Το ιστολόγιο αυτό δημιουργήθηκε από τον Μόσχο Αλέξανδρο μαθηματικό του γυμνασίου - Λ.Τ Σημάντρων Χαλκιδικής.

Περιέχει πληθώρα άρθρων σχετικών με τη ιστορία , τη φιλοσοφία , τη λογοτεχνία τη χρησιμότητα των μαθηματικών.

Κυριακή 30 Μαρτίου 2014




Ο Αριστοφάνης σατυρίζει τα μαθηματικά της εποχής του!
O Aριστοφάνης ήταν ένας από τους πιο πετυχημένους κωμωδιογράφους της εποχής του.Γενικά το έργο του αντανακλά τα ενδιαφέροντα της εποχής , ποικίλλοντας από σκληρά σχόλια για τον μακροχρόνιο πόλεμο της Αθήνας με τη Σπάρτη μέχρι ασεβείς προσωπογραφίες δικαστικών , φιλοσόφων , ποητών και μαθηματικών.Στους Όρνιθες διακωμωδεί τον Μέτωνα. Ο Μέτωνας είχε ικανότητες μηχανικού και αστρονόμου , πολεοδόμου και αρχιτέκτονα.Γνωρίζουμε ότι ήταν υπεύθυνος για την αναμόρφωση του αθηναϊκού ημερολογίου.Ο Μέτων έγινε αντικείμενο αστεϊσμών από τον Αριστοφάνη επειδή ασχολούνταν με ένα είδος μαθηματικών που δεν θεωρούνταν σημαντικά και ήταν δύσκολο να τα καταλάβει κάποιος.Ας δούμε τον παρακάτω διάλογο από το έργο του Αριστοφάνη :

 ΜΕΤΩΝ : Να  'μαι κι εγώ!
ΠΕΙΣΘΕΤΑΙΡΟΣ : Άλλος μπελάς και τούτος! Τι θες εδώ; Βρήκες καμιά εφεύρεση σπουδαία; Τι μας κουβαλήθκες εδώ;
ΜΕΤΩΝ : Ήρθα να μετρήσω τον αέρα σας , να βρω τα στρέμματα που πιάνει.
ΠΕΙΣΘΕΤΑΙΡΟΣ : Θεός φοιλάξοι!Ποιος είσαι εσύ;
ΜΕΤΩΝ : Ποιος είμαι εγώ;Ο Μέτων , με ξέρει όλη η Ελλάδα!
ΠΕΙΣΘΕΤΕΡΟΣ :Μπα; Και τι είναι όλα αυτά;
ΜΕΤΩΝ : Τα σύνεργα για να μετρήσω τον αέρα που η γη στριφογυρίζει. Κοίτα λοιπόν , θα βάλω τον κανόνα τον κυρτό , ύστερα θα καρφώσω τον διαβήτη . . . Κατάλαβες;
ΠΕΙΣΘΕΤΑΙΡΟΣ : Ούτε λέξη.
ΜΕΤΩΝ  : Μετά θα βάλω τον κανόνα τον ορθό κι ο κύκλος μας τετράγωνο θα γίνει. Στο κέντρο θα είναι η αγορά κι εκεί οι δρόμοι θα φτάνουν από όλες τις μεριές όπως τ' αστέρια , που φαντάζουν στρογγυλά , αλλά παντού οι ακτίνες τους πηγαίνουν.
ΠΕΙΣΘΕΤΑΙΡΟΣ : Λοιπόν ο Μέτωνας είναι ένα ς Θαλής σωστός!

Σε ένα άλλο έργο του ο Αριστοφάνης διακωμωδεί την νέα πνευματική εκπαίδευση των σοφιστών :

ΣΤΡΕΨΙΑΔΗΣ : Κι αυτό εδώ τι είναι;
ΜΑΘΗΤΗΣ : Αυτά; Γεωμετρία.
ΣΤΡΕΨΙΑΔΗΣ : Ωραία. Πού χρησιμεύει όμως;
ΜΑΘΗΤΗΣ : Για να καταμετρήσουμε τη γη.
ΣΤΡΕΨΙΑΔΗΣ : Εννοείς τη γη των κληρούχων;
ΜΑΘΗΤΗΣ : Όχι μόνο αλλά ολόκληρο τον κόσμο.
ΣΤΡΕΨΙΑΔΗΣ : Θαυμάσια: Είναι λοιπόν μια χρήσομη και δημοκρατική εφεύρεση η γεωμετρία.

      Ο κληρούχος ήταν ένας άποικος στρατιώτης που λαμβάνει γη ως αμοιβή για τη θητεία του.Στην μετάφραση χάνεται το λογοπαίχνιο που χρησιμοποιεί ο Αριστοφάνης .Η έκφραση "ολόκληρο τον κόσμο" αποδίδεται ατσο αρχαίο κείμενο "την σύμπασαν" που σημαίνει για όλους. Εδώ ο Αριστοφάνης υπαινίσσεται ότι η διανομή γης θα έπρεπε να γίνεται για όλους και μετά να καταμετρείται από τους γεωμέτρες.Βέβαια το βαθύτερο νόημα αυτής της σάτυρας είναι ότι ο μαθητής λέει ότι η γεωμετρία ασχολείται με γενικά και αφηρημένα πράγματα αλλά ασφαλώς όχι με τη λύση των οικονομικών προβλημάτων του κόσμου.
      Άλλωστε στην εποχή εκείνη υπήρχε και από άλλους συγγραφείς μια κριτική και δυσπιστία για τα ζητήματα με τα οποία ασχολούνταν οι γεωμέτρες όπως τον τετραγωνισμό του κύκλου , τα οποία δεν σήμαιναν τίποτα για τις πρακτικές ανάγκες των ανθρώπων. Ο Διογένης ο Κυνικός αναρωτιόταν μήπως " οι μαθηματικοί ασχολούνταν με τον ήλιο και τη σελήνη , αδιαφορώντας για τα καθημερινά πράγματα. Ο Ισοκράτης ενώ δεχόταν ότι η γεωμετρία μπορούσε να θεωρηθεί ένα πνευματικό γύμνασμα για τους νέους παρά ταύτα : " οι περισσότεροι θεωρούν αυτές τις σπουδές κενές συζητήσεις και λεπτολογίες επειδή κανένα από αυτά τα πράγματα δεν είναι χρήσιμο στην ιδιωτική και στην δημόσια ζωή".Προειδοποιούσε επίσης για τους κινδύνους της υπερβολικής χρήσης των μαθηματικών η οποία θα μπορούσε να εμποδίσει την αρμονική ανάπτυξη τους. Επίσης ότι η σχολαστική ακρίβεια των μαθηματικών απομακρύνει την χρησιμότητα  τους και δεν είναι πάντα αναγκαία.Κατά τον Πλάτωνα βέβαια πρέπει να διαχωρίσουμε τα μαθηματικά σε δύο δρόμους. Εχουν διπλή ιδότητα. Υπάρχουν από τη μια μεριά τα μαθηματικά για τους πολλούς , τους λιανοπωλητές και τους εμπόρους που αποβλέπουν στο κέρδος.Από την άλλη υπάρχουν η αριθμητική εκείνη και η φιλοσοφική γεωμετρία για τους λίγους.Καταλήγει στο συμπέρασμα : " οι τέχνες και τα μαθηματικά που εμπνέονται από τους πραγματικούς φιλοσόφους είναι απείρως ανώτερες σε ακρίβεια και αλήθεια σχετικά με τα μέτρα και τους αριθμούς".Επηρεασμένη η ελληνική σκέψη από τον Πλάτωνα συνδέει τα μαθηματικά με τη φιλοσοφία και θεωρεί ότι οι φιλόσοφοι οφείλουν να έχουν την εποπτεία των μαθηματικών.

Από το βιβλίο : " Αρχαία Μαθηματικά" της S. Cuomo  , λέκτωρα του Κέντρου Ιστορίας των Επιστημών και της Τεχνολογίας του Κολεγίου του Λονδίνου.

Σάββατο 29 Μαρτίου 2014

Escher : Μαθηματικός χωρίς να το ξέρει.

O M.C. Escher, που ήταν ένα κράμα καλλιτέχνη και επιστήμονα, έγινε παγκοσμίως γνωστός για τις ασυνήθιστες λιθογραφίες και ξυλογραφίες του. Τα μοναδικά και συναρπαστικά έργα τέχνης του  είναι ένα ταξίδι μεταξύ της φαντασίας, των μαθηματικών και της πραγματικής ζωής. Ο ίδιος είχε πει:
Λοιπόν, ας προσπαθήσουμε ν’ ανέβουμε στο βουνό, όχι πατώντας σ’ αυτό που βρίσκεται από κάτω μας, αλλά ελκόμενοι από αυτό που είναι από πάνω μας: για μένα αυτό είναι τ’ αστέρια”.  
Είχε δηλώσει επίσης : “Διασχίζω συνεχώς το σύνορο μεταξύ μαθηματικών και τέχνηςΠροσθέτοντας άλλοτε,
Να είστε βέβαιοι ότι  αυτό που νομίζετε πως βλέπετε είναι  πραγματικά αυτό που βλέπετε. Προσπαθήστε να πιστέψετε στα μάτια σας…. ” 
Ο θεατής βλέποντας τα έργα του δεν μπορεί να μην παραξενεύεται από τις εικόνες του, αφού βρίσκεται αντιμέτωπος με ένα σχεδόν απτό, παιχνιδιάρικο κόσμο ονείρων.Είναι από τους καλλιτέχνες του 20ου αιώνα με τη μεγαλύτερη διάδοση του έργου του και ταυτόχρονα από τους πιο άγνωστους με την έννοια του λιγότερου κατανοημένου. 
Τα έργα του αντανακλούν ένα πλήθος μαθηματικών ιδεών και ειδικά έννοιες και τεχνικές της σύγχρονης γεωμετρίας. Είναι διαχρονικά  και ασκούν πραγματική έλξη εξαιτίας της…. Στερεότητας και της Παραίσθησης… δηλαδή το  παιχνίδι του δημιουργού με τα οπτικά και μαθηματικά παράδοξα.
Ο M.C Escher γεννήθηκε το 1898 και πέθανε το 1972 στην Ολλανδία. Κατά τη διάρκεια των σχολικών του χρόνων αντί  να ασχολείται με τα μαθήματα προτιμούσε να παρατηρεί τα σύννεφα προσπαθώντας να διακρίνει συγκεκριμένα σχήματα μέσα σε αυτά ενώ παράλληλα περίμενε με ενδιαφέρον τα εβδομαδιαία 2ωρα μαθήματα σχεδίου και χαρακτικής. Ξεκίνησε σπουδές στην Αρχιτεκτονική αλλά πολύ σύντομα, με τη συμβουλή του δασκάλου του, ασχολήθηκε σχεδόν αποκλειστικά με τις Γραφικές Τέχνες. Τελείωσε τη σχολή του το 1922. Ο δάσκαλός του, ο οποίος  πρόσεξε τις ικανότητές του στο σχέδιο, του δίδαξε πολλές πτυχές της τέχνης της ξυλογραφίας και τον ενθάρρυνε να πειραματιστεί. Έτσι το ενδιαφέρον του Escherστράφηκε προς τη χαρακτική και διακοσμητική τέχνη και ιδιαίτερα στην ξυλογραφία και ξυλοτυπία.
Στη διάρκεια της ζωής του ο Escher ήταν αληθινός Ευρωπαίος καλλιτέχνης, κατοίκησε και εργάστηκε σε πολλές Ευρωπαϊκές χώρες. Τα θέματα που διάλεξε για τα έργα του προέρχονται από τον οπτικό πλούτο αυτών των χωρών.
Όταν ολοκλήρωσε τις σπουδές του, άρχισε να ταξιδεύει συχνά. Πήγε στη Γαλλία κι από κει στην Ισπανία όπου επισκέφτηκε την Αλάμπρα, ένα παλάτι των Μαυριτανών του 13ου αιώνα, στη Γρανάδα και το μουσουλμανικό τέμενος της Κόρδοβα. Εκεί έρχεται σε επαφή με τη διακοσμητική δεξιοτεχνία των καλλιτεχνών του Ισλάμ,  εντυπωσιάζεται και εμπνέεται  από τα μαυριτανικά μωσαϊκά και τα γεωμετρικά μοτίβα που διακοσμούσαν τους τοίχους των κτιρίων του παλατιού .  Εγκαθίσταται στην Ιταλία όπου ζει και εργάζεται ως το 1935. Αυτή την περίοδο στο έργο του κυριαρχεί η ορατή πραγματικότητα δηλαδή αυτά που παρατηρεί στον κόσμο γύρω του.
Το 1936 έκανε  το τελευταίο του ταξίδι μελέτης :  επιστρέφει στην Αλάμπρα. Η δεύτερη αυτή επίσκεψή του σήμανε την αρχή της πλήρους αλλαγής στο στυλ και στα θέματά του. Τα γεωμετρικά σχέδια των Μαυριτανών που για θρησκευτικούς λόγους είχαν παντελή απουσία κάθε έμψυχης μορφής, τον ενθουσιάζουν και τον προσελκύουν αφάνταστα. Θεωρητικά αυτά τα σχέδια θα μπορούσαν να συνεχίζονται ως το άπειρο.
Ο   Escher ήθελε να δώσει ζωή σε αυτά τα αφηρημένα σχέδια χρησιμοποιώντας ζώα κυρίως πουλιά και ψάρια, φυτά και  ανθρώπους γιατί η επίδραση από κάτι γνώριμο του φαινόταν πιο δυνατή.
Παρόλο που στα προηγούμενα χρόνια είχε κινηθεί κατά διαστήματα προς αυτή την κατεύθυνση από το 1937 συγκεντρώνεται στις επινοήσεις της δικής του φαντασίας και ερευνά εντατικά τεκμηριωμένο, εικονογραφικό υλικό από διάφορες έρευνες  για τα μαθηματικά και την κρυσταλλογραφία. Τα συμπεράσματα των γεωμετρών και των κρυσταλλογράφων θα τα χαρακτηρίσει “ανοικτή πόρτα των μαθηματικών” και θα αναγνωρίσει την εξαιρετική επίδρασή τους στο έργο του.
Από αυτή την περίοδο έχει σαν βάση ένα γεωμετρικό σχέδιο (ένα τρίγωνο, ένα κύκλο, μία σπείρα ή μία σφαίρα, ένα πολύγωνο ή ένα πολύεδρο),χρησιμοποιεί οπτικές αντιφάσεις και τα χαρακτικά του έχουν να κάνουν με τον άπειρο χρόνο και χώρο, τις συμμετρίες, τους δακτυλίους και τις σπείρες στο χώρο, τις αντανακλώμενες εικόνες ,  τις αντιστροφές, τις περιστροφές, τις σχετικότητες, τη σύγκρουση μεταξύ του επιπέδου και του χώρου. Το έργο όμως που τον έκανε πασίγνωστο ήταν η συστηματική διαίρεση του επιπέδου και οι περίφημες πλακοστρώσεις του. Ένα έργο στο οποίο υπερέχει  η  καθαρή γεωμετρία.
Ο ίδιος είπε : “Πρόκειται για την πλουσιότερη πηγή έμπνευσης που είχα ποτέ:
Ο τρόπος με τον οποίο μια επιφάνεια μπορεί να διαιρεθεί, ή να γεμίσει με ομοιόμορφα σχήματα που εφάπτονται χωρίς να αφήνουν καθόλου κενά.”
Η κανονική διαίρεση της επιφάνειας είναι η κάλυψη μιας επιφάνειας με το ίδιο μοτίβο, που επαναλαμβάνεται με συστηματικό τρόπο δίχως να αφήνει κενά διαστήματα.
Παρόλο που ο Escher δεν είχε καμία επίσημη κατάρτιση μαθηματικών, και δεν τα είχε κατανοήσει βαθιά, δημιουργεί ένα έργο τέχνης που στηρίζεται σε πολλές μαθηματικές αρχές. Αναπτύσσει τη δική του θεωρία για τις πλακοστρώσεις στο επίπεδο , την οποία ο ίδιος χαρακτηρίζει ερασιτεχνική,  μιας και διαφέρει από τις αυστηρές θεωρήσεις των γεωμετρών και τα γεωμετρικά σχέδια που χρησιμοποιεί, τα οποία δείχνουν να μην έχουν αρχή ή τέλος, σταδιακά εξελίσσονται σε μορφές ή το αντίστροφο.
Στις πλακοστρώσεις του τα ”πλακίδια ” μπορεί να είναι πολυγωνικά, κυρτά ή μη ή να έχουν οποιοδήποτε περίγραμμα. Χρησιμοποιεί διάφορους μετασχηματισμούς συμμετρίας, περιστροφές και μεταθέσεις επαναλαμβάνοντας τις μορφές του και μάλιστα σε κάποια έργα του όλο και σε μικρότερες κλίμακες, για να μεταβιβάσει την αίσθηση του απείρου. Η έννοια του δυισμού, που είναι θεμελιώδης στη γεωμετρία και βασίζεται στη διαπίστωση της συμμετρικής συμπεριφοράς θεμελιωδών γεωμετρικών αντικειμένων, είναι διάχυτη στο έργο του κυρτός – κοίλος, σκοτάδι – φως, πάνω – κάτω, και συχνά καλός – κακός τη μεταφυσική πτυχή της δυαδικότητας.  
Λίγοι ήξεραν ότι ο Escher θα γινόταν ένας διάσημος καλλιτέχνης και θα δημιουργούσε ένα εμπνευσμένο έργο που πάντρευε τον κόσμο της τέχνης και των μαθηματικών. Στην εποχή του το έργο του εκτιμήθηκε από μαθηματικούς παρά από ομότεχνούς του. Μόνο σήμερα εμφανίζονται σημαντικά βήματα προς την κατεύθυνση που έδειξε ο  Escher δηλαδή στη γεφύρωση του χάσματος ανάμεσα στις επιστήμες και τις τέχνες.
Από την πλούσια κληρονομιά του Escher, θα σας παρουσιάσουμε κάποια έργα από τις κανονικές διαιρέσεις της επιφάνειας και τις περίφημες πλακοστρώσεις του, στα οποία θα δείτε αυτή τη  λεπτή γραμμή μεταξύ του κόσμου της φαντασίας, των μαθηματικών και της πραγματικής ζωής, αλλά κυρίως θα παρατηρήσετε την υπεροχή των μαθηματικών! 

Ιωάννα Δημοπούλου Μαθηματικός.


Σύμπαν σε υπερβολική ψηφίδωση

Μ. Κ. Εσερ, «Σαύρες και βάτραχοι».
Εκ πρώτης όψεως η ιδέα ότι τα χαρακτικά του Εσερ μπορούν να περιγράψουν τη διάταξη του Σύμπαντος φαίνεται να αντιφάσκει με όσα γνωρίζουμε γι' αυτό.
Τα χαρακτικά στα οποία αναφερόμαστε είναι ψηφιδώσεις, εικόνες από επαναλαμβανόμενα σχήματα, όπως η αλληλοδιαδοχή αγγέλων και νυχτερίδων που βλέπουμε στο «Οριο του κύκλου IV». Αν και τα σχήματα αυτά είναι επίπεδα, χρησιμεύουν ως «προβολές» μιας διαφορετικής γεωμετρίας, της λεγόμενης υπερβολικής γεωμετρίας – περίπου όπως ένας επίπεδος χάρτης αποτελεί προβολή της σφαίρας της Υδρογείου. Για παράδειγμα, παρ' ότι οι νυχτερίδες στην επίπεδη προβολή φαίνεται να μικραίνουν με γεωμετρική πρόοδο προς το όριο του κύκλου, στον χώρο της υπερβολικής γεωμετρίας έχουν όλες το ίδιο μέγεθος. Οι στρεβλώσεις προκύπτουν στην προβολή επειδή ο υπερβολικός χώρος δεν μπορεί να είναι επίπεδος. Αντ' αυτού μοιάζει με ένα στρεβλό, κυματιστό τοπίο με λόφους σαν σαμάρια.
Το Σύμπαν μας όμως δεν μοιάζει καθόλου με κάτι τέτοιο. Οι μετρήσεις της κοσμικής μικροκυματικής ακτινοβολίας υποβάθρου – του αποήχου της Μεγάλης Εκρηξης – και των αποστάσεων των σουπερνόβα έχουν αποκαλύψει ότι το Σύμπαν μας είναι επίπεδο και όχι στρεβλό.
Επίσης επεκτείνεται με επιταχυνόμενο ρυθμό εξαιτίας μιας μυστηριώδους οντότητας η οποία είναι γνωστή ως σκοτεινή ενέργεια. Δεν ξέρουμε τι είναι η σκοτεινή ενέργεια ούτε από πού προήλθε, η μαθηματική γλώσσα όμως της Θεωρίας της Γενικής Σχετικότητας τουΑϊνστάιν έχει βρει έναν τρόπο να περιγράψει αυτή την επιταχυνόμενη επέκταση. Η εισαγωγή μιας σταθεράς – γνωστής ως Κοσμολογική Σταθερά – στις εξισώσεις της Γενικής Σχετικότητας κάνει το Σύμπαν να επεκτείνεται επ' άπειρον, μόνο όμως αν η σταθερά έχει θετικό πρόσημο. Ως τώρα το να λέμε ότι ζούμε σε ένα επ' άπειρον επεκτεινόμενο Σύμπαν είναι το ίδιο με το να λέμε ότι το Σύμπαν μας έχει μια Κοσμολογική Σταθερά με θετική τιμή.
Ωστόσο υπάρχουν ορισμένα τεράστια προβλήματα. Η Γενική Σχετικότητα καλύπτει μεν αυτή την πλευρά του Σύμπαντος, αλλά δεν μπορεί να περιγράψει τη Μεγάλη Εκρηξη. Ούτε μπορεί να ενώσει τη βαρύτητα, η οποία επενεργεί σε μεγάλες κλίμακες, με την κβαντομηχανική, η οποία επενεργεί σε πολύ μικρές κλίμακες. «Αυτό σημαίνει ότι δεν μπορεί κάποιος να προβλέψει γιατί ζούμε στο Σύμπαν στο οποίο ζούμε» λέει ο κ. Χέρτογκ.
Εσερ και θεωρία των χορδών
Η θεωρία των χορδών από την πλευρά της προσφέρει μια ωραία ολοκληρωμένη εικόνα της ιστορίας του Σύμπαντος και ενώνει τη βαρύτητα με την κβαντομηχανική. Ταιριάζει όμως περισσότερο σε ένα Σύμπαν με αρνητικά καμπυλωμένη, παρόμοια με τα χαρακτικά του Εσερ γεωμετρία και με μια αρνητική Κοσμολογική Σταθερά.
Αυτό έχει φέρει τους φυσικούς μπροστά σε ένα τεράστιο χάσμα: από τη μια πλευρά βρίσκεται ένα Σύμπαν το οποίο λειτουργεί αλλά δεν περιγράφεται από μια πλήρη θεωρία και από την άλλη βρίσκεται μια πλήρης θεωρία η οποία δεν περιγράφει το υπάρχον Σύμπαν.
Η στροφή της πλάστιγγας

Μ.Κ. Εσερ, «Αχιβάδες και αστερίες».
Οι θεωρητικοί των χορδών βασανίζονταν επίσης με σύμπαντα με θετικές κοσμολογικές σταθερές τα οποία έτειναν να είναι ασταθή. Η κατασκευή τους μοιάζει λιγάκι με το να προσπαθεί κάποιος να ισορροπήσει ένα μολύβι όρθιο με τη μύτη: μπορεί να κρατηθεί για λίγο, όμως η ενεργητικά πιο σταθερή κατάσταση ενός μολυβιού είναι να κάθεται ξαπλωμένο στο τραπέζι, οπότε κάποια στιγμή θα πέσει. Οι πιο επιτυχημένες εκδοχές της θεωρίας των χορδών θα προτιμούσαν να ζουν σε ένα σύμπαν σαν αυτό του Εσερ.
«Η θεωρία των χορδών με μια αρνητική Κοσμολογική Σταθερά απλώς λειτουργεί πολύ καλύτερα» λέει ο κ. Χέρτογκ.
Η τελευταία δουλειά του κ. Χόκινγκ υποστηρίζει ότι αυτό το υποτιθέμενο ελάττωμα ίσως τελικά να είναι αυτό που «πλέκει» τη θεωρία των χορδών σε μια πραγματικότητα. Σε μια μελέτη την οποία δημοσίευσαν στον διαδικτυακό τόπο Arxiv.org ο αστροφυσικός και οι συνεργάτες του περιγράφουν πώς παρήγαγαν μια πληθώρα συμπάντων από κυματικές εξισώσεις με αρνητικές κοσμολογικές σταθερές, με κάποια από αυτά να επεκτείνονται και να επιταχύνονται.
«Ορισμένα από αυτά τα σύμπαντα επιταχύνονται ακριβώς σαν το Σύμπαν μας» λέει ο κ. Χέρτογκ. «Αποκαλύπτεται ότι η κβαντική κατάσταση περιλαμβάνει και τα δύο είδη συμπάντων, αυτόματα». Σε μια συγκεκριμένη κυματική εξίσωση μάλιστα αυτά τα επιταχυνόμενα και επεκτεινόμενα σύμπαντα αποδεικνύονται και τα πιθανότερα.
Μια κομψή σύνδεση

Μ. Κ. Εσερ, «Ιπτάμενα ψάρια».
Το κλειδί σε αυτή τη θεωρία ήταν η συνειδητοποίηση ότι τα σύμπαντα που παρήγε η κυματική εξίσωση της ομάδας μπορούσαν να εξελιχθούν ώστε να μοιάζουν πολύ με μια συγκεκριμένη διατύπωση της θεωρίας των χορδών, την οποία έχει αναπτύξει ο Χουάν Μαλντασένα του Ινστιτούτου Προωθημένων Μελετών στο Πανεπιστήμιο του Πρίνστον το 1997. «Υπήρχε μια μαθηματική σύνδεση, μια πολύ κομψή σύνδεση» λέει ο κ. Χέρτογκ.
Από τη στιγμή που εντόπισαν αυτή τη σύνδεση με την κυματική τους εξίσωση, ο κ. Χόκινγκ και η ομάδα του αποφάσισαν να δοκιμάσουν να ενώσουν τις δύο θεωρίες διατυπώνοντας μια καινούργια κυματική εξίσωση με μια αρνητική Κοσμολογική Σταθερά. Θεώρησαν ότι αυτό θα τους επέτρεπε να δανειστούν την ωραία πλήρη μαθηματική εικόνα του Σύμπαντος που προσφέρει η θεωρία των χορδών για να παραγάγουν σύμπαντα που επεκτείνονται επιταχυνόμενα.
Τι γίνεται όμως με τις παρατηρήσεις που υποδηλώνουν ότι το Σύμπαν μας είναι επίπεδο; Κατά τον ίδιο τρόπο που οι νόμοι της κίνησης του Νεύτωνα λειτουργούν για τα καθημερινά αντικείμενα αλλά υποχωρούν παραχωρώντας τη θέση τους στους πιο αναλυτικούς νόμους του Αϊνστάιν στις κοσμολογικές κλίμακες, η ομάδα του κ. Χόκινγκ πιστεύει ότι η φαινομενικά επίπεδη κατάσταση του Σύμπαντος μπορεί να το περιγράφει καλά στο επίπεδο που μας είναι ορατό αλλά από εκεί και πέρα υποχωρεί παραχωρώντας τη θέση της σε μια υποκείμενη γεωμετρία σαν αυτή των έργων του Εσερ.
Ακόμη νωρίς για συμπεράσματα

Μ. Κ. Εσερ,  «Ιππείς».
Ακόμη ωστόσο είναι πολύ νωρίς για να διακηρύξουμε ότι το ζήτημα του Σύμπαντος λύθηκε. Ο κ. Μαλντασένα δηλώνει ότι το μοντέλο της ομάδας του κ. Χόκινγκ δεν καλύπτει ορισμένες πλευρές των ολοκληρωμένων εκδοχών της θεωρίας των χορδών, όπως οι προβλέψεις για τη σταθερότητα ορισμένων σωματιδίων. «Θα ήταν θαυμάσιο αν αυτό ήταν το μόνο που έχουμε να κάνουμε» λέει.«Νομίζω όμως ότι είναι υπερβολικά απλουστευμένο. Είναι δύσκολο να δει κάποιος πώς μπορεί να επεκταθεί σε μια πληρέστερη θεωρία».
Ο κ. Χέρτογκ συμφωνεί ότι η δουλειά τους δεν είναι ολοκληρωμένη. Πιστεύει όμως ότι η αρνητική Κοσμολογική Σταθερά θα οδηγήσει κάποια στιγμή σε μια πλήρη περιγραφή του Σύμπαντος που παρατηρούμε γύρω μας. «Είναι μια λεωφόρος που ανοίγει τώρα» λέει.«Οχι κάτι που ήδη έχουμε στα χέρια μας».

Τα Μαθηματικά στο Βυζάντιο.


Στο Βυζάντιο αναφέρεται ότι τα Μαθηματικά άνθισαν τον 5ο, τον 6ο, τον 9ο, τον 10ο, τον 13ο και τον 14ο αι. Οι μαθηματικοί δε των πρώτων βυζαντινών χρόνων άκμασαν στην Αλεξάνδρεια. Επί Ιουστινιανού, όμως, και λόγω της μεγάλης τότε οικοδομικής δραστηριότητας, το κέντρο βάρους μετατοπίστηκε στην Κωνσταντινούπολη.
Λαμβάνοντας υπόψιν ότι κατά τη χρονικὴ περίοδο (1143-1180), η βυζαντινή αυτοκρατορία είχε ήδη συρρικνωθεί και περιοριστεί σε ελληνόφωνες περιοχές, αλλά το Βυζάντιο παρέμενε πάντα πιο προηγμένο σε σχέση με τη Δύση στον τομέα των Μαθηματικών. Γενικότερα, δεν είναι δυνατόν να κατηγορήσουμε ἀβασάνιστα τους Βυζαντινούς για στασιμότητα στα Μαθηματικά, διότι π.χ. μέχρι το 1816 μ.Χ. που ο Gauss αμφισβήτησε το 5ο αίτημα του Ευκλείδη δεν είχαμε κάποια συνταρακτική επιστημονικὴ ανακάλυψη. Από την άλλη πλευρά, οι Βυζαντινοί διδάσκαλοι φρόντισαν να διατηρήσουν και να μεταδώσουν τις γνώσεις που τους κληροδότησαν οι αρχαίοι Έλληνες, τις οποίες μάλιστα σε ορισμένες περιπτώσεις επαύξησαν σχολιάζοντας τα αρχαία κείμενα και κάνοντας εύστοχες παρατηρήσεις σε αυτά. Κατά την άποψη των ερευνητών, αν δεν υπήρχαν οι Βυζαντινοί αντιγραφείς, ίσως πολλά ἔργα κλασικών συγγραφέων να είχαν χαθεί με την καταστροφή της μεγάλης Αλεξανδρινής Βιβλιοθήκης. Για να είμαστε όμως αντικειμενικοί, οφείλουμε να ἐπισημάνουμε ότι η ουσιαστική επιστημονική πρόοδος υπήρξε ὅταν το 1826 ο Riemann και το 1829 ο Lobatchewsky ἔθεσαν τὶς βάσεις των μη Ευκλειδείων Γεωμετριών.
Παρακάτω παρατίθενται εν συντομία ενδεικτικά στοιχεία της επιστημονικής δραστηριότητας των βυζαντινών επιστημόνων, όπως:
Η έκδοση ανώνυμης μαθηματικής τετρακτύος το 1008, όχι υψηλού επιπέδου, που δείχνει όμως τι είδους κείμενα παραδίδονταν τότε στα πλαίσια μιας έστω και στοιχειωδώς θεσμοθετημένης ἐκπαιδευτικῆς πορείαςΗ Σύνοψη περὶ μετρήσεως και μερισμοῦ της γῆς (γεωδαισία), του Ἰωάννη Πεδιάσιμου (ἐποχὴ των Παλαιολόγων), στην οποία χρησιμοποιήθηκαν από τον συγγραφέα γραπτά του Ευκλείδη, του Ήρωνα του Αλεξανδρέα, και του Ήρωνα του Βυζαντίου.
Το Σύνταγμα των 4 μαθημάτων, ή Τετράβιβλος, του Παχυμέρη (1300), που σε σύγκριση με την τετρακτὺ του 1008 ἀποβαίνει σαφώς υπέρ του, αφού είναι υψηλού επιπέδου από διδακτική άποψη, παρά το ότι έχει συχνά ασαφείς ορισμούς.
Η ¨Ψηφοφορία κατ' Ἰνδοὺς¨ του Πλανούδη (1255-1305).
Η ¨Λογιστικὴ¨ ἀνωνύμου συγγραφέα του 15ου αἰ., η οποία σε η μαθηματικὴ Ἐγκυκλοπαίδεια των Βυζαντινῶν, και πιθανότατα η πρώτη Ἐγκυκλοπαίδεια Μαθηματικῶν.
Κατά το 1300 μ.Χ. ἔγινε στο Βυζάντιο ο διαχωρισμός των "εμπορικών" από τα "ακαδημαϊκά" Μαθηματικά, και μολονότι από τον 14ο αἰ. τα ἐμπορικὰ ή πρακτικά Μαθηματικά δεν διδάσκονταν στα Πανεπιστήμια, η διδασκαλία τους βρισκόταν σε συνεχή ανταγωνισμό με την ύλη που διδασκόταν στὶς Ἀνώτατες Σχολές. Αυτό ὀφειλόταν στο ότι τα πρακτικά Μαθηματικά ενδιέφεραν πλήθος ἀνθρώπων επειδή βοηθούσαν στην επίλυση προβλημάτων σχετιζομένων με ζητήματα της καθημερινής τους ζωής, και επιπλέον κατηγορίες εργαζομένων όπως οι έμποροι, οι χειροτέχνες, οι διοικητικοί υπάλληλοι, οι πρωτομάστορες στις οικοδομές, οι τοπογράφοι κ. ἄ. χρειάζονταν μαθηματικές γνώσεις. Στα τέλη του 14ου αιώνα οι περισσότεροι αξιόλογοι Έλληνες διδάσκαλοι εἶχαν μεταβεί στηΦλωρεντία, ὅπου ἀναβίωσαν την αρχαία ελληνική γνώση. Η δε Φλωρεντία έγινε η κυριότερη αγορά ἀρχαίων χειρογράφων.
Οι τελευταίες δεκαετίες πριν την ἅλωση της Κων/πολης θεωρείται ότι δεν προσέφεραν κάτι σημαντικό στα Μαθηματικά. Ὡστόσο η ύπαρξη μεγάλου πλήθους χειρογράφων δείχνει ότι το ενδιαφέρον για την τετρακτή αλλὰ και τη λογιστική και τη γεωδαισία που ήταν κλάδοι των κατ' εξοχήν εμπορικών Μαθηματικῶν ήταν μεγάλο. Σημειωτέον ότι όπως ήδη αναφέρθηκε, μεγάλος αριθμὸς ελληνικών χειρογράφων είχαν περάσει ή επρόκειτο να περάσουν στη Δύση μέσω της Φλωρεντίας κυρίως, γεγονός που βοήθησε στην πνευματική αναγέννηση της Ευρώπης.
Η Βυζαντινή ἐποχὴ φθάνει στο τέλος της με ἔργα προορισμένα για πρακτική χρήση. Αυτά σε ως επί το πλείστον βιβλία Αριθμητικής, δηλαδή συλλογές ἐπιλεγμένων προβλημάτων λογιστικής και γεωδαισίας που σε δημιουργίες κληροδοτημένες από την παράδοση πολλών χρόνων και πολλών λαών. Αὐτὲς οι συλλογές περιλαμβάνουν στοιχεία πολύτιμα για την ἐξέλιξη του πολιτισμού και τηςγλώσσας, διότι ἀναφέρονται σε διάφορα ζητήματα της καθημερινής ζωής την εποχή εκείνη (μετατροπὲς νομισμάτων, φορολογικά, προβλήματα εταιρείας και γενικά προβλήματα εμπορίου κ.ἄ.). Δυστυχώς τα περισσότερα βιβλία της λογιστικής, τα οποία πιθανότατα προορίζονταν και για διδασκαλία στα τότε Δημοτικά σχολεῖα, χάθηκαν εκτός από ελάχιστα του 14ου και του 15ου αἰώνα. Μερικά από αυτά δημοσιεύθηκαν στη Βιέννη, και σύμφωνα με τους εκδότες H. Hunger και K. Vogel στα αρχεία της Βιέννης ὑπάρχουν πολλά ἀνέκδοτα προβλήματα των τελευταίων χρόνων της Βυζαντινής Αυτοκρατορίας και των πρώτων δεκαετιών από την άλωση της Κωνσταντινούπολης υπό των Τούρκων.


Η θεολογική και αγιολογική γραμματεία του Βυζαντίου έχει ενσωματώσει πολλά πορίσματα της αρχαίας επιστήμης. Για παράδειγμα, ο Φίλων ο Αλεξανδρεύς και ο Μέγας Βασίλειος ανέλυσαν το ιερό κείμενο της Γένεσης με τέτοιο τρόπο ώστε να ταιριάξει με το γενικά αποδεκτό αστρονομικό πρότυπο της ελληνορωμαϊκής παράδοσης περί του γεωκεντρικού σφαιρικού κόσμου. Στην ίδια την Κωνσταντινούπολη επανεκδόθηκαν πολλά έργα αρχαίων και νεότερων επιστημόνων, όπως του Ευκλείδη, του Αρχιμήδη, του Απολλώνιου από την Πέργη της Παμφυλίας, του Κλαύδιου Πτολεμαίου, του Διόφαντου, του Θέωνος του Αλεξανδρέα (του πατέρα της Υπατίας) και άλλων. Αργότερα, αραβικές πηγές αναφέρουν την παρουσία Βυζαντινών επιστημόνων στη Βαγδάτη και τη Δαμασκό, που από τις αρχές του 9oυ αιώνα απέβησαν κέντρα καλλιέργειας των μαθηματικών, ειδικά της άλγεβρας, και της αστρονομίας. Το Βυζάντιο βρισκόταν σε συνεχή επαφή με το αραβικό χαλιφάτο αυτή την περίοδο και η τεχνογνωσία τους, σε ειρηνικά ή πολεμικά έργα, όπως μαρτυρεί η περίπτωση του υγρού πυρός, ήταν σε μεγάλο βαθμό κοινή.
Παράλληλα, η επιστήμη των Αράβων επέδρασε πολύ και τους Βυζαντινούς λόγιους, ιδίως στην επίλυση πρακτικών μαθηματικών προβλημάτων και στην κατάστρωση αστρονομικών πινάκων. Οι πίνακες αυτοί περιείχαν προβλέψεις για τις θέσεις των ουρανίων σωμάτων, των συζυγιών και των εκλείψεων, πολύ χρήσιμων στοιχείων που βοηθούσαν στον υπολογισμό του Πάσχα και τη διάγνωση ωροσκοπίων.
Οι επιστήμες στις οποίες γίνεται περισσότερο έκδηλη η διαφοροποίηση του Βυζαντίου από την παλαιότερη παράδοση και η συμβολή του στην εξέλιξη της επιστήμης είναι η αρχιτεκτονική και η μηχανολογία. Ήδη από την Ύστερη Αρχαιότητα είναι γνωστό ότι λειτουργούσαν ειδικές σχολές τόσο στην Κωνσταντινούπολη όσο και στις μεγάλες πόλεις της επαρχίας. Εκεί, όσοι ήθελαν να γίνουν αρχιτέκτονες μελετούσαν τα έργα του Ευκλείδη, του Βιτρούβιου και του Πάππου από την Αλεξάνδρεια και εμβάθυναν στην αριθμητική και τη γεωμετρία, αλλά και στα πρακτικά μαθηματικά και τις άμεσες εφαρμογές τους.



                                

Πέμπτη 27 Μαρτίου 2014

                           Ένα μουσείο μαθηματικών

             Ανοίγοντας τις πόρτες στη ζωή του Πι 


Joshua Bright
Το έκθεμα "String Product"
Μουσείο Μαθηματικών

   Για όσους έχουν εξαρτηθεί από τις δυνάμεις και τις δυνατότητες των μαθηματικών,
το μυστήριο δεν είναι γιατί δεν έχει εξελιχθεί αυτός ο ενθουσιασμός αλλά γιατί δεν
είναι παγκόσμιος. Πώς μπορούν οι μαθητές να μην έλκονται;
   Γιατί, λοιπόν, μέχρι σήμερα δεν υπήρχε κάποιο σημαντικό μουσείο μαθηματικών στις Η.Π.Α; Γιατί τα μαθηματικά έχουν παραμεληθεί από το πάνθεον των μουσείων; Πιθανώς
κάποιος χομπίστας να έχει εκθέσει γρίφους αλλά ένα ολόκληρο μουσείο αφιερωμένο
στα μαθηματικά; Θα πρέπει να ανατρέξουμε στην ιστορία των μουσείων επιστήμης
στην Ευρώπη, όπου τα μαθηματικά έστεκαν ως θεμέλιος λίθος των πραγμάτων,
για να πάρουμε μια ιδέα.
Ή, για μια τελείως διαφορετική εμπειρία, μπορείτε να επισκεφθείτε το Madison Square
Park στο Μανχάταν για να δείτε το νέο Μουσείο Μαθηματικών, το οποίο αυτοπροσδιορίζεται
ως MoMath. Το MoMath δεν είναι αυτό που ίσως περιμένει κάποιος. Στην αρχή, ίσως
ο επισκέπτης δεν μαντέψει καν το αντικείμενό του. Υπάρχουν μερικά στοιχεία
που αποκαλύπτουν το χαρακτήρα του, ειδικά εάν κάποιος αναγνωρίσει το σύμβολο του
Πι πάνω στην πόρτα ή εάν ανακαλύψει τους νιπτήρες σε σχήμα πεντάγωνου στις
τουαλέτες. Όμως, τι είναι αυτός ο κύλινδρος κατασκευασμένος από πλαστικούς σωλήνες
που οδηγούν στην οροφή με μια θέση εσωτερικά (“Hyper Hyperboloid”);
Ή ένα τρίκυκλο με τρεις τετράγωνες ρόδες, καθεμία διαφορετικού σχήματος, να τσουλάει
κατά μήκος ενός κυκλικού μονοπατιού (“Square-Wheeled Trike”); Επιπλέον, τι είναι αυτή
η οθόνη πάνω στην οποία ζωγραφίζεις ηλεκτρονικά σχέδια με ένα πινέλο (“Polypaint”);
Τα δυο συνδεόμενα μονοπάτια πάνω στα οποία γίνονται αγώνες με αντικείμενα
(“Tracks of Galileo”); Το φωτισμένο με πίξελ δάπεδο, το οποίο ανταποκρίνεται
στις κινήσεις(“Math Square”);
Αυτό δεν είναι μουσείο, ίσως σκεφτεί κάποιος, πρόκειται για μια παιδική χαρά
υψηλής τεχνολογίας, με 30 εκθέματα σε δυο ορόφους. Στέκομαι μπροστά στην οθόνη
και βλέπω τον εαυτό μου σαν δέντρο που πετάει κλαδιά με μικρούς εαυτούς μου
(“Human Tree”). Βούτηξα ένα πινέλο με μπογιά σε νερό κι έφτιαξα ίχνη σε έναν
μαυροπίνακα (“Water Frieze”). Παιδικά παιχνίδια ή μήπως κάτι άλλο;
Ο ιδρυτής του μουσείου, Glen Whitney, αποφάσισε να δημιουργήσει ένα μουσείο όπου
θα υμνούνται τα μαθηματικά. Ο στόχος ήταν να φανεί ότι τα μαθηματικά είναι
διασκεδαστικά, συναρπαστικά. Το MoMath είναι ένα μουσείο προσηλυτισμού. Ενώ, όμως,
από τεσσάρων έως οχτώ θεωρείται ότι είναι το ηλικιακό κοινό στο οποίο απευθύνεται,
είναι δύσκολο να φανταστεί κάποιος ότι ένα μικρότερο παιδί ή ένας ώριμος ενήλικας δε
θα προσελκυστεί από ορισμένα εκθέματα. Με διάφορους τρόπους, η ατμόσφαιρα
που δημιουργούν τα εκθέματα είναι πιο προκλητική από τις εξηγήσεις του περιεχομένου.
Ο λόγος που δεν υπάρχουν πολλά μουσεία μαθηματικών είναι ότι ο ενθουσιασμός που
γεννά το αντικείμενο είναι δύσκολο να επικοινωνηθεί.»
Αυτό το οποίο συμβαίνει με τα καλύτερα εκθέματα του μουσείου είναι ότι βλέπεις τον
εαυτό σου σαν ένα δέντρο που διασπείρει ιδανικές εικόνες του εαυτού σου και μαθαίνεις
για τα μορφοκλάσματα ή βλέπεις τα φώτα από το λέιζερ μέσα από διαφανή στερεά
και αντιλαμβάνεσαι την έννοια του διαστήματος.
Το πρόβλημα είναι ότι δεν υπάρχει αρκετή καθοδήγηση για εμβάθυνση. Τα
εκθέματα προσφέρουν οθόνες αφής, οι οποίες μπορούν να παρουσιάσουν τρεις
διαφορετικές εξηγήσεις αλλά αυτές οι επεξηγήσεις είναι το πιο αδύναμο σημείο του
μουσείου. Οι πιο βασικές είναι συχνά επιτηδευμένες ή αρκετά λεπτομερείς. Όσες είναι σε
πιο προχωρημένο επίπεδο δεν είναι τόσο δηλωτικές.

διασκευή, μετάφραση: Χρύσα Πιπιλή


To Momath άνοιξε!


Τετάρτη 5 Μαρτίου 2014

Tα μαθηματικά τ΄ αγαπώ γιατί ... είναι ωραία!

Τα μαθηματικά μπορεί να είναι πραγματικά ωραία αφού, όπως απέδειξαν Βρετανοί ερευνητές, δημιουργούν στον εγκέφαλο την ίδια αίσθηση που γεννά ένα καλλιτεχνικό αριστούργημα ή η σύνθεση κάποιου μεγάλου μουσουργού.


Για να αποκαλύψουν την ομορφιά της μαθηματικής επιστήμης ή, καλύτερα, κάποιων μαθηματικών τύπων, οι επιστήμονες του University College του Λονδίνου επέδειξαν σε μαθηματικούς «όμορφες» και «άσχημες» εξισώσεις ενόσω υποβάλλονταν σε μαγνητική τομογραφία εγκεφάλου. Οπως διαπιστώθηκε, οι «όμορφες» εξισώσεις ενεργοποιούσαν τα ίδια εγκεφαλικά κέντρα με αυτά που δραστηριοποιούνται όταν αξιολογούμε κάποιο καλλιτεχνικό έργο ως ωραίο. Οι ερευνητές, λοιπόν, πιστεύουν ότι υπάρχει κάποια νευροβιολογική βάση στην ομορφιά.

Τα θεωρήματα του Πυθαγόρα και του Οϊλερ σπάνια περιλαμβάνονται στην ίδια πρόταση με τα έργα του Σαίξπηρ, του Μότσαρτ ή του Μονέ. Και όμως, λένε οι ερευνητές, ο εγκέφαλός μας αναγνωρίζει κάτι κοινό σε όλα αυτά τα πράγματα: την ομορφιά.

Οι ερευνητές έδωσαν σε 15 μαθηματικούς εξήντα εξισώσεις και τύπους και τους ζήτησαν να τις αξιολογήσουν.

Οπως αναφέρει ένας εκ των επιστημόνων που πραγματοποίησαν την έρευνα, ο καθηγητής Σεμίρ Ζέκι, όταν βλέπουμε εξισώσεις, ενεργοποιούνται πολλές περιοχές του εγκεφάλου. Οταν όμως κάποιος κοιτάζει έναν τύπο ο οποίος έχει χαρακτηριστεί «όμορφος», τότε ενεργοποιείται ο «συναισθηματικός εγκέφαλος» ακριβώς όπως όταν βλέπουμε έναν όμορφο πίνακα. Οσο πιο όμορφος είχε θεωρηθεί ο μαθηματικός τύπος, τόσο μεγαλύτερη ήταν η ενεργοποίηση του εγκεφάλου που καταγράφηκε στη διάρκεια της λειτουργικής μαγνητικής τομογραφίας (fMRI).

Στη μελέτη οι περισσότεροι μαθηματικοί επέλεξαν ως «ωραιότερη» την εξίσωση του Οϊλερ καθώς περιλαμβάνει τις πέντε σημαντικότερες μαθηματικές σταθερές και τις τρεις βασικότερες αριθμητικές πράξεις, την πρόσθεση, τον πολλαπλασιασμό και την ύψωση σε δύναμη.

Ο μαθηματικός και καθηγητής Κατανόησης των Επιστημών, Μάρκους ντι Σοτουά επισημαίνει πως ο ίδιος βρίσκει την απόλυτη ομορφιά στα μαθηματικά και ότι ακριβώς αυτό το κάλλος λειτουργεί σαν κίνητρο για κάθε μαθηματικό. Ο Ντι Σοτουά, εξάλλου, σημειώνει ότι είναι πολύ κρίμα που ακριβώς αυτή η ομορφιά των μαθηματικών απουσιάζει από τα σχολεία και ότι ακόμα και μαθητές με στοιχειώδεις γνώσεις θα μπορούσαν να δουν καταπληκτικά πράγματα.

Τέλος, η μελέτη, η οποία δημοσιεύεται στην επιθεώρηση Frontiers in Human Neuroscience, αποδεικνύει ότι τα μαθηματικά είναι όμορφα, αλλά πρόσφατα συνάδελφοί τους από το Πανεπιστήμιο του Μάντσεστερ είχαν αποδείξει ότι υπάρχει σχέση που συνδέει τις αριθμητικές αλληλουχίες και την ίδια τη φύση.

Θα λέγατε ποτέ ότι μια εξίσωση είναι όμορφη; Αν δεν έχετε καλή σχέση με τα μαθηματικά, μάλλον θα απαντήσετε αρνητικά. Οι μαθηματικοί ωστόσο πολύ συχνά χρησιμοποιούν τη λέξη «ωραία» για να εκφράσουν τον θαυμασμό τους προς μια εξίσωση που θεωρούν ξεχωριστή. Και μάλιστα δεν μένουν απλώς στα λόγια. Οι περισσότεροι υποστηρίζουν ότι αυτή την ομορφιά τη νιώθουν πραγματικά, τους συγκινεί με τον ίδιο τρόπο που θα τους συγκινούσε καθετί ωραίο, όπως για παράδειγμα ένα έργο τέχνης. Αυτό ακριβώς ήταν που ώθησε τον Σεμίρ Ζέκι, διακεκριμένο νευροεπιστήμονα και καθηγητή του University College του Λονδίνου, να εξετάσει τους ισχυρισμούς τους στον εγκεφαλικό τομογράφο.

Το «Λεμόνι» (φωτογραφία αριστερά) και το «Παράδεισος και κόλαση» είναι δύο από τις «κλασικές» αλγεβρικές εξισώσεις που οπτικοποιήθηκαν με το πρόγραμμα Surfer του Imaginary από τον Herwig Hauser


Ο καθηγητής Ζέκι, ο οποίος έχει στο ενεργητικό του μια σειρά σημαντικές ανακαλύψεις σχετικά με το οπτικό σύστημα του εγκεφάλου, έχει στρέψει τα τελευταία χρόνια το ενδιαφέρον του στον τομέα της νευροαισθητικής διερευνώντας την αισθητική «λειτουργία» του εγκεφάλου μας. Ενα από τα πιο σημαντικά ευρήματα των μελετών του, οι οποίες ήταν οι πρώτες του είδους, είναι ότι η ομορφιά, είτε προέρχεται από οπτικά ερεθίσματα, όπως στην περίπτωση ενός ζωγραφικού πίνακα ή ενός γλυπτού, είτε από ακουστικά, όπως στην περίπτωση ενός μουσικού κομματιού, «αποτυπώνεται» στην εγκεφαλική δραστηριότητά μας ενεργοποιώντας κυρίως μια συγκεκριμένη περιοχή στον λεγόμενο  «συναισθηματικό εγκέφαλο», τον έσω κογχομετωπιαίο φλοιό (mOFC). Αντίστοιχα ένα έργο τέχνης ή ένα μουσικό κομμάτι το οποίο θεωρούμε άσχημο ενεργοποιεί διαφορετικές - αλλά και πάλι συγκεκριμένες - περιοχές, κυρίως την αμυγδαλή και τον κινητικό φλοιό (δείτε και «Το μέτρο της ομορφιάς», «ΒΗΜΑScience», 7.10.2012).


Τι έκανε όμως τον νευροβιολόγο να στρέψει το ενδιαφέρον του από την «απτή» ομορφιά των αισθήσεων στην καθαρά «αφηρημένη» ομορφιά των μαθηματικών; «Οι λόγοι είναι δύο» μας απαντά ο κ. Ζέκι, τον οποίο συναντήσαμε στην Αθήνα, όπου βρέθηκε με αφορμή την αναγόρευσή του ως επίτιμου διδάκτορα του Ιατρικού Τμήματος της Σχολής Επιστημών Υγείας του Εθνικού και Καποδιστριακού Πανεπιστημίου Αθηνών (ειδικά για την περίσταση μάλιστα εκδόθηκε και διατέθηκε στην τελετή το βιβλίο «Η νευροαισθητική στον 21ο αιώνα - Από τον Πλάτωνα στον Ζέκι» της επίκουρης καθηγήτριας ΝευρολογίαςΜαρίας Αναγνωστούλη-Πουλημένου). «Κατ' αρχάς ήθελα να δω αν αυτή η συναισθηματική εμπειρία της ομορφιάς που περιγράφουν οι μαθηματικοί και η οποία προέρχεται από μια πολύ νοητική πηγή προκαλεί δραστηριότητα στα ίδια σημεία του εγκεφάλου με την ομορφιά που προέρχεται από περισσότερο αισθητηριακές πηγές» εξηγεί.«Δεύτερον, από τον Πλάτωνα και μετά οι μεγάλοι φιλόσοφοι έχουν υποστηρίξει ότι από την ομορφιά παίρνουμε γνώση. Τι είδους γνώση παίρνουμε λοιπόν από τα μαθηματικά; Οι μεγάλοι μαθηματικοί και φυσικοί, όπως ο Πολ Ντιράκ και ο Αλμπερτ Αϊνστάιν, έχουν πει ότι το βασικό χαρακτηριστικό ενός μαθηματικού τύπου ο οποίος είναι αληθής είναι η ομορφιά. Η μελέτη αυτού του είδους της ομορφιάς αναδεικνύεται επομένως σε ένα πολύ ευρύ και πολύ βαθύ ερώτημα σχετικά με το τι είδους γνώση για τον κόσμο μας μάς προσφέρει».

Ομορφιά = αλήθεια
Για να στηρίξει την άποψη ότι με κάποιον τρόπο στο μυαλό μας η ομορφιά συνδέεται με αυτό που θα αποκαλούσαμε «σωστό» ή «αλήθεια» ο καθηγητής φέρνει ως παράδειγμα την περίπτωση του γερμανού μαθηματικού, θεωρητικού φυσικού και φιλοσόφου Χέρμαν Βέιλ, ο οποίος ήταν ένας από τους πρώτους που προσπάθησαν να συνδέσουν τον ηλεκτρομαγνητισμό με τη γενική θεωρία της σχετικότητας. «Κατέληξε σε έναν μαθηματικό τύπο που ο ίδιος πίστευε ότι ήταν πολύ ωραίος αλλά κανείς δεν τον αποδεχόταν γιατί έλεγαν ότι δεν ισχύει» αναφέρει. «Για καμιά δεκαριά χρόνια κανένας δεν έμπαινε καν στον κόπο να τον κοιτάξει. Και ύστερα, με την έλευση της κβαντομηχανικής, ξαφνικά αποδείχθηκε ότι ίσχυε. Εδώ έχουμε λοιπόν μια πίστη στα γεγονότα η οποία στηρίζεται στην ομορφιά πολύ προτού το γεγονός γίνει γνωστό. Και αυτό είναι εκπληκτικό. Ποιες είναι λοιπόν οι αλήθειες που τα μαθηματικά αποκαλύπτουν μέσω της ομορφιάς;».


Η παρατήρηση ότι ένα από τα βασικά επιχειρήματα όσων βρίσκουν μια εξίσωση ωραία είναι πως «έχει νόημα» γι' αυτούς δίνει κατά την άποψη του καθηγητή τροφή για σκέψη σε πολλά επίπεδα. «Μπορούμε να πούμε το ίδιο και για την "Πιετά" του Μικελάντζελο, ότι έχει νόημα; Μπορούμε. Τι σημαίνει, λοιπόν, αυτό το "έχει νόημα;"» διερωτάται.«Φαντάζομαι ότι σημαίνει πως κάτι στη λογική και στον εγκέφαλό μας μάς λέει ότι είναι σωστό, ότι ταιριάζει» συμπληρώνει, προσθέτοντας ότι τα αποτελέσματα αυτής της τελευταίας μελέτης έκαναν τον ίδιο και τους νευροεπιστήμονες και μαθηματικούς συνεργάτες του να συνειδητοποιήσουν ότι άνοιξαν ένα νέο πεδίο προβληματισμού το οποίο απλώνεται σε πολλούς τομείς. «Εγώ τουλάχιστον προβληματίζομαι σχετικά με το εξής: Εχουμε εξελιχθεί στο Σύμπαν. Σε ποιον βαθμό η διατεταγμένη δομή αυτού του Σύμπαντος έχει αποτυπωθεί στον εγκέφαλό μας;» λέει. «Ενα παράδειγμα που μου αρέσει να φέρνω είναι αυτό της θεωρίας των χορδών. Η θεωρία των χορδών είναι μια θεωρία για την οποία δεν υπάρχει πειραματική απόδειξη. Είναι καθαρά θεωρητική. Το ερώτημα είναι: Θα μπορούσαν οι άνθρωποι να επινοήσουν μια θεωρία σαν αυτήν αν δεν είχαμε την εγκεφαλική δομή και λειτουργία που διαθέτουμε; Πιστεύω ότι υπάρχει κάτι στην οργάνωση του εγκεφάλου μας το οποίο μας επιτρέπει να επινοούμε τέτοιες θεωρίες».

Το κάλλος της γνώσης
Υπό αυτό το νέο πρίσμα, σε τι χρησιμεύει τελικά η ομορφιά; «Αυτό είναι ένα από τα πιο ενδιαφέροντα συμπεράσματα που αναδεικνύονται» μας απαντά. «Οι περισσότεροι, συμπεριλαμβανομένων των επιστημόνων και των καλλιτεχνών, θα σας πουν ότι η επιστήμη είναι για τη γνώση και η τέχνη είναι για την απόλαυση. Η ομορφιά και η τέχνη δεν είναι το ίδιο, αλλά για πολύ μεγάλο διάστημα είχαν εξισωθεί, και η ομορφιά είναι επίσης για την απόλαυση. Δεν νομίζω όμως ότι ο Πλάτων θα είχε την ίδια άποψη. Ο Πλάτων θα σας έλεγε ότι η ομορφιά οδηγεί στη γνώση και στη σοφία. Και η γνώση και η σοφία, η απόκτηση της γνώσης, κινούν τη λειτουργία του εγκεφάλου. Ο εγκέφαλος παλεύει διαρκώς για τη γνώση». Αυτό κατά την άποψη του καθηγητή τοποθετεί τον τομέα της νευροαισθητικής σε ένα άλλο, πολύ πιο «βαρύ» επίπεδο από την ελαφρότητα που ενδεχομένως αποπνέει για ορισμένους το συνθετικό «αισθητική». «Για μεγάλο διάστημα ο κόσμος έλεγε: "Νευροαισθητική, τι είναι αυτό; Ο Ζέκι γέρασε. Δούλεψε πάνω στην όραση, στην όραση των χρωμάτων, της κίνησης, των σχημάτων, στις οπτικές περιοχές του εγκεφάλου και τα λοιπά, αυτά ήταν σκληρή επιστήμη. Τώρα γέρασε και κάνει μαλακή επιστήμη"» μας λέει. «Τα πράγματα όμως είναι αντίστροφα. Αυτό που κάνω τώρα είναι σκληρή επιστήμη. Η άλλη είναι εύκολη επιστήμη. Το να κοιτάζεις τις συνδέσεις του εγκεφάλου, από το Α στο Β, αυτό είναι εύκολο. Το να κοιτάζεις πώς αποκρίνονται τα κύτταρα στα ηλεκτρόνια, αυτό είναι εύκολο. Το να μπορέσεις όμως να κατανοήσεις τη νευροβιολογική βάση της ομορφιάς και τι αυτή θέλει να πει και πώς ενσωματώνονται διαφορετικά είδη ομορφιάς σε ένα ενιαίο σύστημα, αυτό είναι σκληρή επιστήμη. Πολύ σκληρή επιστήμη».




Ωραίες και άσχημες
Οι εξισώσεις στον τομογράφο
Ωραιότερη εξίσωση κρίθηκε η ταυτότητα του Οϊλερ (αριστερά), ασχημότερη η σειρά απείρων όρων του Ραμάνουτζαν (δεξιά)



Προκειμένου να ελέγξει αν η «αφηρημένη» ομορφιά των εξισώσεων, η οποία είναι αποτέλεσμα καλλιέργειας και μάθησης και απορρέει από νοητικές διεργασίες και όχι από αισθητηριακά ερεθίσματα, βιώνεται με τον ίδιο τρόπο με την ομορφιά που προκύπτει από την τέχνη, ο νευροεπιστήμονας αποφάσισε να ακολουθήσει την ίδια πειραματική μεθοδολογία με τις προηγούμενες μελέτες του. Με μία διαφορά: ενώ στα προηγούμενα πειράματα, στα οποία είχε διερευνήσει την «οικουμενική» ομορφιά των αισθήσεων, είχε επιλέξει να εξετάσει «κοινούς θνητούς» αποκλείοντας τους ειδήμονες όπως οι κριτικοί και οι ιστορικοί έργων τέχνης ή οι ζωγράφοι και οι μουσικοί, τη φορά αυτή οι συμμετέχοντες ήταν μαθηματικοί και μάλιστα προχωρημένου επιπέδου - μεταπτυχιακοί ή μεταδιδακτορικοί ερευνητές. Οι 15 συμμετέχοντες κλήθηκαν αρχικά να αξιολογήσουν μια σειρά  εξισώσεις ως «ωραίες», «ουδέτερες» ή «άσχημες». Στη συνέχεια είδαν σε τέσσερις διαφορετικές συνεδρίες τις εξισώσεις αυτές να προβάλλονται σε μια οθόνη ενώ οι ίδιοι υποβάλλονταν σε λειτουργική μαγνητική τομογραφία (fMRI) και έκαναν ξανά την αξιολόγησή τους.


Οπως μας λέει ο Σεμίρ Ζέκι, σε ορισμένες περιπτώσεις η αξιολόγηση διέφερε - κάποιος π.χ. μπορεί την πρώτη φορά να είχε αξιολογήσει μια εξίσωση ως «ουδέτερη» αλλά στον εγκεφαλικό τομογράφο να τη θεώρησε «ωραία» ή το αντίστροφο. Το σημαντικό όμως εύρημα που προέκυψε από τις απεικονίσεις ήταν ότι, πέραν των πολλών διαφορετικών περιοχών που ενεργοποιούνται όταν κάποιος εξετάζει μια μαθηματική εξίσωση, στις «ωραίες» εξισώσεις ο εγκέφαλος των εθελοντών εμφάνιζε δραστηριότητα στον έσω κογχομετωπιαίο φλοιό, ακριβώς όπως είχε συμβεί στα πειράματα με τα έργα τέχνης και τις μουσικές συνθέσεις. Επιπλέον, όπως και στα προηγούμενα πειράματα, όσο πιο ωραία έκρινε ο εθελοντής μια εξίσωση τόσο πιο έντονη ήταν η δραστηριότητα στη συγκεκριμένη περιοχή. Αν και παρατηρήθηκαν κάποιες αποκλίσεις, σε γενικές γραμμές για ορισμένες εξισώσεις υπήρξε ομοφωνία: η πιο ωραία από όλες, βάσει των αξιολογήσεων, ανακηρύχθηκε η ταυτότητα του Οϊλερ, ακολουθούμενη από το Πυθαγόρειο Θεώρημα, τον τύπο του Οϊλερ που αφορά τη σχέση μεταξύ εκθετικών και τριγωνομετρικών συναρτήσεων και τις εξισώσεις των Κοσί - Ρίμαν. Ως πιο άσχημη κρίθηκε από τους περισσοτέρους η σειρά απείρων όρων για 1/π του Ραμάνουτζαν, ακολουθούμενη από τη συναρτησιακή εξίσωση του Ρίμαν. Στην κατηγορία των «ουδέτερων» τοποθετήθηκαν μεταξύ άλλων η χαρακτηριστική του Οϊλερ (ή τύπος πολυέδρων του Οϊλερ) και το θεώρημα Γκάους - Μπονέ.




ΑΦΑΙΡΕΣΗ Ή ΕΙΚΟΝΑ;
Στον εγκέφαλο ενός μαθηματικού
Τι είναι εκείνο που κάνει μια εξίσωση ωραία στα μάτια ενός μαθηματικού; «Νομίζω ότι ένας σημαντικός παράγοντας είναι ο συνδυασμός της απλότητας με την πολυπλοκότητα. Θα πρέπει, όταν την κοιτάζεις, να είναι κατά κάποιον τρόπο κομψά απλή, αλλά ταυτόχρονα να μεταδίδει κάτι βαθύ και σύνθετο» λέει μιλώντας στο «Βήμα» ο Αντρέας Ντάνιελ Ματ, μαθηματικός του Μαθηματικού Ινστιτούτου του Ομπερβόλφαχ στη Γερμανία. Ολα βεβαίως, όπως προσθέτει, εξαρτώνται από την εμπειρία που έχει κάποιος. «Αν δουλεύεις πολύ με πολύ σύνθετες εξισώσεις, προφανώς τις βρίσκεις και αυτές πολύ ωραίες γιατί τις ξέρεις και σε συγκινούν μόλις τις βλέπεις» εξηγεί. «Εδώ λοιπόν ερχόμαστε στον δεύτερο παράγοντα, τη συγκίνηση, τα συναισθήματα που σου προκαλεί η εξίσωση όταν την κοιτάζεις. Αυτά φυσικά σχετίζονται είτε με την εμπειρία που είχες δουλεύοντας με αυτήν είτε με την εμπειρία που βιώνεις εκείνη τη στιγμή όταν κοιτάζεις μια εξίσωση και αυτή σου προσφέρει ένα νέο στοιχείο ή μια καινούργια γνώση. Για παράδειγμα, η ταυτότητα του Οϊλερ δίνει μια νέα σχέση μεταξύ των άρρητων αριθμών και του 1 ή του -1 και του 0. Είναι απλή, αλλά σου δείχνει μια σχέση η οποία σε εκπλήσσει και δεν την περίμενες». Ο τρίτος παράγοντας είναι δυσκολότερο να προσδιοριστεί αλλά φαίνεται να είναι εξίσου σημαντικός - αν όχι σημαντικότερος, αν σκεφθούμε και την «εξίσωση» των επιστημόνων που θέλει την ομορφιά να ισοδυναμεί με το «σωστό» και την «αλήθεια». «Δεν ξέρω πώς να το περιγράψω ακριβώς, είναι ένα συναίσθημα, μια αίσθηση ότι πρόκειται για κάτι κλασικό και αιώνιο, ένα είδος μακροπρόθεσμης ομορφιάς - κάτι το οποίο υπήρχε, υπάρχει και θα υπάρχει πάντα, θα είναι πάντα έτσι. Είναι απλό αλλά και πολύ βαθύ ταυτοχρόνως».


Ο καθηγητής Ζέκι μας είπε ότι ο σερ Μάικλ Ατίγια, ο επιφανής βρετανός μαθηματικός με τον οποίο συνεργάστηκε στη μελέτη, απογοητεύθηκε από το γεγονός ότι η σειρά απείρων όρων του Ραμάνουτζαν, μια πολύ σημαντική εξίσωση, αξιολογήθηκε ως η πιο άσχημη. Ο κ. Ματ έχει όμως μια εξήγηση γι' αυτό και μας τη σχηματοποιεί με έναν μουσικό παραλληλισμό, παρομοιάζοντας την εξίσωση του Οϊλερ με τη μουσική του Μότσαρτ και εκείνη του Ραμάνουτζαν με τη σύγχρονη κλασική μουσική. «Εγώ θεωρώ ότι και η εξίσωση του Ραμάνουτζαν είναι πολύ ωραία, πρέπει όμως να την έχει συνηθίσει κάποιος για να την εκτιμήσει. Ξέρετε, υπάρχει σχέση με την τέχνη και τη μουσική. Για παράδειγμα, η κλασική μουσική του Μότσαρτ είναι εύκολη στο άκουσμα, την έχουμε συνηθίσει και μας αρέσει αμέσως, όπως η εξίσωση του Οϊλερ. Η σύγχρονη κλασική μουσική είναι όμως δύσκολη, όπως και η free jazz. Αρχικά μπορεί να ηχεί ακόμη και άσχημη. Οταν όμως κάποιος "μπει" μέσα σε αυτήν, τη λατρεύει. Οι σύνθετες εξισώσεις όπως αυτή του Ραμάνουτζαν είναι κάπως έτσι. Δεν ξέρω αν μπορεί κάποιος να πει ότι είναι σύγχρονα μαθηματικά, είναι όμως μια διαφορετική θεωρία των αριθμών».


Ο μαθηματικός εργάζεται μεταξύ άλλων στο Imaginary, ένα πρόγραμμα του Ινστιτούτου του Ομπερβόλφαχ το οποίο έχει ως στόχο να κάνει κατανοητά τα μαθηματικά στο ευρύ κοινό. Ενα από τα «εργαλεία» που έχουν αναπτύξει για αυτόν τον σκοπό είναι το Surfer, ένα λογισμικό που επιτρέπει στον χρήστη να οπτικοποιήσει εξισώσεις και να τις μετατρέψει, προσθέτοντας χρώματα και τοποθετώντας τες στον χώρο, σε πραγματικά έργα τέχνης (το «ΒΗΜΑScience» σε συνεργασία με το Ινστιτούτο είχαν διοργανώσει έναν σχετικό διαγωνισμό - δείτε και «Η ομορφιά του Imaginary», «ΒΗΜΑScience», 13.2.2011). Το Surfer λειτουργεί μόνο με αλγεβρικές εξισώσεις, οπότε δεν μπορεί να μας προσφέρει τη χαρά να απολαύσουμε έστω οπτικά τις εξισώσεις που χρησιμοποιήθηκαν στη μελέτη του καθηγητή Ζέκι. Το βέβαιον πάντως είναι ότι, ακόμη και αν είχαμε αυτή την ευκαιρία, η συγκίνηση που θα νιώθαμε θα ήταν εντελώς διαφορετική από αυτήν των «μυημένων» στα μαθηματικά. Οπως μας λέει ο κ. Ματ, οι μαθηματικοί δεν μετατρέπουν απαραίτητα στο μυαλό τους τις εξισώσεις σε εικόνες - ο τρόπος που τις αντιλαμβάνονται δεν είναι τόσο οπτικός όσο νοητικός. «Με το Surfer όμως η εξίσωση γίνεται εικόνα και αυτό είναι ένα άλλο είδος ομορφιάς το οποίο χρησιμοποιούμε πολύ στο Imaginary» εξηγεί.«Είναι η ομορφιά της οπτικοποίησης των εξισώσεων που προσφέρει ως αποτέλεσμα μια όμορφη εικόνα των αλγεβρικών επιφανειών στον χώρο. Και αυτό είναι ωραίο, με έναν διαφορετικό τρόπο».

Έντυπη