύτες, η οποία εξ αιτίας της διαστροφής μερικών ανθρώπων έγινε μέρος του εκπαιδευτικού συστήματος μόνο για να μειώνει το μέσο όρο της βαθμολογίας μας στο λύκειο;
«Ο Ρωμαίος αγαπούσε την Ιουλιέτα. Δεν αναρωτήθηκε ποτέ σε τι χρησιμεύει». Αυτός ήταν ο τρόπος του Didier Nordon ν’ αποδείξει, χωρίς να προστρέξει σε μαθηματικά αξιώματα, ότι αν αγαπάς κάτι, δεν αναρωτιέσαι σε τι χρησιμεύει. Η χρησιμότητα ορίζεται από την κοινωνία. Ένα εργαλείο δεν είναι χρήσιμο ή χρηστικό με απόλυτους όρους. «Είναι ωφέλιμο για συγκεκριμένους σκοπούς». Η εισήγηση του εν λόγω επιστήμονα ήταν συγκινητική για δύο λόγους. Πρώτον, γιατί προσπάθησε να αποδομήσει το πομπώδες επιχείρημα ότι «ο κόσμος είναι μαθηματικά», κρίνοντάς το αυθαίρετο και «εξαιρετικά περιοριστικό, εφόσον μια τόσο αφηρημένη δραστηριότητα όσο τα μαθηματικά δεν μπορεί να περιγράψει τον αισθητό κόσμο». Δεύτερον, γιατί πρότεινε ακόμη μια ανατριχιαστική παραβολή για τον ορισμό της χρησιμότητας στη σύγχρονη κοινωνία. «Αν τα μαθηματικά δεν χρησιμεύουν στην καθημερινότητα, δεν θα έπρεπε να υπάρχουν. Φαντάζεστε το επιχείρημα να μετατίθεται στα ανθρώπινα όντα;». Ο άνθρωπος έχει χρηστική αξία; Το συναίσθημα έχει χρησιμότητα; Η μετάθεση αυτή είναι αδύνατη, άρα και το επιχείρημα χάνει την αξία του.
Ο Gilles Dowek από την άλλη, έπαιξε δύο από τα πιο δυνατά χαρτιά στην τράπουλα της μαθηματικής επιστήμης: Γαλιλαίος και Αϊνστάιν. «Το σύμπαν είναι ένα βιβλίο γραμμένο στη μαθηματική γλώσσα», είπε ο πρώτος. «Το πιο ακατανόητο πράγμα στον κόσμο είναι ότι ο κόσμος είναι κατανοητός»,  είπε ο δεύτερος. Ο τρίτος κατά χρονολογική σειρά, ο ίδιος ο Dowek δηλαδή, εστίασε την προσοχή του όχι τόσο στο ζήτημα της χρησιμότητας, όσο στο ζήτημα της εφαρμογής των μαθηματικών, την οποία θεωρεί εγγενή τους ιδιότητα και όχι ξεχωριστό κλάδο. Για τον τελευταίο, η σημαντικότητα των μαθηματικών πηγάζει από τη στενή σχέση τους με την πραγματικότητα, χωρίς αυτό να σημαίνει ότι όλος ο κόσμος εγγράφεται στα μαθηματικά και ανάγεται σε εξισώσεις.
Ο Τεύκρος Μιχαηλίδης, ακολουθώντας τη συλλογιστική πορεία που αρμόζει σε εκπαιδευτικό, ξεκίνησε από μια ιστορική αναδρομή στους πρώτους μαθηματικούς της αρχαίας Ελλάδας, για να καταλήξει στην ανάλυση του σύγχρονου εκπαιδευτικού συστήματος και να απαντήσει στο δεύτερο σκέλος της αρχικής μας ερώτησης: Μαθηματικά. Γιατί στο σχολείο; Κατά την άποψη του ομιλητή, το κέντρο βάρους της σύγχρονης εκπαίδευσης «μετατοπίζεται από την πληροφορία στη δεξιότητα». Αυτή η μετατόπιση είναι προϊόν πολιτισμικών ανακατατάξεων. Πίσω από τα μαθηματικά κρύβεται και μια πολιτισμική λογική, την οποία ο Μιχαηλίδης θα ονόμαζε «κουλτούρα της απόδειξης» και ο Γαλιλαίος «κατ’ οίκον περιορισμό».
Έχοντας απαριθμήσει τις δεξιότητες που οι μαθητές αναπτύσσουν χάρη στην αγαπημένη του επιστήμη και κλείνοντας την εισήγησή του, ο κύριος Μιχαηλίδης αποφάνθηκε: «Αν δεν σας έπεισα, υπάρχει και η πιο τσαμπουκαλίδικη ερώτηση. “Μαθηματικά. Γιατί;” Ε, λοιπόν, γιατί όχι;».
Τατιάνα Φύσσα

Η πιο αφηρημένη θεωρία μαθηματικών βρίσκει εφαρμογή στην καθημερινότητα


Πέμπτη, 30 Μαΐου 2013 01:11
UPD:01:12

Shutterstock
Η πορεία της εφαρμογής της θεωρίας κατηγοριών ξεκίνησε πρώτα από το πεδίο της Λογικής και κατέληξε στην επιστήμη των υπολογιστών και τον προγραμματισμό.
Η θεωρία κατηγοριών, ίσως το πιο αφηρημένο πεδίο σε όλα τα μαθηματικά, χρησιμοποιείται τώρα για να περιγράψει πεδία σε όλο το φάσμα των επιστημών και όχι μόνο. Αν τα μαθηματικά είναι μια αφηρημένη έννοια του πραγματικού κόσμου, τότε η θεωρία κατηγοριών αποτελεί μια αφηρημένη έννοια των ίδιων των μαθηματικών.
Η θεωρία περιγράφει την αρχιτεκτονική δομή του κάθε μαθηματικού τομέα, ανεξάρτητα από το μαθηματικό αντικείμενο που εξετάζεται. Τώρα, αυτή η αγνή μαθηματική θεωρία χρησιμοποιείται για την περιγραφή πεδίων στην επιστήμη των υπολογιστών, την κβαντική φυσική, τη βιολογία, τη μουσική, τη γλωσσολογία και τη φιλοσοφία.
Η θεωρία κατηγοριών αναπτύχθηκε τη δεκαετία του 1940 από τους Σάμιουελ Άιλενμπεργκ του Πανεπιστημίου Κολούμπια και Σώντερς ΜακΛέην του Πανεπιστημίου του Σικάγο, με σκοπό τη γεφύρωση της αφηρημένης άλγεβρας με την τοπολογία (την ποιοτική μελέτη των σχημάτων, συμπεριλαμβανομένων και εκείνων με πολύ μεγάλες διαστάσεις). Το σκεπτικό πίσω από αυτή την προσπάθεια ήταν ότι αφού τα δύο πεδία εμφάνιζαν παρόμοιες ιδιότητες σε διαφορετικά περιβάλλοντα, τότε ίσως τα ένωνε κάποια βαθύτερη δομή.
Το ερευνητικό δίδυμο δημιούργησε ένα οργανωτικό πλαίσιο στο οποίο θα μπορούσε να τοποθετηθεί οποιοδήποτε πεδίο των μαθηματικών. Μία «κατηγορία» είναι μια συλλογή μαθηματικών αντικειμένων, μαζί με βέλη που τα συνδέουν. Για παράδειγμα, οι φυσικοί αριθμοί είναι τα αντικείμενα μίας κατηγορίας, και ένα συγκεκριμένο βέλος σε αυτή την κατηγορία θα μπορούσε να συνδέει κάθε αριθμό στο διπλάσιό του. Οι Άιλενμπεργκ και ΜακΛέιν στη συνέχεια ανέλυσαν χάρτες ολόκληρων κατηγοριών, και χάρτες αυτών των χαρτών. Αυτό επέτρεψε να διατυπωθούν με ακρίβεια οι συνδέσεις μεταξύ διαφορετικών πεδίων των μαθηματικών.
Η θεωρία κατηγοριών ξεκίνησε ως μία «γλώσσα των μαθηματικών», αλλά αρκετοί συνάδελφοι των Άιλενμπεργκ και ΜακΛέην έσπευσαν να τη χαρακτηρίσουν ως «αφηρημένη ανοησία», ισχυριζόμενοι ότι το μεγάλο επίπεδο αφαίρεσης απογύμωνε το περιεχόμενο από τη θεωρία, με αποτέλεσμα να μην αντιπροσωπεύει σχεδόν τίποτα. Ωστόσο οι  Άιλενμπεργκ και ΜακΛέιν  αποκάλυψαν ένα νέο κόσμο θεωρημάτων που μπορούσαν να εφαρμοστούν σε ολόκληρο το μαθηματικό φάσμα.
Η πορεία της εφαρμογής της θεωρίας κατηγοριών ξεκίνησε πρώτα από το πεδίο της Λογικής και κατέληξε στην επιστήμη των υπολογιστών και τον προγραμματισμό. Χρησιμοποιήθηκε επίσης για την περιγραφή πολύπλοκων βιολογικών συστημάτων, ενώ διαπιστώθηκε ότι πολλά αποτελέσματα πειραμάτων κβαντικής φυσικής ακολουθούν την ίδια θεωρία.
Τώρα, ο Ντέηβιντ Σπίβακ του MIT έχει ίσως το πιο τολμηρό όραμα για τη δυναμική της θεωρίας κατηγοριών. Σε πρόσφατη δημοσίευσή του, υποστηρίζει ότι όλη η επιστημονική σκέψη μπορεί να εκφραστεί με ένα δομημένο τρόπο, χρησιμοποιώντας τη θεωρία κατηγοριών. Τόσο οι ιδέες όσο και τα δεδομένα κάθε επιστημονικού πεδίου μπορούν να κωδικοποιηθούν στην παγκόσμια γλώσσα της θεωρίας κατηγοριών, επιτρέποντας στους επιστήμονες να παρουσιάσουν το πλήρες έργο τους σε μία βάση δεδομένων.
Στη δημοσίευσή του, ο Σπίβακ κάνει ήδη τα πρώτα βήματα και παρουσιάζει παραδείγματα μοντελοποίησης και αποτελέσματα επικοινωνίας μεταξύ διαφορετικών πεδίων. Ο Σπίβακ ονειρεύεται ακόμα και μία μορφή κοινωνικής δικτύωσης, σε ένα περιβάλλον εργασίας που θα συνδέει τους ανθρώπους των οποίων οι βάσεις δεδομένων επικαλύπτονται.
 «Εάν οι άνθρωποι υιοθετήσουν το επίπεδο αυστηρότητας της θεωρίας κατηγορίας», δηλώνει ο Σπίβακ, «αυτή θα τους δώσει μία ακριβή γλώσσα για την επιστήμη στο σύνολό της, και αυτό με τη σειρά του θα βοηθήσει τους επιστήμονες να αποκρυσταλλώσουν τον τρόπο σκέψης τους».

Ποίηση και Μαθηματικά

ΓPaMMaTa KaI aPIΘMOI, γραφή και αρίθμηση: τα πρώτα που μαθαίνει ένα παιδί στο σχολείο αλλά και στο σπίτι. Tόσο η γραφή με την ανάγνωση, όσο και η αρίθμηση με τις αριθμητικές πράξεις, εξυπηρετούν στην αρχή καθημερινές πρακτικές ανάγκες· σταδιακά όμως μπορούν να περάσουν σε ένα άλλο, ανώτερο επίπεδο όπου πλέον μετατρέπονται σε πνευματικές δημιουργίες. Tα πάντα εξαρτώνται από την οπτική γωνία, την παιδεία και τη διάθεση του καθενός.
Kορύφωση της γραφής είναι η ποίηση και της αρίθμησης τα μαθηματικά. Tι είναι όμως ποίηση και τι μαθηματικά;
Yπάρχουν πολλές απαντήσεις σχεδόν τόσες όσοι και οι δημιουργοί τους, ή ακόμη όσοι και οι αποδέκτες τους. Oποιος διαβάζει και αγαπάει την ποίηση καταλαβαίνει τι είναι ποίηση έστω και αν δεν μπορεί να το διατυπώσει και να το ορίσει. Oμοια, όποιος ασχολείται με τα μαθηματικά αντιλαμβάνεται ότι δεν είναι μόνο ένα χρήσιμο εργαλείο για την επίλυση πρακτικών προβλημάτων και την κατανόηση των άλλων επιστημών, αλλά κάτι που σχετίζεται άμεσα με την έννοια του Ωραίου, με την αισθητική απόλαυση. Xαρακτηριστική είναι η φράση του Γερμανού φυσικού Bέρνερ Kαρλ Xάιζενμπεργκ, ο οποίος τιμήθηκε το 1932 με το Bραβείο Nομπέλ Φυσικής για το έργο του στον κλάδο της κβαντομηχανικής: «Mόνο δύο γλώσσες έχει ο άνθρωπος για να αντιμετωπίσει την πραγματικότητα, τα μαθηματικά και την ποίηση».
Eχουν τα μαθηματικά και η ποίηση κάποια κοινά χαρακτηριστικά, ομοιότητες, κάποια συγγένεια ή τα χωρίζει ένα μεγάλο χάσμα όπως νομίζουν πολλοί;
O Oδυσσέας Eλύτης συνέδεσε την ποίηση με τα μαθηματικά, τόσο σε επίπεδο περιεχομένου όσο και φόρμας. Eίναι πασίγνωστη, εξάλλου, η επιμονή του στην πυθαγόρεια σημασία του αριθμού 7, που τόσο επίδραση είχε στην αρχιτεκτονική των ποιημάτων του.
Θεωρώντας ότι αυτή η συγγένεια υπάρχει, στο παρόν άρθρο θα γίνει προσπάθεια να φανερωθεί, να αποδειχθεί, όπως λέμε οι μαθηματικοί. Kαι όπως κάθε απόδειξη, για να είναι έγκυρη, πρέπει να στηρίζεται σε επιχειρήματα, σε αξιώματα και θεωρήματα και τέτοια είναι ποιήματα και κείμενα ποιητών, καθώς και σκέψεις και ιδέες μαθηματικών.
Ας αρχίσουμε με τον Oδυσσέα Eλύτη, ο οποίος έχει μετατρέψει σε ποίηση βασικές μαθηματικές έννοιες και ιδέες. Στο δοκίμιό του «H μέθοδος του άρα» σημειώνει: «Tον καιρό που δεν καταλάβαινα τα μαθηματικά, θυμάμαι, μου λέγανε ότι δεν είχα παρά να μετατοπισθώ κατά ένα βήμα, σαν συλλογιστικός μηχανισμός, για να διατρέξω την απέραντη και συνάμα μηδαμινή απόσταση που ένιωθα να με χωρίζει απ' αυτόν τον χώρο. Kαι αναρωτιέμαι: μήπως θα ήταν χρήσιμο να το αντιστρέψουμε αυτό σήμερα; Kαι από τη μεριά τη δική μας να εξηγήσουμε στα παιδιά ότι μια διαφορετική από μέρους τους διαχείριση των στοιχείων της πραγματικότητας θα μπορούσε πάλι να τα βγάζει σε αλλιώς αυστηρά και αλλιώς αποδεικτέα μαθηματικά;» (Eν λευκώ, εκδ. Iκαρος).
Λυρικά μαθηματικά
Tα νέα αυτά μαθηματικά θα μπορούσαμε να ονομάσουμε «λυρικά μαθηματικά». Eίναι ενσωματωμένα μέσα στο έργο του ποιητή είτε ως αυτοτελή ποιήματα είτε ως στίχοι άλλων ποιημάτων που έχουν τη δομή ενός μαθηματικού αξιώματος ή θεωρήματος.
O Kωνσταντίνος Kαβάφης όπως τον φαντάστηκε και τον απεικόνισε ο aλέξανδρος Iσαρης. O αλεξανδρινός ποιητής συνέδεσε με διάφορους τρόπους τα μαθηματικά με την ποίηση: στο ποίημα «Πρόσθεσις», ο Kαβάφης μιλάει για τη «μεγάλη πρόσθεσι» του χρόνου και δίνει μια εικόνα του αθροίσματος και των μονάδων με φιλοσοφική διάθεση: «Mες στ’ ολικό ποσό/δεν αριθμήθηκα. Kι’ αυτή η χαρά μ’ αρκεί». Eπίσης, στο ποίημα «H διορία του Nέρωνος» με έξοχο τρόπο χρησιμοποιεί την πολυσημία της έννοιας του αριθμού («Προσωπογραφίες K. Π. Kαβάφη», Σύνδεσμος aιγυπτιωτών Eλλήνων, 1995).
Θεωρώ απαραίτητο να παραθέσω ένα ακόμα απόσπασμα από το ίδιο δοκίμιο του Oδ. Eλύτη: «Mπαίνοντας ο εικοστός αιώνας, στο τελευταίο του τέταρτο, αισθάνομαι άστεγος και περιττός. Oλα είναι κατειλημμένα - ως και τ' άστρα. Oι άνθρωποι έχουν απαλλαγεί από κάθε παιδεία... Oι κολεγιόπαιδες λύνουν εκπληκτικές εξισώσεις με μιαν ευκολία που είναι ν' απορείς: συν, πλην, διά, επί - άρα. Tο μυστικό στη ζωή αυτή, φαίνεται, δεν είναι αν είσαι δούλος ή όχι. Eίναι να οδηγείσαι με συνέπεια σε κάποιο «άρα» και να 'χεις έτοιμη την απάντηση».
αρα; Mήπως χρειάζεται ένα διαφορετικό «άρα» που να είναι αποτέλεσμα κάποιων «αλλιώς αυστηρών και αλλιώς αποδεικτέων μαθηματικών»; Iσως είναι ανάγκη στα παιδιά μας να διδάσκουμε μαζί με τα μαθηματικά που οδήγησαν στο «άρα» της τεχνολογίας, και κάποια «λυρικά μαθηματικά» που να οδηγούν και στο «άρα» της ευαισθησίας «που διπλασιάζει την ικανότητά σου να αντιλαμβάνεσαι τη ζωή και που αποτελεί μια πρόσβαση στο πραγματικό νόημα της ελευθερίας. Eπειδή -να το πούμε κι αυτό- ελευθερία δεν είναι να κινείσαι ανεμπόδιστα στο πεδίο που σου έχει δοθεί. Nα διευρύνεις αυτό το πεδίο και δη κατά τη διάσταση της αναλογίας των αισθήσεων, αυτό είναι» (ό.π.).
Oι απόψεις αυτές του Oδυσσέα Eλύτη είναι διάχυτες μέσα στο ποιητικό του έργο. Xαρακτηριστικό παράδειγμα το παρακάτω απόσπασμα από τη συλλογή του Mικρός Nαυτίλος (εκδ. Iκαρος):
T' ανώτερα μαθηματικά μου τα έκανα στο Σχολείο της θάλασσας. Iδού και μερικές πράξεις για παράδειγμα:
(1) Eάν αποσυνδέσεις την Eλλάδα, στο τέλος θα δεις να σου απομένουν μια ελιά, ένα αμπέλι κι ένα καράβι. Που σημαίνει: με άλλα τόσα την ξαναφτιάχνεις.
(2) Tο γινόμενο των μυριστικών χόρτων επί την αθωότητα δίνει πάντοτε το σχήμα κάποιου Iησού Xριστού.
(3) H ευτυχία είναι η ορθή σχέση ανάμεσα στις πράξεις (σχήματα) και στα αισθήματα (χρώματα). H ζωή μας κόβεται, και οφείλει να κόβεται, στα μέτρα που έκοψε τα χρωματιστά χαρτιά του ο Matisse.
(4) Oπου υπάρχουν συκιές υπάρχει Eλλάδα. Oπου προεξέχει το βουνό απ' τη λέξη του υπάρχει ποιητής. H ηδονή δεν είναι αφαιρετέα.
(5) Eνα δειλινό στο aιγαίο περιλαμβάνει τη χαρά και τη λύπησε τόσο ίσες δόσεις που δεν μένει στο τέλος παρά η αλήθεια.
(6) Kάθε πρόοδος στο ηθικό επίπεδο δεν μπορεί παρά να είναι αντιστρόφως ανάλογη προς την ικανότητα που έχουν η δύναμη κι ο αριθμός να καθορίζουν τα πεπρωμένα μας.
(7) Eνας «aναχωρητής» για τους μισούς είναι, αναγκαστικά, για τους άλλους μισούς, ένας «Eρχόμενος».
Tο ποίημα αποτελεί έξοχο δείγμα «λυρικών μαθηματικών». Δεν είναι μόνον ο τίτλος του που παραπέμπει στη συγκεκριμένη επιστήμη, αλλά όλη η δομή του έχει τη μορφή μαθηματικού κειμένου.
O ποιητής Γιώργος Bαφόπουλος. Tο μοντέλο της γεωμετρίας και τη γλώσσα των μαθηματικών χρησιμοποίησε ο Θεσσαλονικιός ποιητής σε πολλά ποιήματά του, για να εκφράσει τις ιδέες και τα αισθήματά του, αποτέλεσμα της μεγάλης του αγάπης στα μαθηματικά και της φοίτησής του στο μαθηματικό τμήμα του Πανεπιστημίου aθηνών. H γνωριμία του αυτή με τα μαθηματικά αποτυπώθηκε στο έργο του.
Ως γνωστόν, στα κλασικά μαθηματικά δομικά στοιχεία είναι οι αριθμοί, τα σχήματα, οι ιδέες. Xώρος διδασκαλίας τους είναι το σχολείο και ο μαυροπίνακας. Στα «λυρικά μαθηματικά» του Eλύτη δομικά στοιχεία είναι η ελιά, το αμπέλι, το καράβι και τα συναισθήματα. Xώρος διδασκαλίας η θάλασσα και ο φυσικός περίγυρος. H μέθοδος μελέτης και η ορολογία είναι μαθηματική. Eχουμε εδώ λοιπόν ένα πρόβλημα ανάλυσης και σύνθεσης, όπως -ίσως- θυμάστε από τα γυμνασιακά σας χρόνια· ανάλυση: H Eλλάδα αναλύεται σε μια ελιά, ένα αμπέλι και ένα καράβι· σύνθεση: Mια ελιά, ένα αμπέλι και ένα καράβι είναι ικανά να φτιάξουν την Eλλάδα.
O ποιητής και μάχιμος μαθηματικός Eκτωρ Kακναβάτος εύστοχα συνδέει τα μαθηματικά με την ποίηση όταν γράφει: «Mιλάμε για ένα δίχαλο που πάει να πιάσει σε μια μέγκενη τον κόσμο. H ποίηση ανοίγεται μέσα στην ποιότητα του λόγου, τα μαθηματικά βρίσκονται μέσα στην ποσότητα - όχι μόνο του λόγου, αλλά και του καθενός πράγματος. Eάν ενοποιηθούν τα δύο αυτά πεδία, μπορεί ο κόσμος να ευτυχήσει».
Ως γνήσιος υπερρεαλιστής ποιητής, ο E. Kακναβάτος χρησιμοποιεί μαθηματικούς όρους και έννοιες σε πολλές ποιήματά του με έναν τρόπο που ξαφνιάζει:
«Πέρα στη δημοσιά
φάνηκε πρώτα στήλη κουρνιαχτός
ως τα μεσούρανα.
Δεν άργησε πολύ.
O δρόμος έφερνε το ποδοβολητό
τον χουγιατό της
κλείνατε παράθυρα κατέβαιναν ρολά.
Σιδηροντυμένη έμπαινε πια στην πόλη
η εξίσωση»
(aλγεβρα)
Eξώφυλλο της ποιητικής συλλογής «Xαοτικά I» (εκδ. aγρα) του μάχιμου μαθηματικού, και με θητεία στην υπερρεαλιστική ποίηση, Eκτορα Kακναβάτου. «Mη φυλάγεσαι από την αταξία/ είναι ευφυής/ H τάξη είναι αγκύλωση Φυλάξου/ H τάξη στο ανατομείο/ Ψάξτε μέσα της για νεοπλάσματα/ για άτυπα κύτταρα αριθμού/ για συμφύσεις χωροχρόνου/ Tο Xάος σηματοδοτεί δε λέει» (από τη συλλογή).
Tο ποίημα περιγράφει με ενάργεια τη στιγμή που το μυαλό του μαθηματικού συλλαμβάνει, σαν αστραπή, την ιδέα της λύσης ενός προβλήματος με την εισβολή μιας εξίσωσης στο ποίημα:
«aφεγγη πάλι απόψε η Σελάνα
κάθισε στο βυθό επωάζοντας τα έμμηνά της.
Πέραν του απείρου, ο ορίζοντας
τρικλίζει φορτωμένος τρεις άγριες γεωμετρίες (Xαοτικά Ι εκδ. Αγρα).
Mε τέσσερις στίχους ο E. Kακναβάτος, ατενίζοντας το στερέωμα, το προσαρμόζει στις τρεις γεωμετρίες του Eυκλείδη, του Λομπατσέφσκι και του Pίμαν, τις οποίες αποκαλεί «άγριες» με την έννοια ότι εισβάλλουν δυναμικά για να περιγράψουν τον κόσμο. aξίζει επίσης να σημειωθεί ότι η συλλογή του Xαοτικά I θα μπορούσε να θεωρηθεί ως μια ποιητική διατύπωση της θεωρίας του χάους, νέου κλάδου των σύγχρονων μαθηματικών.
Eκτός από τον Oδυσσέα Eλύτη και τον Eκτορα Kακναβάτο, υπάρχουν αρκετοί Eλληνες ποιητές που συνδέουν τα μαθηματικά με την ποίηση. Eνδεικτικά αναφέρω τον K. Π. Kαβάφη και τον Γιάννη Pίτσο, καθώς και τους: Γ. Bαφόπουλο, Δ. Γαβαλά, Γ. Kοντό, K. Kύρου, Π. Mάρκογλου, Π. Mπουκάλα, M. Ξεξάκη, Γ. Yφαντή κ.ά. Δυστυχώς, η έλλειψη χώρου δεν επιτρέπει μια πιο εκτενή αναφορά στο έργο τους.
Θα σταθώ όμως για λίγο στην περίπτωση του Γιώργου Bαφόπουλου και στο ποίημά του «O μεγάλος Kώνος». Kυρίαρχο στοιχείο στο συγκεκριμένο ποίημα είναι το γεωμετρικό μοντέλο: ο κώνος, η σπειροειδής γραμμή, το τετράγωνο, ο κύβος και η τεθλασμένη γραμμή περιγράφουν την πορεία της ζωής ενός ανθρώπου από τη γέννηση ώς τον θάνατο. Oι πρώτες σπείρες στη βάση του κώνου, τα παιδικά χρόνια, είναι μεγάλες, είναι η εποχή που αργά αργά διαμορφώνεται ο άνθρωπος, ο ορίζοντάς του είναι μικρός. Oσο ανεβαίνουμε πάνω στην επιφάνεια του κώνου οι σπείρες μικραίνουν, αλλά ο ορίζοντας του βλέμματός μας μεγαλώνει. Δεν νομίζω ότι μπορεί να δοθεί εναργέστερη εικόνα της πορείας της ζωής από την ανέλιξη στην επιφάνεια ενός κώνου. Πρόκειται αναμφισβήτητα για μια γοητευτική συνάντηση της ποίησης με τα μαθηματικά. Παραθέτω ένα ενδεικτικό απόσπασμα:
«O άνθρωπος του οιδιπόδειου αινίγματος
ξεκινά την αυγή, πάνω στ' αχνάρια της γραμμής,
με τα τέσσερα πόδια. Στα μισά του δρόμου
στυλώνεται στα δυο του, για να ιδεί κατάματα τον ήλιο του λαμπρού μεσημεριού.
Kαι το βράδυ φθάνει στην κορφή του κώνου, σέρνοντας τώρα το τρίτο του ποδάρι,
έτοιμος να αντικρίσει τη μεγάλη δύση.
αλλ' έμεινε ατελής του αινίγματος η λύση».
O Nεύτωνας, όπως τον ζωγράφισε το 1795 ο ρομαντικός ποιητής και ζωγράφος Oυίλιαμ Mπλέικ. O μυστικιστής Mπλέικ είχε απορρίψει μετά βδελυγμίας το νευτώνειο ωρολογιακό σύμπαν. Στο πρώτο κεφάλαιο του ποιήματος «Iερουσαλήμ» γράφει: «Γιατί ο Bάκων κι ο Nεύτωνας, ντυμένοι το άχαρο ατσάλι τους, απειλούν την aλβιόνα με τη φρίκη τους...» (Pίτσαρντ Mάνκιεβιτς, «H ιστορία των μαθηματικών», εκδ. aλεξάνδρεια).
Πιστεύω ότι δεν χρειάζονται ιδιαίτερες γνώσεις μαθηματικών για να διαπιστώσουμε πώς εναρμονίζονται τα μαθηματικά με την ποίηση. aκόμη και ο άνθρωπος που γνωρίζει στοιχειώδη μαθηματικά απολαμβάνει τη λύση και της πλέον στερεότυπης άσκησης. Oταν μάλιστα η απόδειξη είναι «κομψή» ή όταν ένα πρόβλημα που έλυσε ήταν «ωραίο», τότε αισθάνεται την ίδια αισθητική απόλαυση όση και με το διάβασμα ενός ποιήματος, με την τέρψη που μπορεί να προσφέρει ένα έργο τέχνης γενικότερα.
Σύμφωνα με τον συνθέτη και αρχιτέκτονα Iάννη Ξενάκη: «Tα μαθηματικά κινούνται στη χώρα της φαντασίας. Mαθηματική σκέψη είναι η ικανότητα της συνδυαστικής. Πολλοί μαθηματικοί εργάζονται σαν τους καλλιτέχνες· όπως οι καλλιτέχνες έτσι και οι μαθηματικοί ξεκινούν με μια σύλληψη που προσπαθούν εκ των υστέρων να την αποδείξουν. Συλλαμβάνουν κάτι, και μετά το επαληθεύουν. Tόσο στα μαθηματικά όσο και στην τέχνη ο δρόμος είναι το απόλυτο σκοτάδι. Tα μαθηματικά υπάρχουν για να επιβεβαιώνουν την αναγκαιότητα ενός φανταστικού κόσμου. Xωρίς τα μαθηματικά, τα όνειρα και η φαντασία θα ήταν στο κενό».
Eυκλείδεια «ποίηση»
Θα μπορούσαμε να πούμε ότι το ανάλογο του Oμήρου στα μαθηματικά είναι ο Eυκλείδης, ο οποίος τριακόσια χρόνια μετά τον Oμηρο συγκέντρωσε όλες τις γνώσεις των μαθηματικών από τους Bαβυλώνιους μέχρι τον Θαλή και τον Πυθαγόρα και συνέθεσε τα Στοιχεία. Oι αριθμοί, τα σχήματα, οι ιδιότητες αλλά και οι νέες ιδέες είναι τα υλικά του οικοδομήματος του Eυκλείδη. Tο συνταίριασμά τους είναι αυτό που δίνει αισθητική απόλαυση. Mάλιστα, όπως είπε και ο aϊνστάιν, «η παρουσίαση της ύλης των Στοιχείων από τον Eυκλείδη είναι η ποίηση των λογικών ιδεών».
Θα είχε ενδιαφέρον αν παρουσιάζαμε κάποιες προτάσεις και αποδείξεις από τα Στοιχεία του Eυκλείδη, που πραγματικά ξαφνιάζουν με τη σύλληψή τους, με τη λιτότητα της διατύπωσής του, χαρακτηριστικά που συναντά κανείς και σ' ένα ποίημα.
Eνα παράδειγμα από τη μαθηματική ανάλυση: H εξίσωση eπi+1=0 είναι ένας τύπος που κρύβει ένα ολόκληρο σύμπαν. Eδώ η ομορφιά η λιτότητα της μορφής και η κομψότητα της απόδειξης της αλήθειας του έχει την ομορφιά της ποιητικής δημιουργίας, διότι μια κομψά διατυπωμένη απόδειξη είναι, απ' όλες τις απόψεις, ένα πραγματικό ποίημα.
Δεν θα κάνουμε την απόδειξη του ανωτέρω τύπου, θα περιοριστούμε απλώς στη σύντομη, αναγκαστικά, αναφορά στη σημασία καθενός από τους πέντε αριθμούς που τον συνθέτουν: Tο 1, το 0, το π, το i και το e.
Kαθυστέρησαν πολύ οι άνθρωποι για να αποδεχτούν ως αριθμό το 1, αφού ήταν το Oν, ο δημιουργός του Σύμπαντος και όλων των αριθμών. Tίποτα δεν προηγείται αυτού του αριθμού και ό,τι ακολουθεί δεν είναι παρά η δική του αξία επ' άπειρον προστιθεμένη.
Tα πράγματα ήταν πιο δύσκολα με το μηδέν, ενός αριθμού που είναι το σύμβολο της μη ποσότητας, του κενού, η αναπαράσταση της απουσίας. Oι αρχαίοι Eλληνες απέρριπταν το μηδέν· στο σύστημα αρίθμησής τους δεν υπήρχε καν. aυτή ήταν η αιτία που η Δύση δεν μπόρεσε να αποδεχθεί το μηδέν για 2.000 σχεδόν χρόνια αφού οι Iνδοί και οι aραβες το χρησιμοποίησαν στην αρχή της πρώτης χιλιετίας. Oπως γράφει ο ποιητής Παντελής Mπουκάλας:
«Tόσοι θεοί μας ετοίμασαν το μηδέν
Kαιρός του ανθρώπου».
Xαρακτηριστικό παράδειγμα μιας επιφάνειας Pίμαν. H διάλεξη που έδωσε ο Mπέρνχαρντ Pίμαν (1826-1866) το 1854 με τίτλο «Περί των υποθέσεων πάνω στις οποίες θεμελιώνεται η γεωμετρία» έδωσε νέες και ευρύτερες προοπτικές για το αντικείμενο της γεωμετρίας, αποκαλούμενος γι’ αυτό «νέος Eυκλείδης». H συγκεκριμένη διάλεξη θεωρείται η πιο σημαντική που έχει γίνει ποτέ στην ιστορία των μαθηματικών. O Pίμαν ασχολήθηκε αργότερα με τη θεωρητική φυσική, όπου η γενική μελέτη των καμπυλόγραμμων μετρικών χώρων άνοιξε τον δρόμο για τη Γενική Σχετικότητα. Mετά τον Pίμαν, ο χώρος μέσα στον οποίο ζούμε δεν θα μπορούσε να είναι πια ευκλείδειος και ο άνθρωπος είχε πλέον τα μαθηματικά εργαλεία για να εξερευνήσει την πραγματική γεωμετρία του σύμπαντος (Richard Mankiewicz, «H ιστορία των μαθηματικών», εκδ. aλεξάνδρεια).
O αριθμός π συνδέθηκε με τα προβλήματα του τετραγωνισμού του κύκλου, του διαπλασιασμού του κύβου και της τριχοτόμησης της γωνίας, γύρω από τα οποία δημιουργήθηκε μια ολόκληρη μυθολογία. Kανένα άλλο μαθηματικό σύμβολο δεν γέννησε τόσο μυστήριο, ρομαντισμό και ενδιαφέρον όσο ο αριθμός π. aκόμη και σήμερα ασκεί μια περίεργη γοητεία ώστε με κάθε μοντέλο μεγάλου υπολογιστή να βρίσκουν και νέα δεκαδικά του ψηφία. Eχουν πλέον υπολογιστεί 51 δισεκατομμύρια δεκαδικά ψηφία του π. Eχουν επίσης γραφεί πολλά βιβλία με θέμα τον αριθμό π, πρόσφατα γυρίστηκε και μια κινηματογραφική ταινία, μουσικά έργα συντέθηκαν με βάση κάποια ψηφία του π, καθώς και ποιήματα ευκολοαπομνημόνευτα που το πλήθος των γραμμάτων κάθε λέξης είναι και ένα δεκαδικό ψηφίο του π.
O αριθμός i, η φανταστική μονάδα όπως ονομάστηκε, διεύρυνε την έννοια του αριθμού και δημιούργησε ένα καταπληκτικό οικοδόμημα, τη μιγαδική ανάλυση, που απέρριψε το όνομα «φανταστική μονάδα» αφού βοήθησε στην κατανόηση και ερμηνεία του φυσικού κόσμου. Eτσι, η προσωνυμία «φανταστικό!» έχει μόνο θαυμαστικό χαρακτήρα. O αριθμός e βάση των φυσικών λογαριθμών ορίζεται από το όριο της ακολουθίας (1+1/ν)η δηλαδή e=oριον(1+1/ν)η =2,718281830... με πολλές χρήσεις και εφαρμογές.
Kάθε ένας από τους πέντε αυτούς αριθμούς κι ένας μύθος, μια ολόκληρη θαυμαστή ιστορία. Kαι το εκπληκτικό: ένας απλός τύπος eπi+1=0 συνδεει αυτήν την πεντάδα. Kαι η απόδειξη του τύπου κομψοτέχνημα. Eνα καταπληκτικό ποίημα που στον γνώστη των μαθηματικών ασκεί μια απεριόριστη γοητεία, όπως π.χ. ένα απόσπασμα του Σολωμού.
Σε κάθε περίπτωση, η μαθητεία είναι απαραίτητη για να μπεις στον έναν ή στον άλλο κόσμο. Oσο περισσότερο μαθητεύεις, τόσο καταλαβαίνεις ότι το χάσμα μεταξύ μαθηματικών και ποίησης μικραίνει. Tόσο ο μαθηματικός όσο και ο ποιητής, για να δημιουργήσουν, πρέπει να δουλέψουν σκληρά και πρέπει να διαθέτουν, εκτός από γνώσεις, διαίσθηση και φαντασία, ενόραση και δημιουργικότητα, μυαλό και ψυχή.
Oταν η ευαισθησία και η λογική συμπορεύονται, τότε μαθηματικά και ποίηση βοηθούν να κατανοήσουμε τον κόσμο και, πάνω απ' όλα, η εικόνα του κόσμου ομορφαίνει.

Πηγή: Καθημερινή - ΣTEΦaNOΣ MΠaΛHΣ

Η απόδειξη της εικασίας του Poincare

Henri Poincare
Ο Henri Poincare (1854 - 1912) ήταν Γάλλος μαθηματικός που ασχολήθηκε με τη σταθερότητα των νόμων που διέπουν την κίνηση των πλανητών ενός ηλιακού συστήματος. Προσπάθησε να εξηγήσει, με μαθηματικό τρόπο, την ενδεχόμενη αλλαγή στην κίνηση ενός πλανήτη που θα μπορούσε είτε να ξεφύγει έξω από τα όρια του γαλαξία στον οποίο βρίσκεται, είτε να συγκρουστεί με κάποιον άλλον πλανήτη. Στην προσπάθεια του αυτή εισήγαγε, ένα νέο τότε πεδίο, την τοπολογία με σκοπό τη μελέτη των επιφανειών. Το 1904 διατύπωσε την περίφημη εικασία του, η οποία αποδείχθηκε ένα από τα δυσκολότερα προβλήματα της μαθηματικής επιστήμης. Με την εικασία του Poincare ασχολήθηκαν, χωρίς επιτυχία, πολλοί διάσημοι μαθηματικοί. Επαληθεύτηκε τελικά, 100 χρόνια αργότερα, από το Ρώσο μαθηματικό Grigoriy Perelman.




Η εικασία του Poincare

Για λόγους καθαρά εποπτικούς θα περιγράψουμε αρχικά το πρόβλημα, που θέτει η εικασία του Poincare, στις 2-πολλαπλότητες δηλαδή στις επιφάνειες του τρισδιάστατου ευκλείδειου χώρου. Μια 2-πολλαπλότητα ονομάζεται απλώς συνεκτική αν κάθε κλειστή καμπύλη που βρίσκεται πάνω σε αυτή μπορεί να "συρρικνωθεί", παραμένοντας πάνω στη επιφάνεια, σε ένα μόνο σημείο. Για παράδειγμα, η επιφάνεια της γνωστής μας σφαίρας (μπάλας) είναι απλώς συνεκτική 2-πολλαπλότητα.


Δε συμβαίνει όμως το ίδιο και με τον τόρο δηλαδή την επιφάνεια του "ντόνατ". Πράγματι υπάρχουν κλειστές καμπύλες στον τόρο οι οποίες δεν μπορούν να συρρικνωθούν σε σημείο κρατώντας την επαφή τους με την επιφάνεια.



Όλες οι απλώς συνεκτικές 2-πολλαπλότητες, με όρους της τοπολογίας, είναι όμοιες μεταξύ τους. Η επιφάνεια ενός αβγού για παράδειγμα είναι τοπολογικά όμοια με την επιφάνεια της σφαίρας.
Ο Poincare έθεσε το 1904 το ίδιο ερώτημα για τις απλώς συνεκτικές 3-πολλαπλότητες. Με άλλα λόγια σύμφωνα με την εικασία του Poincare:

"Κάθε απλώς συνεκτική 3-πολλαπλότητα (δηλαδή απλώς συνεκτική επιφάνεια στον τετραδιάστατο ευκλείδειο χώρο) είναι τοπολογικά όμοια με την 3-σφαίρα, δηλαδή την επιφάνεια της σφαίρας στον τετρασιάστατο ευκλείδειο χώρο."

Τα επόμενα χρόνια αρκετοί διάσημοι μαθηματικοί προσπάθησαν, χωρίς επιτυχία, να απαντήσουν καταφατικά ή αρνητικά στην εικασία του Poincare. Οι προσπάθειες αυτές βέβαια είχαν σαν αποτέλεσμα την κατανόηση σε βάθος της θεωρίας των πολλαπλοτήτων, αλλά η εικασία του Poincare αναδείχθηκε ως ένα από τα δυσκολότερα μαθηματικά προβλήματα. Το 1960 ο Stephen Smale από το University of California στο Berkeley (σήμερα στο City University of Hong Kong) κατόρθωσε να απαντήσει θετικά στο αντίστοιχο πρόβλημα της εικασίας του Poincare για n-πολλαπλότητες με  n > 4. Στην περίπτωση αυτή η συνθήκη "απλώς συνεκτική" αντικαταστάθηκε με μια ισχυρότερη. Είκοσι δύο χρόνια αργότερα ο Michael Freedman από το Uninersity Of California, San Diego (σήμερα στο Microsoft Research Station Q) απάντησε επίσης θετικά στο αντίστοιχο πρόβλημα της εικασίας του Poincare για απλώς συνεκτικές 4-πολλαπλότητες. Ο  Smale και ο Freedman, για τα αποτελέσματά τους αυτά, τιμήθηκαν με το βραβείο Fields Medal (βραβείο για τη μαθηματική επιστήμη, αντίστοιχο του Nobel) το 1966 και 1986, αντίστοιχα. Παρόλα αυτά η εικασία του Poincare παρέμενε αναπάντητη.

Το 1982 ο William Thurston από το University of Colorado, Boulder (σήμερα στο Cornell University) διατύπωσε μια νέα εικασία σύμφωνα με την οποία κάθε 3-πολλαπλότητα μπορεί να διασπασθεί σε κομμάτια που έχουν μια απλή γεωμετρική δομή. Οι γεωμετρικές αυτές δομές του Thurston είναι οκτώ. Η εικασία του Poincare ήταν τώρα μια ειδική περίπτωση της εικασίας του Thurston. Για αυτό ακριβώς το λόγο οι ερευνητές θεώρησαν ότι η επαλήθευση ή όχι αυτής της νέας εικασίας θα μπορούσε να προσργγισθεί πολύ αργότερα, ίσως τον 22ο αιώνα! Ο Thurston επαλήθευσε την εικασία του μόνο για κάποιες ειδικές περιπτώσεις 3-πολλαπλοτήτων.

Το 1982 ο Richard Hamilton από το Cornell Umiversity (σήμερα στο Columbia University) εισήγαγε τη διαφορική εξίσωση, που ονόμασε Ricci flow. Αυτή η εξίσωση είναι, στα πλαίσια της γεωμετρίας, αντίστοιχη της εξίσωσης θερμότητας του Fourier. Με την εξίσωση αυτή ο Hamilton θεώρησε ότι θα μπορούσε να μετασχηματίσει σταδιακά κάθε απλώς συνεκτική 3-πολλαπλότητα σε σφαίρα, και έτσι ήλπιζε ότι θα μπορούσε να απαντήσει στην εικασία του Poincare. Αυτό όμως στάθηκε αδύνατον, διότι ο μετασχηματισμός της 3-πολλαπλότητας δεν ήταν πάντα μια ομαλή διαδικασία. Ανάλογα με τη μορφή της 3-πολλαπλότητας μπορεί να υπάρχουν περιοχές που ονομάζονται ανωμαλίες, όπου ο μετασχηματισμός δεν μπορεί να προχωρήσει με τον αναμενόμενο τρόπο. Ήταν πολύ δ΄θσκολο να κατανοηθεί ακόμη και η ίδια η φύση αυτών των ανωμαλιών και συνεπώς, να βρεθούν τρόποι να ξεπεραστούν τα εμπόδια που έθεταν στη διαδικασία του μετασχηματισμού.

Εξίσωση Ricci flow


Το 2000 το Clay Mathematics Institute (CMI) των Η.Π.Α. θέσπισε τη λίστα των Millennium Prize Problems, μια λίστα με επτά από τα δυσκολότερα άλυτα, ως τότε προβλήματα, της μαθηματικής επιστήμης. Για τη λύση του κάθε προβλήματος το Millennium Prize θα συνοδευόταν από χρηματικό έπαθλο $1.000.000. Η εικασία του Poincare βρισκόταν στη λίστα αυτή.

Το 2002 και 2003 ο Ρώσος μαθηματικός Grigoriy Perelman από το Stelkov Mathematical Institute της Αγίας Πετρούπολης, που γεννήθηκε στις 13 Ιουνίου 1966, με τρεις εργασίες που δημοσίευσε στον δικτυακό τόπο http://ArXiv.org ανακοίνωσε την επαλήθευση όχι μόνο της εικασίας του Poincare αλλά και της εικασίας του Thurston! Ο Perelman κατόρθωσε να κατανοήσει τη φύση των ανωμαλιών που προκύπτουν στη εξίσωση Ricci flow και να κατασκευάσει μοντέλα που εξηγούσαν το σχηματισμό τους. Μετά τη δημοσίευση των εργασιών του, ο Perelman έδωσε μια σειρά από διαλέξεις στα πανεπιστήμια Priceton, MIT, SUNY Stony Brook και Pennsylvania των Η.Π.Α. Ως το 2006 διάφορες ερευνητικές ομάδες σε όλο τον κόσμο προσπαθούσαν να κατανοήσουν τη δουλειά του Perelman και να ελέγξουν την ορθότητα τωναποτελεσμάτων του. Κανένα σημαντικό λάθος που θα αναιρούσε τη σπουδαιότητα της δουλειάς του δε βρέθηκε!
Ο Perelman τιμήθηκε με το βραβείο Fields Medal το οποίο αρνήθηκε να παραλάβει.

Grigoriy Perelman
Στις 18 Μαρτίου 2010, το Clay Mathematics Institute ανακοίνωσε τη απόφαση για την απονομή του πρώτου Millennium  Prize στον Perelman, για την επαλήθευση της εικασίας του Poincare. Τον Ιούλιο του 2010, ο Perelman αρνήθηκε και το βραβείο αυτό διαφωνώντας με την απόφαση του CMI! Θεώρησε ότι η δουλειά του δεν ήταν σημαντικότερη από αυτήν του Hamilton, ο οποίος εισήγαγε και μελέτησε πρώτος την εξίσωση Ricci flow. Ο Perelman αρνήθηκε επίσης διάφορες θέσεις, που του προτάθηκαν από κάποια απο τα καλύτερα πανεπιστήμια του κόσμου! Σήμερα έχει παραιτηθεί και από το Stelkov Mathematical Institute εγκαταλείποντας την επαγγελματική ενασχόληση με τα μαθηματικά.

 Η απόδειξη στα αρχαιοελληνικά μαθηματικά.

ΤΑ ΚΑΘΑΡΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ—τα μαθηματικά για τα μαθηματικά, χωρίς, δηλαδή, συγκεκριμένο πρακτικό σκοπό—γεννήθηκαν όταν ο άνθρωπος άρχισε να σκέπτεται τους αριθμούς σαν αριθμούς, πέρα από το να μετράη τα πρόβατα του, και όταν άρχισε να σκέπτεται τα σχήματα σαν σχήματα, πέρα από τη μορφή ενός βάζου. Αλλά τα πρώτα αυτά καθαρά μαθηματικά δεν ήσαν η λογική και συστηματική επιστήμη πού γνωρίζομε σήμερα. Οι ξεχασμένοι σοφοί της Μεσοποταμίας, πού ανεκάλυψαν το 60δικό σύστημα, σπάνια σταματούσαν για να γεφυρώσουν τις ανακαλύψεις τους με τις εσωτερικές τους σχέσεις η για να εμβαθύνουν στις σκέψεις πού τους οδήγησαν σ’ αυτές. Όπως οι επήλυδες σε μια χρυσοφόρο περιοχή, πήγαιναν από δω κι από κει, μάζευαν τα ψήγματα πού βρισκόντουσαν στην επιφάνεια, αδιαφορώντας να σκάψουν στο έδαφος για να βρουν τη φλέβα. Οι πινακίδες με τη σφηνοειδή γραφή και οι πάπυροι, όπου οι Μεσοποτάμιοι και άλλοι αρχαίοι λαοί είχαν καταγράψει τα αποτελέσματα των μαθηματικών τους γνώσεων, ήσαν τόσο άδειοι από συλλογισμούς όσο οι οδηγοί μαγειρικής και παραμελούσαν τις αποδείξεις; όπως τα συνταγολόγια των φαρμακοποιών. Πρόσθεσε αυτό, η αφαίρεσε εκείνο—έλεγαν—και θα βρής έτσι την αλήθεια. Ένα περίφημο αιγυπτιακό κείμενο, ο πάπυρος του Ρήντ, αυτοτιτλοφορείται «οδηγίες για την κατανόηση όλων των σκοτεινών πραγμάτων», αλλά περιλαμβάνει κανόνες αυθαίρετους, διατυπωμένους χωρίς εξηγήσεις.
Όταν οι Αρχαίοι Έλληνες ξεχύθηκαν από τη Βαλκανική Χερσόνησο προς τον Νότο για να εκμεταλλευθούν, να μελετήσουν και τελικά να καθυποτάξουν τους παλαιούς πολιτισμούς της Μέσης Ανατολής, έγιναν οι κληρονόμοι ολόκληρου του μαθηματικού θησαυρού πού είχαν συσσωρεύσει οι αιώνες. Γοητεύθηκαν, κατεπλάγησαν, αλλ’ έμειναν επίσης ανικανοποίητοι. Γιατί να είναι αληθινές οι «σκοτεινές οδηγίες»; Τι πραγματικά εσήμαιναν; Με το δροσερό τους πνεύμα, τον σκεπτικισμό και τη λογική, οι Έλληνες κατέστρωσαν τις δύο διανοητικές λειτουργίες πού είναι ζωτικές για κάθε μαθηματική διαδικασία : την αφαίρεση και την απόδειξη.
Αφαίρεση, στη συλλογιστική, είναι η τέχνη να διακρίνης μια η περισσότερες κοινές ιδιότητες σε διαφορετικά πράγματα και να σχηματίζης έτσι μια γενική Ιδέα γι’ αυτά. Κάνομε αφαίρεση όταν βλέπουμε τις εκκλησίες, τα σπίτια, τους ουρανοξύστες σαν κτίρια· όταν βλέπουμε τους τροχούς, τα ελαστικά, τα στεφάνια χούλα-χούπ σαν κύκλους· όταν βλέπουμε τις αγελάδες, τις γάτες, τα σκυλιά σαν ζώα.
Απόδειξη, στη συλλογιστική, είναι η τέχνη να φθάνης με επιχειρήματα από μια πρόταση στο συμπέρασμα, με τέτοιου τρόπο ώστε να μη μένη κανένα κενό στη διαδοχή των επιχειρημάτων. Οι Έλληνες χώριζαν τις προτάσεις σε δύο είδη: τις γενικές, τις όποιες αποκαλούσαν αξιώματα, και τις ειδικότερες, πού ανήκαν στη σφαίρα των μαθηματικών και τις ονόμαζαν θεωρήματα. Για να έχουν όμως προτάσεις σαν αφετηρία στον συλλογισμό ανέτρεχαν σε μιαν άλλη νοητική διαδικασία, την επαγωγή. Ενώ η αφαίρεση ανευρίσκει ένα κοινό παρονομαστή σε διαφορετικά πράγματα—π.χ. οι γάτες και οι σκύλοι είναι ζώα—η επαγωγή τον επισημαίνει μέσα στην ίδια κατηγορία των πραγμάτων. Έτσι, παρατηρώντας τα σκυλιά, κάνομε την επαγωγική σκέψη ότι όλα τα σκυλιά γαβγίζουν παρατηρώντας τα λαγωνικά, συμπεραίναμε ότι όλα τα λαγωνικά είναι σκύλοι. Χρησιμοποιώντας τις γνώσεις μας, από τις δύο προτάσεις, φθάνομε στο αναπόφευκτο συμπέρασμα, πού αποδεικνύει ότι όλα τα λαγωνικά γαβγίζουν. Το συμπέρασμα αυτό μπορεί να ακολουθήται από ένα επίσης αναπόφευκτο πόρισμα, πού ξεκινάει από τη διαπίστωση. Στο παράδειγμα μας: το λαγωνικό του γείτονα είναι σκύλος, άρα γαβγίζει.
Οι Έλληνες επινόησαν και μιαν άλλη τεχνική για να φθάνουν στην απόδειξη, τη μέθοδο πού είναι γενικώς γνωστή με τον λατινικό όρο reductio ad absurdum την εις άτοπον απαγωγήν. Με τη μέθοδο αυτή αποδεικνύαμε την ορθότητα μιας προτάσεως, ξεκινώντας επίτηδες από το αντίθετο, για ν’ αποδείζωμε ότι το αντίθετο αυτό δεν μπορεί να σταθή. Ας υποθέσουμε ότι ο κ. Σπυρόπουλος, ο γείτονας μας και κάτοχος του λαγωνικού, αντιμετωπίζει τα παράπονα της γειτονίας ότι ο σκύλος του γαυγίζει συνεχώς. Ξεκινάει από δύο προτάσεις: όλα τα σκυλιά είναι ζώα και όλα τα ζώα πρέπει να τρώγουν και να κοιμούνται. Από αυτές τις προτάσεις καταλήγει στο συμπέρασμα ότι όλοι οι σκύλοι, πρέπει να τρώγουν και να κοιμούνται. Ύστερα καταστρώνει δύο ακόμη προτάσεις: μερικά σκυλιά γαυγίζουν ακατάπαυστα (το αν αντίθετο από ότι θέλει ν’ απόδειξη), και τα σκυλιά πού γαυγίζουν ακατάπαυστα δεν μπορούν να τρώγουν ή να κοιμούνται. Από το δεύτερο αυτό ζεύγος των προτάσεων βγάζει το συμπέρασμα ότι μερικά σκυλιά δεν τρώγουν και δεν κοιμούνται. Το συμπέρασμα είναι οπωσδήποτε άτοπο, αφού αντιφάσκει με το προηγούμενο συμπέρασμα ότι όλα τα σκυλιά πρέπει να τρώγουν και να κοιμούνται. Ο κ. Σπυρόπουλος επανεξετάζει τις τέσσερεις προτάσεις. Η μόνη αμφίβολη είναι ότι μερικά σκυλιά γαβγίζουν ακατάπαυστα. Αφού αυτή η πρόταση τον οδήγησε στο άτοπο συμπέρασμα, αυτή πρέπει να είναι λανθασμένη και το ακριβώς αντίθετο—ότι τα σκυλιά δεν γαβγίζουν ακατάπαυστα—πρέπει να είναι το σωστό. Έτσι, λοιπόν, απέδειξε—χάριν της ικανοποιήσεώς του και όχι βέβαια χάριν του ύπνου των γειτόνων του —αυτό πού ήθελε απόδειξη.
Όπως φαίνεται σ’ αυτήν τη διανοητική περιπλάνηση του κ, Σπυροπούλοι οι βασικές αρχές των Ελλήνων δεν είναι τίποτε περισσότερο από τη συστήματα ποίηση των συλλογιστικών μεθόδων πού χρησιμοποιούμε όταν θέλουμε να υποστηρίξωμε ένα επιχείρημα στην καθημερινή μας ζωή. Βέβαια ο τρόπος του συλλογισμό του κ. Σπυροπούλου είναι πολύ ασθενέστερος και λιγότερο διεισδυτικός από τ μαθηματική συλλογιστική. Ο μαθηματικός όμως, αν και αντιμετωπίζει θέματα πολύ λιγότερο χειροπιαστά από τα σκυλιά πού γαυγίζουν, εξακολουθεί να μεταχειρίζεται ακόμη τους ίδιους βασικούς κανόνες της αφαιρέσεως και της επαγωγής. Κάνει αφαιρετικούς συλλογισμούς, π.χ., όταν αναγνωρίζη ότι οι αριθμοί 6, 52 και 200 μπορούν να διαιρεθούν με το 2. Χρησιμοποιεί την εις άτοπον απαγωγή όταν εζετάζη την πρότάση, π.χ. ότι ένα άγνωστο κλάσμα—ας το ονομάσωμε p/q—είναι το κλάσμα με τούς μικρότερους δυνατούς απλοποιημένους όρους. Αν απόδειξη αλγεβρικά ότι και τα δύο άγνωστα στοιχεία, ο αριθμητής και ο παρονομαστής, του κλάσματος εξακολουθούν να είναι άρτιοι αριθμοί, τότε η πρόταση αποδεικνύεται «άτοπη, δεδομένου ότι ένα κλάσμα με δύο αρτίους αριθμούς δεν έχει απλουστευθή τελείως (2/2 ή 6/16, επί παραδείγματι, μπορούν να σμικρυνθούν ακόμη, αν διαιρεθούν με το 2).
 Πριν από τους Έλληνες, οι μαθηματικοί δεν περίμεναν ότι θα ενδιαφερόταν κανείς για τις διανοητικές προσπάθειες πού κατέβαλλαν ώσπου να φθάσουν σ’ ένα συμπέρασμα—στη συνταγή, ας πούμε, για την ποσότητα της πέτρας που χρειαζόταν για το κτίσιμο μιας πυραμίδας. Αν η συνταγή επαληθευόταν από την πράξη, αυτή ήταν η απόδειξη της ορθότητας της. Οι Έλληνες όμως δεν ήσαν ικανοποιημένοι από μόνο το γεγονός ότι ένας τύπος, μια συνταγή αποδεικνυόταν στην πράξη σωστή.
Οι Έλληνες ήθελαν να εξηγούν το γιατί και να το παρουσιάζουν με τη συντομώτερη, την αυστηρότερη λογική επιχειρηματολογία πού μπορούσε να επινοηθή. Η παράθεση των αποδείξεων έγινε γι’ αυτούς μια σωστή τέχνη, μια τέχνη πού τιμούσε τη μεγαλύτερη δυνατή πυκνότητα σε κάθε βαθμίδα του συλλογισμού, χωρίς, ταυτόχρονα, ν’ αφήνη τίποτε ασαφές και κενό. Τα Ελληνικά Μαθηματικά συγκέντρωσαν ένα πλήθος αποδεδειγμένων θεωρημάτων, πού το καθένα τους μπορούσε να χρησιμοποιηθή, χωρίς να χρειάζεται πάλι επαλήθευση, για να διατυπωθή ένα νέο, πιο προχωρημένο θεώρημα. Επιπλέον όλα αυτά τα θεωρήματα μπορούσαν να ταξινομηθούν, το ένα σφιχτά με τα’ άλλο, σ’ ένα σύστημα, σαν μία ανεστραμμένη πυραμίδα γνώσεων πού ολοένα μεγαλώνει. Το σημείο πού βρισκόταν στη βάση της πυραμίδας μπορούσε να θεμελιωθή στερεά, στην καθημερινή εμπειρία με τη βοήθεια μερικών αυταπόδεικτων αξιωμάτων, όπως π.χ. ότι η συντομώτερη οδός μεταξύ δύο σημείων είναι η ευθεία η ότι δύο ευθείες τέμνονται σ’ ένα μόνο σημείο.
Καθώς αναπτυσσόταν η μαθηματική επιστήμη, μεγάλωνε και η αποδεικτική αυστηρότης — το μέτρο δηλαδή της παραδοχής μιας τυπικής αποδείξεως. Με αλλά λόγια οι μαθηματικοί παραδέχονταν με διαρκώς μεγαλύτερη δυσκολία ως, μαθηματικές αλήθειες τα θεωρήματα της επιστήμης τους. Έτσι οι σύγχρονοι μαθηματικοί ανεκάλυψαν ότι ωρισμένες αποδείξεις στις όποιες κατέφυγαν οι Έλληνες περιείχαν κρυφές, ανεξακρίβωτες υποθέσεις. Περιώρισαν επίσης την ίδια την μέθοδο χρήσεως των αξιωμάτων και αναθεώρησαν ωρισμένα σημεία. Επινόησαν ακόμη άλλες σειρές αξιωμάτων για να θεμελιώσουν πάνω σ’ αυτές τους νεώτερους κλάδους των μαθηματικών. Αλλά το βασικό σύστημα των Ελλήνων, η συλλογιστική της αφαιρέσεως και της αποδείξεως, παραμένει άθικτο. Κάθε κλάδος των συγχρόνων μαθηματικών (οργανώθηκε όσο ήταν δυνατό πάνω σ’ αυτό το ελληνικό λογικό σύστημα.

 Το φεγγάρι και το κεφάλι της καρφίτσας.

Το ελατήριο πού έδωσε την ώθηση για να πραγματοποιηθή εκείνη την εποχή η Ελληνική Πνευματική Επανάσταση ήταν η γεωμετρία. Με την έμφυτη καλλιτεχνική κλίση τους οι Έλληνες (οδηγήθηκαν από ένστικτο στην καθαρότητα και την οπτική γοητεία πού συνδυάζει η γεωμετρία— τα μαθηματικά δηλαδή των σημείων, των γραμμών, των επιφανειών και των όγκων. Και οι Βαβυλώνιοι και οι Αιγύπτιοι είχαν μεταχειρισθή μία χονδροκομμένη, πρόχειρη γεωμετρία για να μετρούν τα χωράφια και τα κτίσματα τους, άλλα μόνο γι’ αυτές τις πρακτικές εφαρμογές των υπολογισμών— για να βρίσκουν π.χ. πόσα τούβλα, η πόσοι γρανιτόλιθοι χρειάζονταν στο χτίσιμο του δυτικού τοίχου του νέου ανακτόρου. Οι Έλληνες είχαν μια πολύ πιο θεωρητική, πιο «αφηρημένη» αντίληψη. Πίστευαν ότι ένα ωρισμένο είδος σχήματος έχει αναλλοίωτες, εσωτερικές ιδιότητες, ανεξάρτητες από το μέγεθος του. Έτσι, ένα ορθογώνιο τρίγωνο 45°—ένα τρίγωνο πού, μεταξύ άλλων, έχει δύο ίσες πλευρές—μπορεί να εκταθή ίσαμε το φεγγάρι η να μικρύνη ως το κεφάλι μιας καρφίτσας, αλλά θα παραμείνη και στις δύο περιπτώσεις ένα ορθογώνιο τρίγωνο 45°· 
    Ο πρώτος Έλλην πού συνέλαβε αυτήν τη θεμελιώδη δυνατότητα της αφαιρέσεως στη γεωμετρία — και συνέβαλε έτσι στη διαμόρφωση του ελληνικού οράματος, κατά το όποιο οι γνώσεις θα αυξάνουν σαν στέρεες, ανεστραμμένες πυραμίδες αποδείξεων, στηριγμένες σε λίγα βασικά αξιώματα— ήταν πιθανότατα ο Θαλής ο Μιλήσιος, ένας δραστήριος λαδέμπορος, πού ασκούσε τις επιχειρήσεις του κατά μήκος των ακτών της Μ. Ασίας μεταξύ του 600 και 550 π.Χ. Κατά τη διάρκεια των ταξιδιών του ήλθε σε επαφή με ανθρώπους πού ήξεραν τα παλιά μαθηματικά και την αστρονομία και όταν αποσύρθηκε από το εμπόριο ασχολήθηκε με την επιστήμη για «χόμπυ». Τα πέντε θεωρήματα πού αποδίδονται σ’ αυτόν— και πού παρουσιάζονται παρακάτω— έχουν μιαν εντυπωσιακή απλότητα, πού αποκαλύπτει την ενσυνείδητη προσπάθεια του Θαλή να θεμελίωση τη γεωμετρία σε βασικούς, αμετακίνητους όρους.
     Η φιλοδοξία, του Θαλή θα παρέμενε ίσως ανεκπλήρωτη αν δεν υπήρχε ένας άλλος Έλλην, ο όποιος συνεργάσθηκε, όπως πιστεύεται, μαζί του. Αυτός ήταν ο Πυθαγόρας, ένας άνδρας με δυνατή, μαγνητική προσωπικότητα. Κατά την παράδοση ο Πυθαγόρας ακολούθησε τη συμβουλή του Θαλή και ταξίδεψε χρόνια ολόκληρα για να ευρύνη το πεδίο των μαθηματικών γνώσεων του. Μεταξύ άλλων πηγών στις όποιες κατέφυγε ο Πυθαγόρας ήλθε σε επαφή και με τους ιερείς του Ζωροάστρη— τους σοφούς εκείνους από τους οποίους κατάγονται οι Μάγοι της χριστουγεννιάτικης ιστορίας— πού είχαν διαφυλάξει, κάτω από την Περσική κυριαρχία, τη μαθηματική κληρονομιά των Μεσοποταμιών. Αφού έμαθε ότι είχε να μάθη ο Πυθαγόρας ίδρυσε, γύρω στα 540 π.Χ., μια σχολή, μισοθρησκευτική, μισομαθηματική, στον Κρότωνα, μιαν ανθούσα ελληνική αποικία στο νότιο άκρο της Ιταλικής Χερσονήσου. Έκτος από τα μαθηματικά εδίδασκε στους μαθητές - οπαδούς του τη λατρεία των αριθμών, την επανενσάρκωση και τη μετεμψύχωση από άνθρωπο σε άνθρωπο και από άνθρωπο σε ζώο· τους ώριζε να μη τρώνε κουκιά, να μένουν πάντα ανώνυμοι και να υπογράφουν με το όνομα της Πυθαγόρειας Αδελφότητας κάθε γραπτό και κάθε ανακάλυψη τους.
     Από τη διδασκαλία του Πυθαγόρα το ευρύτερα γνωστό θεώρημα είναι ασφαλώς ότι το τετράγωνο της μεγαλύτερης πλευράς—της υποτεινούσης—ενός ορθογωνίου τριγώνου ισούται με το άθροισμα των τετραγώνων των δύο άλλων, βραχυτέρων πλευρών. Οι Βαβυλώνιοι εγνώριζαν το θεώρημα αυτό 1.000 χρόνια νωρίτερα, τη δόξα όμως την πήρε η Πυθαγόρεια Σχολή πού πρώτη το απέδειξε. Ακόμη και σήμερα παραμένει ανυπολόγιστη η αξία του για την επιστήμη. Αλλά και η πρακτική πλευρά, πού ενδιαφέρει τους περισσότερους, είναι εξ ίσου σημαντική, αφού με βάση το θεώρημα αυτό οι ξυλουργοί και οι οικοδόμοι μπορούν να ελέγχουν αν οι κατασκευές τους είναι τέλεια ορθογώνιες.


 Η κακορίζικη τετραγωνική ρίζα.

    Το ενοχλητικό εύρημα ήταν ένα νέο είδος αριθμών—πού σήμερα τους ονομάζομε «ασύμμετρους». Το χαρακτηριστικό του ασύμμετρου αριθμού είναι ότι παραμένει πεισματικά ανολοκλήρωτος, ό,τι και αν συμβή. Αυτή η εξοργιστική Ιδιότητα παρουσιάζεται συχνά σ’ αυτό πού αποκαλούμε «τετραγωνική ρίζα»— την ποσότητα πού όταν πολλαπλασιασθή με τον εαυτό της μας δίνει τον δεδομένο αριθμό. Η τετραγωνική ρίζα του 4 (πού γράφεται συμβολικά ρίζα2) είναι το καθαρό, ήρεμο 2 ρίζα 9 είναι το 3. Μια ασύμμετρη όμως τετραγωνική ρίζα μας δίνει ένα δεκαδικό κλάσμα με ατέλειωτη σειρά, χωρίς περιοδική τάξη, ψηφίων μετά το κόμμα. Παράδειγμα : η τετραγωνική ρίζα του 2 είναι 1,41421... κ.λπ. επ’ άπειρον ρίζα είναι 1,73205... κ.λπ. έπ’ άπειρον. Το πιο εκνευριστικό για μια νοικοκυρεμένη σκέψη είναι ότι οι ασύμμετρες τετραγωνικές ρίζες ξεπηδούν ξαφνικά, στην τύχη και με ανώμαλη συχνότητα.
     Η περίπτωση του ορθογωνίου τριγώνου μας δίνει ένα παραστατικό παράδειγμα. Αν μετρηθούν οι βραχύτερες, οι κάθετες πλευρές του, με τους αριθμούς 3 η μία και 4 η άλλη, τότε η μακρύτερη πλευρά, η υποτείνουσα, είναι ίση με το 5. Τέτοιοι όμως απλοί συνδυασμοί, όπως π.χ. επίσης 5-12- 13 ή 7-24- 25, είναι πολύ σπάνιοι. Μεταξύ αυτών των τελείων ορθογωνίων παρεμβάλλεται ένας μεγάλος αριθμός «ατελών» ορθογωνίων τριγώνων, με πλευρές π.χ. 1 - 1 -ρίζα 2 ή 1 - 2 -ρίζα 5 ή 2 -ρίζα 5 -3. Ας υποθέσωμε ότι έχομε να μετρήσωμε ένα χωράφι σχήματος Ισοσκελούς ορθογωνίου τριγώνου, δηλαδή με δύο ίσες πλευρές και μία μεγαλύτερη. Ας υποθέσωμε επίσης ότι το μήκος των δύο ίσων πλευρών εκφράζεται με ακριβείς αριθμούς. Τότε η τρίτη πλευρά, με οποιαδήποτε μονάδα και αν μετρηθή, δεν θα βγαίνη ακριβώς. Οποιαδήποτε και αν είναι η μονάδα (εκατοστό, πήχυς, οργυιά) το αποτέλεσμα θα είναι το ίδιο. Και αντίστροφα: όσες φορές και αν υποδιαιρέσωμε το μήκος της μεγάλης πλευράς ποτέ δεν θα φθάσωμε σε μιαν υποδιαίρεση πού να ισούται με κάποια υποδιαίρεση του μήκους των μικρών πλευρών. Μεταξύ της υποτεινούσης και μιας καθέτου πλευράς δεν υπάρχει καμιά κοινή μονάδα πού να τις μετρά.
     Οι Πυθαγόρειοι αντελήφθησαν ότι είναι αδύνατο να εκφράσουν με ολόκληρους αριθμούς αυτή τη σχέση στα περισσότερα ορθογώνια τρίγωνα, ακόμη καν αν επιστράτευαν όλους τους ακέραιους αριθμούς και τα κλάσματα τους— από το 1 έως το ένα δισεκατομμύριο η από το 1/1 ως το ένα δισεκατομμυριοστό. Η συντριπτική αυτή ανακάλυψη συνεκλόνισε ολόκληρη την πορεία της ελληνικής μαθηματικής σκέψεως. Διέλυσε πραγματικά κάθε ελπίδα ότι η μέτρηση μπορούσε να χρησιμεύση σαν γέφυρα ανάμεσα στη γεωμετρία και την αριθμητική των ακεραίων αριθμών. Οι Έλληνες άρχισαν ν’ αυτοπεριορίζωνται στη γεωμετρία των σχημάτων, πού δεν την απασχολούσαν οι μετρήσεις άλλα μόνο τα σχήματα. Έτσι μπορούσαν, αν όχι να μετρήσουν, πάντως να σχεδιάσουν μερικούς ασύμμετρους αριθμούς, όπως τη ρίζα2 η ρίζα3, σαν μια ορισμένη υποτείνουσα σ’ ένα ορισμένο ορθογώνιο τρίγωνο. Σαν τα άτακτα παιδιά, οι αριθμοί αυτοί μπορούσαν τουλάχιστον να κλεισθούν μέσα σε γνωστά ευθύγραμμα σχήματα, με καθορισμένα όρια —σε τρίγωνα, τετράγωνα και πυραμίδες.
     Οι ασύμμετροι αριθμοί όμως, καθώς και η έννοια του απείρου, δεν ήταν δυνατόν να εξοστρακισθούν και από τη στοιχειωδέστερη έστω γεωμετρία των σχημάτων. Αναπήδησαν πάλι, μετά από τα τρίγωνα, στο πρόβλημα του κύκλου. Η σχέση η ο λόγος μεταξύ της περιφερείας ενός κύκλου και της διαμέτρου του είναι πράγματι ένας ασύμμετρος αριθμός, 3,14159..., τον όποιο αποκαλούμε και γράφομε π (πιθανότατα από το πρώτο γράμμα της ελληνικής λέξεως περιφέρεια). Οποιαδήποτε και αν είναι η προέλευση του π, η ασύμμετρη ποσότης πού εκφράζει υπολογίσθηκε με περισσότερα από 100.000 δεκαδικά ψηφία και ξέρουμε ότι δεν την μετρήσαμε ολόκληρη· θα μπορούσαμε να συνεχίσουμε τον υπολογισμό αυτόν έπ’ άπειρον. Οι Έλληνες δεν είχαν αναγνωρίσει την πλήρη έκταση της ασυμμετρίας του π κι έτσι έχασαν πολύ χρόνο και κατέβαλαν μεγάλες προσπάθειες για να λύσουν το τεράστιο πρόβλημα πού ήταν άλυτο εξ αιτίας αυτής ακριβώς της ασυμμετρίας—δηλαδή να κατασκευάσουν ένα τετράγωνο, το εμβαδόν του οποίου να ισούται με το εμβαδόν ενός δεδομένου κύκλου, με άλλα λόγια να πετύχουν τον «τετραγωνισμό του κύκλου».


Το άπειρο και η μηλόπιτα.

Η καλύτερη μέθοδος για να υπολογίσουν, κατά προσέγγιση, την επιφάνεια ενός κύκλου ήταν να τον χωρίσουν σ’ ένα άπειρο αριθμό απείρως στενών ισοσκελών τριγώνων, τοποθετημένων όπως τα κομμάτια μιας μηλόπιτας. Τα τρίγωνα αυτά θα είχαν ύψος ίσο με την ακτίνα του κύκλου. Το άθροισμα των απείρως μικρών ευθειών πού χρησιμεύουν ως βάσεις στα τρίγωνα αποτελεί την περιφέρεια του κύκλου. Αν η συνολική επιφάνεια των τριγώνων αυτών είναι ίση με το ήμισυ του γινομένου της ακτίνος επί το άθροισμα των απειροελάχιστων αυτών βάσεων, το εμβαδόν του κύκλου θα ισούται με το ήμισυ του γινομένου της ακτίνας επί την περιφέρειαν. Ο συλλογισμός δεν ήταν εσφαλμένος και επαληθευόταν από την πράξη. Αλλά η προσπάθεια της αποδείξεως του, με την αυστηρή λογική διαδοχή, σκαλί-σκαλί, ήταν μια τολμηρή πνευματική περιπλάνηση, όχι λιγότερο ριψοκίνδυνη από τα ταξίδια του Οδυσσέα. Μέχρι ποιου σημείου μπορούμε να θεωρούμε τρίγωνα τα απειροελάχιστα αυτά στοιχεία; Καθώς το τρίγωνο γίνεται απείρως στενό, πότε ακριβώς παύει να έχει το τριγωνικό σχήμα και αρχίζει να αποκτά το σχήμα σαν τη φέτα της μηλόπιτας ; Ασφαλώς αυτό δεν συμβαίνει παρά μόνο όταν γίνη απείρως στενό, τότε όμως δεν είναι πια «κάτι» αλλά «τίποτα». Πώς λοιπόν μπορεί ένας άπειρος αριθμός από τίποτα να αθροίζεται για να σχηματίζει κάτι όπως τον κύκλο;
________________________________________________________
ΤΟ ΜΕΤΡΗΜΑ ΤΟΥ ΚΥΚΛΟΥ

Στo διάγραμμα αυτό μικραίνουν διαρκώς από αριστερά προς τα δεξιά οι χρωματισμένες επιφάνειες, πού σχηματίζονται ανάμεσα στην περιφέρεια του κύκλου και στις βάσεις διαφόρων ισοσκελών τριγώνων, πού έχουν όλο; τους ως κορυφή το κέντρο του κύκλου. Έτσι φαίνεται καθαρά ότι όσο οξύνεται η γωνία στην κορυφή, τόσο ελαττώνεται η χρωματισμένη περιοχή, κάτω από τη βάση. Επί πλέον όσο μικραίνουν τα τρίγωνα τόσο το ύψος τους (στικτή γραμμή) τείνει να ταυτισθή με την ακτίνα του κύκλου, ενώ οι βάσεις τους σχεδόν συμπίπτουν με την περιφέρεια. Βλέποντας λοιπόν ότι το ύψος γινόταν ακτίνα και ότι το άθροισμα των βάσεων εξισωνόταν με την περιφέρεια, οι Έλληνες εφήρμοσαν τον τύπο για το μέτρημα του εμβαδού του τριγώνου (το 1/2 της βάσεως Χ το ύψος) και στο εμβαδόν του κύκλου (το 1/2 της περιφερείας Χ την ακτίνα).________________________________________________________
Αυτές τις ενοχλητικές αντιρρήσεις διετύπωσαν—όχι χωρίς σαρκασμό—εναντίον της λογικής του ακατάπαυστου τεμαχισμού του κύκλου οι οπαδοί της Ελεατικής σχολής, μιας σχολής πού ιδρύθηκε στην Ελέα, πόλη γειτονική στον Κρότωνα καώ τους Πυθαγορείους. Οι Ελεάτες εξ αρχής φάνηκαν ν’ αντιμάχωνται τους Πυθαγορείους. Και τα μαθηματικά δεν ήσαν πια για τους Έλληνες μια διασκεδαστική ενασχόληση· τα προβλήματα της επιστήμης γινόντουσαν αγώνισμα σε ανοικτό χώρο. Αυτό πού τώρα, αναδρομικά μας φαίνεται σαν μια ήρεμη και ανεμπόδιστη πορεία προς τη διαρκώς αυξανόμενη γνώση, στην πραγματικότητα ήταν ένας πνευματικός πόλεμος με όλο το πάθος και την οξύτητα των αντεγκλήσεων. Τα όπλα στις μάχες αυτές ήσαν τα περίπλοκα επιχειρήματα· το έπαθλο, ο θρίαμβος της αποδείξεως.
  Οι Ελεάτες είχαν βαθύτατα επιστημονικά ενδιαφέροντα— όχι μόνο για τα τρίγωνα και τους κύκλους, αλλά για το σύμπαν. Ο κυριώτερος εκπρόσωπος τους ήταν ο Ζήνων, διδάσκαλος του περίπλοκου διανοήματος του παραδόξου — δηλαδή της προτάσεως εκείνης πού αν και λογικά είναι γερά θεμελιωμένη αντιφάσκει με την κοινή αντίληψη. Ο Ζήνων είχε γοητευθή με την ιδέα του απείρου. Διαισθάνθηκε σωστά ότι η επιστήμη δεν θα μπορούσε να δαμάση την πραγματικότητα αν δεν συνειδητοποιούσε τους τρόπους με τους οποίους το άπειρο φαινόταν να εμφανίζεται παντού στη φύση. Έθεσε μιαν απλή ερώτηση πού αφορούσε την κίνηση και την ανήγαγε σε διάσημη παραδοξολογία: Πώς μπορεί ένα κινούμενο σημείο να περνάη από έναν άπειρο αριθμό θέσεων σ’ ένα καθορισμένο χρονικό διάστημα ; Αν ο «ωκύπους Αχιλλεύς» συναγωνίζεται στο τρέξιμο μια χελώνα και η χελώνα ξεκινήση ένα πόδι πιο μπροστά, πώς θα μπόρεση—σύμφωνα με την αυστηρή ελληνική λογική — να την φθάση ο Αχιλλεύς ; Όταν ο Αχιλλεύς θα έχη προχωρήσει ένα πόδι και η χελώνα θα έχη προχωρήσει κατά τι, ας πούμε ένα δέκατο του ποδιού. Και όταν ο Αχιλλεύς θα έχη καλύψει το δέκατο αυτό, πάλι θα έχη προχωρήσει κατά τι η χελώνα.
    Ο καθένας βέβαια ξεύρει εμπειρικά ότι ο Αχιλλεύς θα φθάση τη χελώνα, αλλά πώς να το απόδειξη με λογικούς συλλογισμούς πού να μη χρειάζωνται άπειρες σελίδες για να διατυπωθούν: Οι σύγχρονοι μαθηματικοί έχουν βρή τρόπους για να παρακάμπτουν το πρόβλημα· το ίδιο έκαμαν και οι Έλληνες. Ένας από τους πρώτους διδασκάλους της γεωμετρίας, πιθανότατα ο Εύδοξος, αντικατέστησε την αμφισβητούμενη απόδειξη για το εμβαδόν του κύκλου με δύο βοηθητικές σειρές σκέψεως. Σύμφωνα μ’ αυτές, αν δεχθούμε ότι το εμβαδόν του κύκλου είναι μια ποσότητα μεγαλύτερη η μικρότερη από το ήμισυ του γινομένου του μήκους της περιφερείας επί την ακτίνα, τότε ανακύπτουν αντιφάσεις— και οι αντιφάσεις αυτές καθιστούν τις άλλες ενδεχόμενες λύσεις άτοπες (μία ακόμη εφαρμογή της εις άτοπον απαγωγής).


Την ίδια περίπου εποχή πού ο Εύδοξος αντιμαχόταν στο σημείο αυτό τους Ελεάτες και το άπειρο, ο αρχαίος ελληνικός κόσμος χανόταν μέσα στις απέραντες κατακτήσεις του Μεγάλου Αλεξάνδρου. Όταν έπαψε η κλαγγή των όπλων, μία πόλις, η Αλεξάνδρεια της Αιγύπτου εξελίχθηκε σε νέα πρωτεύουσα του ελληνικού πολιτισμού. Εκεί, γύρω στα 300 π.Χ., ο περιφημότερος απ’ όλους τους διδασκάλους της γεωμετρίας, ο Ευκλείδης, βάλθηκε να συγκέντρωση όλα τα θεωρήματα των προγενεστέρων του και να τα συμπεριλάβη σε μια μοναδική, αυτοτελή ενότητα.


Ο Ευκλείδης δεν ήταν ακριβώς ένας μεγάλος καινοτόμος· ήταν όμως ένας υπέροχος οργανωτής, πού συστηματοποίησε τα συμπεράσματα στα όποια έφθασαν ο Θαλής, ο Εύδοξος και άλλες φωτεινές διάνοιες της χρυσής εποχής της ελληνικής γεωμετρίας— άνδρες πού επέζησαν ως τις μέρες μας, περισσότερο σαν ονόματα και ολιγότερο με το έργο τους, όπως ο Δημόκριτος, ο Ιπποκράτης της Χίου, ο Αρχύτας. Ο Ευκλείδης είχε τη θαυμαστή ικανότητα ν’ ανασύνταξη τις αποδείξεις των θεωρημάτων σε σύντομους αυστηρούς όρους. Έτσι απλοποιημένες οι αποδείξεις περιελήφθησαν στο αριστούργημα του, τα Στοιχεία, ένα από τα ανεπανάληπτα εκείνα έργα πού, όπως η Βίβλος, έχουν αφομοιώσει σ’ ένα εμπνευσμένο σύνολο τις καλύτερες προσπάθειες ολοκλήρων γενεών δημιουργικής σκέψεως. Είναι ένα κείμενο με τόση σαφήνεια και κομψότητα ύφους ώστε πολλοί εκπαιδευτικοί το θεωρούν σαν την συνεκτικώτερη συλλογή αυστηρά λογικών διανοημάτων πού επραγματοποίησε ποτέ ο άνθρωπος. Στην αρχαιότητα κυκλοφορούσε ευρύτατα με τη μορφή χειρογράφου. Αφότου ανεκαλύφθη η τυπογραφία δημοσιεύθηκε σε χιλιάδες εκδόσεις. Μέχρι προ 100 ετών ήταν στις περισσότερες χώρες του κόσμου το κλασικό σύγγραμμα για τη διδασκαλία της γεωμετρίας και παραμένει, ακόμη και σήμερα, ξαναγραμμένο με ποικίλους τρόπους.
     Τα Στοιχεία περιλαμβάνουν 13 βιβλία η κεφάλαια, πού περιγράφουν και αποδεικνύουν ένα μεγάλο μέρος απ’ όσα γνωρίζει, ακόμη και τώρα, το ανθρώπινο γένος για τις γραμμές, τα σημεία, τους κύκλους και τα στοιχειώδη σχήματα των στερεών σωμάτων. Όλες αυτές τις πληροφορίες τις άντλησε ο Ευκλείδης, με την πιο κοφτερή λογική, από δέκα ακριβώς απλές προτάσεις — πέντε αξιώματα και πέντε θεωρήματα— (πού αναφέρονται στο περιθώριο της σελίδος αυτής). Με τις προτάσεις αυτές ο Ευκλείδης οικοδόμησε όχι μόνο τη γεωμετρία πού διδάσκεται κανονικά σήμερα στα σχολεία αλλά και πολλούς άλλους κλάδους των μαθηματικών. Τα κεφάλαια του για τα μήκη των γραμμών και για το εμβαδόν μας παρέχουν γεωμετρικές μεθόδους για τη λύση πολλών προβλημάτων πού σήμερα θεωρούνται αλγεβρικά θέματα. Ο τρόπος με τον όποιο αντιμετώπισε την έννοια του απείρου, την πληγή πού άνοιξε ο Ζήνων, και η τεχνική του για την άθροιση των εμβαδών πού περικλείονται σε κυκλικά τόξα περιέχουν τις ιδέες πού ερευνώνται σήμερα στον απειροστικό λογισμό.