ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΣΕ GEOGEBRA.

A΄ γυμνασίου

ΑΛΓΕΒΡΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1

1. Τετράγωνοι αριθμοί

2. Πρόβλημα στην επιμεριστική ιδιότητα.

3. Ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο.

4. Μέγιστος κοινός διαιρέτης.

5. Πρώτοι αριθμοί.

6. Γινόμενο μικρότερο από ένα παράγοντά του.


ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2

7. Το κλάσμα ως μέρος του όλου.

8. Eισαγωγή στην έννοια του κλάσματος

9. Πίτσες σε παιδιά. Το κλάσμα ως διαίρεση μερισμού.

10. Τοποθέτηση κλάσματος σε άξονα.

11. Κλάσμα σε μεικτό αριθμό.

12. Ισοδύναμα κλάσματα.

13. Σύγκριση κλασμάτων.

14. Η διαδρομές για το σχολείο. Σύγκριση κλασμάτων.

15. Μετατροπή σε ομώνυμα κλάσματα

16. Πολλαπλασιασμός κλασμάτων


ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5

17. Ποσοστά - κλάσματα - δεκαδικοί αριθμοί.

18 .Εκπτώσεις. Πρόβλημα στα ποσοστά.

19 Κήπος με λαχανικά. Πρόβλημα στα ποσοστά.


ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6

20. Προσδιορισμός θέσης αντικειμένων με συντεταγμένες.

21. Αρχική δραστηριότητα στις συντεταγμένες σημείου.

22. Προσδιορισμός της θέσης ιστιοφόρου με συντεταγμένες.

23. Αγώνας γκολφ ( Δραστηριότητα στις συντεταγμένες)

24. Γεωγραφικές συντεταγμένες

25. Τομ και Τζέρυ. Λόγος υψών.

26, Ανάλογα ποσά.

27. Γλυκό βύσσινο. Πρόβλημα στα ανάλογα ποσά.

28. Χρέωση ομιλίας σε κινητό. Πρόβλημα στα ανάλογα ποσά.

29. Παραγωγή λαδιού. Πρόβλημα στα αντιστρόφως ανάλογα ποσά


ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7

30. Ύψος και βάθος. Προσομοίωση στους αρνητικούς αριθμούς.

31. Πρόσθεση ακέραιων αριθμών.

32. Αλληλοεξουδετέρωση στην πρόσθεση ρητών αριθμών

33. Βαγόνι. Εφαρμογή στην πρόσθεση ρητών

34. Πολλαπλασιασμός ακέραιων αριθμών.


ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 

35. Μέτρηση γωνίας με μοιρογνωμόνιο.

36 Σχεδίαση κάθετου τμήματος.

37. Προβολέας. Προσομοίωση στη διχοτόμο και στις εντός εναλλάξ γωνίες.

38. Η μεσοκάθετος ως γεωμετρικός τόπος σημείων.

39. Oι κατασκηνώσεις. Πρόβλημα στη μεσοκάθετο.

40. Το λεωφορείο. Προσομοίωση στην μεσοκάθετο.

41. Κατασκευή υδραγωγείου.  Πρόβλημα στη μεσοκάθετο.

42. Aπόσταση σημείου από ευθεία.

43. Κύκλος και ευθεία.

44. Θέση γεώτρησης . Πρόβλημα στη σχετική θέση δύο κύκλων.

45. Κατασκευή χοιροστασίου. Πρόβλημα στην σχετική θέση δύο κύκλων.

46 Κυκλικός κόμβος

47. Tα σπίτια κοντά στο σχολείο


ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2

48. Συμμετρικά σχήματα

49. Συμμετρία.

50 . Συμμετρία εικόνας.

51. Εντός εναλλάξ γωνίες και παραλληλία.

52. Εντός επί τα αυτά γωνίες και παραλληλία ευθειών.

53. Το μπιλιάρδο. Εφαρμογή στις εντός εναλλάξ γωνίες.


ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3

54 Iσοσκελές και ισόπλευρο  τρίγωνο.

55. Άθροισμα γωνιών τριγώνου.

56. Άθροισμα γωνιών και εξωτερική γωνία τριγώνου.

56. Πειραματίζομαι με το άθροισμα γωνιών τριγώνου

Β΄ γυμνασίου

ΑΛΓΕΒΡΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1

1. Η έννοια της μεταβλητής μέσα από γεωμετρικό πρόβλημα.

2. Γονείς και παιδιά. Πρόβλημα στην επίλυση εξισώσεων.

3. Οι ποδηλάτες. Προσομοίωση στην επίλυση εξισώσεων.

4. Ζητείται αριθμός. Πρόβλημα στις εξισώσεις.

5. Περίμετρος τριγώνου. Πρόβλημα στις εξισώσεις.

6. Ιδιότητα ανισοτήτων 1.

7. Ιδιότητα ανισοτήτων 2.

8. Το φορτηγό με τα κιβώτια. Πρόβλημα στις ανισώσεις.


ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2

9. Το οικόπεδο. Δραστηριότητα στην τετραγωνική ρίζα.

10. Τοποθέτηση του ρίζα 2 στον άξονα.


ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3

11. Η συνάρτηση ως μαθηματική μηχανή.

12. Θερμοκρασία του αέρα. Πρόβλημα στις γραφικές παραστάσεις.

13. Τα δύο ταξί. Αλγεβρική και γραφική επίλυση ανισώσεων.

14. Αύξηση 20%. Πρόβλημα στην y = αx.

15. Δείκτης μάζας.

16. Γραμμική εξάρτηση εμβαδού.

17. Κίνηση αυτοκινήτου. Προσομοίωση στην y = αx

18. Aγώνας αυτοκινήτων. Προσομοίωση στην y = αx.

19. Η βάρκα. Προσομοίωση στην y = αx.

20. Κάθετες διαδρομές. Προσομοίωση στην y =αχ με χρήση πυθαγόρειου.

21. Βαθμοί Φερενάιτ. Μοντέλο στην y = αx + β.

22. Το μεταλλικό φύλλο. Η συνάρτηση y = αx +β.

23. Προσγείωση αεροπλάνου. Προσομοίωση στην  y = αx + β.

24. Το κουνέλι της Ιωάννας. Πρόβλημα στην υπερβολή.

25. Άξονες συμμετρίας υπερβολής

26.  y = x^2


ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4

27. Κυκλικό διάγραμμα. Εφαρμογή στη στατιστική.


ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1

28.  Μετρώντας το εμβαδόν μιας επιφάνειας.

29 Eμβαδόν παραλληλογράμμου.

30 Εμβαδόν τριγώνου.

31. Εμβαδόν τραπεζίου.

32. Ισοπεριμετρικό πρόβλημα.

33 Εμβαδόν χαρταετού

34. Η σκάλα στον τοίχο. Πρόβλημα στο πυθαγόρειο θεώρημα.

35. Διπλασιασμός τετραγώνου. Πρόβλημα στο πυθαγόρειο θεώρημα.

36. Απόσταση δύο σημείων. Εφαρμογή στο πυθαγόρειο θεώρημα.

37. Ιδιότυπο πυθαγόρειο θεώρημα.

38. Το πυθαγόρειο θεώρημα και η γενίκευσή του.

39. Ο γερανός. Πρόβλημα στο πυθαγόρειο θεώρημα.

40. Η ντουλάπα. Εφαρμογή στο πυθαγόρειο θεώρημα.



ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2

41. Κλίση ανηφορικού δρόμου.

42. Εφαπτομένη γωνίας.

43. Βρες την εφαπτομένη γωνίας.

44. Το ύψος του φάρου. Εφαρμογή στην τριγωνομετρία.

45. Μετρώντας το ύψος του σχολείου.

46. Ιστιοφόρο. Πρόβλημα στην εφαπτομένη γωνίας.

47. Το ψάρεμα. Πρόβλημα στην τριγωνομετρία

48. Το Παραλλακτικό όργανο του Πτολεμαίου. ( ημίτονο γωνίας)

49. Το λεωφορείο κάνει όπισθεν. Πρόβλημα στην τριγωνομετρία.

50 . Το αερόστατο. Πρόβλημα στην τριγωνομετρία.



ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3

51. Οπτικό πεδίο. Εγγεγραμμένες γωνίες.

52 Πάσα σουτ και γκολ Εφαρμογή στην εγγεγραμμένη γωνία σε ημικύκλιο.

53. Κανονικά πολύγωνα.

54. Χελώνα και λαγός. Πρόβλημα στο μήκος ημικυκλίου.

55. Το πείραμα του Ερατοσθένη

56. Το εμβαδόν της καρδιάς. (Εφαρμογή στο εμβαδόν κύκλου)

57. Εμβαδόν της καραμούζας.

58. Εμβαδόν επιφάνειας CD.

Γ΄  γυμνασίου

ΑΛΓΕΒΡΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1

1. Η ρίζα αθροίσματος σε σχέση με το άθροισμα ριζών.

2. Άθροισμα όμοιων μονωνύμων.

3. Άθροισμα και διαφορά πολυωνύμων.

4. Τετράγωνο αθροίσματος.

5. Διαφορά τετραγώνων.


ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2

6. Eπίλυση εξίσωσης 2ου βαθμού.

7.  Αραβική μέθοδος επίλυσης εξίσωσης 2ου βαθμού

8. Εμβαδόν ορθογωνίου τριγώνου. Πρόβλημα στις εξισώσεις 2ου βαθμού.

9. Το άθροισμα τετραγώνων δύο περιττών αριθμών. Εξίσωση 2ου βαθμού.

10. Ανισωτικές σχέσεις. Όρια περιμέτρου και εμβαδού.

11 Άσκηση στη διάταξη πραγματικών αριθμών.


ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3

12. Δίκλινα και τρίκλινα δωμάτια. Γραμμική εξίσωση με δύο αγνώστους.

13. Κερματοδέκτης. Γραμμική εξίσωση με δύο αγνώστους

14. Εξίσωση ευθείας με παράμετρο λ. 

15. Γραφική επίλυση συστήματος.

16. Μέθοδος αντίθετων συντελεστών.

17. Κότες και κουνέλια. Πρόβλημα στην επίλυση συστήματος.

18. Εισητήρια Α΄ και Β΄ θέσης. Επίλυση συστήματος.

19. Αναζήτηση συντελεστών τριωνύμου. Επίλυση συστήματος


ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4

20. Κίνηση αυτοκινήτου με επιτάχυνση. Προσομοίωση στην παραβολή.

21. Συμμεταβολή : y = x^2 + 4

22. Εκτέλεση φάουλ. Προσομοίωση στην παραβολή.

23. Το κατάστημα κι ο αρχιτέκτων. Πρόβλημα στο μέγιστο παραβολής.

24. Ελάχιστο άθροισμα εμβαδών. Πρόβλημα στο ελάχιστο παραβολής.

25. Σημείο κινείται σε ευθεία. Ελάχιστο παραβολής.

26. Σκέιτμπορντ. Εφαρμογή στην παραβολή


ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1

27. Kριτήριο ισότητας τριγώνων.

28 Κριτήριο Π - Γ- Π

29. Κριτήριο Γ - Π - Γ

30. Πλάτος λίμνης.( Η μέθοδος του Ήρωνα στα όμοια τρίγωνα).

31. Λόγος εμβαδών ομοίων σχημάτων.

32. Λόγος εμβαδών όμοιων κανονικών πολυγώνων.

33. Μπόλεκ και Λόλεκ. Εφαρμογή στο λόγο των εμβαδών ομ. σχημάτων.

34.Ύψος πυραμίδας. Μέθοδος Θαλή με χρήση ομοίων τριγώνων.

35. Νερόλακκος. Πρόβλημα στο λόγο ευθυγράμμων τμημάτων.

36. Ποτήρι και καλαμάκι.Πρόβλημα στο θεώρημα Θαλή.


ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2

37. Τριγωνομετρικοί αριθμοί οποιασδήποτε γωνίας.

TΕΣΤ ΣΤΟ HOT POTATOES.

            
Kάντε κλικ στις παρακάτω εφαρμογές και κατόπιν επιλέξτε "Λήψη" (Download) για να εμφανιστούν τα τεστ προς χρήση.


Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

1. Τεστ στα πολλαπλάσια και τους διαιρέτες.

2. Tεστ στην ευκλείδεια διαίρεση.

3. Tεστ στα ποσοστά .

4. Τεστ στους δεκαδικούς αριθμούς.

5. Τεστ στην έννοια της μεταβλητής.

6. Tεστ στις εξισώσεις.

7. Tεστ στα ανάλογα και αντιστρόφως ανάλογα ποσά.

8. Tεστ στις πράξεις ρητών αριθμών.



Β'  ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

1. Tεστ στις ιδιότητες των ανισοτήτων .

2. Τεστ στις συναρτήσεις .

3. Tεστ στη Στατιστική.

4. Tεστ στην τετραγωνική ρίζα .

5. Tεστ στα εμβαδά γεωμετρικών σχημάτων .

6. Tεστ στο μήκος και το εμβαδόν κύκλου .



Γ΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

1. Τεστ στις εξισώσεις 2ου βαθμού .

2. Τεστ στα γραμμικά συστήματα.

3. Τεστ στα ίσα και όμοια τρίγωνα.

4. Τεστ στην τριγωνομετρία.

TΑ VIDEO MOY ΓΙΑ ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ.


Α. Ξεκινάμε με video που σχετίζονται με την Ιστορία των μαθηματικών.

1. Ο Θαλής Μιλήσιος : ο άνθρωπος της σκιάς.

2. Πυθαγόρας :  ο άνθρωπος που έβλεπε παντού αριθμούς.

3. Ευκλείδης : ο άνθρωπος της αυστηρότητας.

4. Aρχιμήδης ο μεγαλοφυής!

5. Ιστορικά στοιχεία τριγωνομετρίας.

Β. Συνεχίζουμε με video που σχετίζονται με συγκεκριμένες διδακτικές ενότητες

Α΄  ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ.

1. Κλάσματα.

2.  Το παραμύθι του μαγεμένου βατράχου στην πρόσθεση ρητών.

3.  Θερμοκρασίες και πρόσθεση ρητών αριθμών.

4. Φυτεύοντας στον κήπο.(Πρόβλημα στα ποσοστά).

Β΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ.

1.  H σκάλα στον τοίχο. (Πρόβλημα στο πυθαγόρειο θεώρημα).

2.  Aν ο Θαλής γνώριζε την εφαπτομένη γωνίας.

3.  Τα κανονικά εξάγωνα στις κυρήθρες και στις χιονονιφάδες.

4.  Επιμεριστική ιδιότητα.

5. Πρόβλημα : Το φορτηγό και τα κιβώτια.

6. Πρόβλημα : Οι γονείς και τα παιδιά στο θέατρο.

Γ΄  ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ.

1.  Μέτρηση του ύψους της πυραμίδας του Χέοπα. ( Όμοια τρίγωνα).

2. Tα κύρια και δευτερεύοντα στοιχεία τριγώνων.

3.  Tετράγωνο αθροίσματος.

4.  Παγόβουνο που λιώνει. (Πρόβλημα στις εξισώσεις β΄ βαθμού).

Α΄ ΛΥΚΕΙΟΥ.

1.  Λύνοντας γεωμετρικά εξισώσεις με απόλυτα.

Παρακάτω θα βρείτε συνδέσεις όπου θα βρείτε video  της Εκπαιδευτικής Τηλεόρασης της ΕΡΤ :

1. Βιογραφίες αρχαίων Ελλήνων μαθηματικών.

2. Μαθήματα για μαθηματικά δημοτικού.

Ο Αριστοφάνης σατυρίζει τα μαθηματικά της εποχής του!

O Aριστοφάνης ήταν ένας από τους πιο πετυχημένους κωμωδιογράφους της εποχής του.Γενικά το έργο του αντανακλά τα ενδιαφέροντα της εποχής , ποικίλλοντας από σκληρά σχόλια για τον μακροχρόνιο πόλεμο της Αθήνας με τη Σπάρτη μέχρι ασεβείς προσωπογραφίες δικαστικών , φιλοσόφων , ποητών και μαθηματικών.Στους Όρνιθες διακωμωδεί τον Μέτωνα. Ο Μέτωνας είχε ικανότητες μηχανικού και αστρονόμου , πολεοδόμου και αρχιτέκτονα.Γνωρίζουμε ότι ήταν υπεύθυνος για την αναμόρφωση του αθηναϊκού ημερολογίου.Ο Μέτων έγινε αντικείμενο αστεϊσμών από τον Αριστοφάνη επειδή ασχολούνταν με ένα είδος μαθηματικών που δεν θεωρούνταν σημαντικά και ήταν δύσκολο να τα καταλάβει κάποιος.Ας δούμε τον παρακάτω διάλογο από το έργο του Αριστοφάνη :

 ΜΕΤΩΝ : Να  'μαι κι εγώ!

ΠΕΙΣΘΕΤΑΙΡΟΣ : Άλλος μπελάς και τούτος! Τι θες εδώ; Βρήκες καμιά εφεύρεση σπουδαία; Τι μας κουβαλήθκες εδώ;

ΜΕΤΩΝ : Ήρθα να μετρήσω τον αέρα σας , να βρω τα στρέμματα που πιάνει.

ΠΕΙΣΘΕΤΑΙΡΟΣ : Θεός φοιλάξοι!Ποιος είσαι εσύ;

ΜΕΤΩΝ : Ποιος είμαι εγώ;Ο Μέτων , με ξέρει όλη η Ελλάδα!

ΠΕΙΣΘΕΤΕΡΟΣ :Μπα; Και τι είναι όλα αυτά;

ΜΕΤΩΝ : Τα σύνεργα για να μετρήσω τον αέρα που η γη στριφογυρίζει. Κοίτα λοιπόν , θα βάλω τον κανόνα τον κυρτό , ύστερα θα καρφώσω τον διαβήτη . . . Κατάλαβες;

ΠΕΙΣΘΕΤΑΙΡΟΣ : Ούτε λέξη.

ΜΕΤΩΝ  : Μετά θα βάλω τον κανόνα τον ορθό κι ο κύκλος μας τετράγωνο θα γίνει. Στο κέντρο θα είναι η αγορά κι εκεί οι δρόμοι θα φτάνουν από όλες τις μεριές όπως τ' αστέρια , που φαντάζουν στρογγυλά , αλλά παντού οι ακτίνες τους πηγαίνουν.

ΠΕΙΣΘΕΤΑΙΡΟΣ : Λοιπόν ο Μέτωνας είναι ένα ς Θαλής σωστός!

Σε ένα άλλο έργο του ο Αριστοφάνης διακωμωδεί την νέα πνευματική εκπαίδευση των σοφιστών :

ΣΤΡΕΨΙΑΔΗΣ : Κι αυτό εδώ τι είναι;

ΜΑΘΗΤΗΣ : Αυτά; Γεωμετρία.

ΣΤΡΕΨΙΑΔΗΣ : Ωραία. Πού χρησιμεύει όμως;

ΜΑΘΗΤΗΣ : Για να καταμετρήσουμε τη γη.

ΣΤΡΕΨΙΑΔΗΣ : Εννοείς τη γη των κληρούχων;

ΜΑΘΗΤΗΣ : Όχι μόνο αλλά ολόκληρο τον κόσμο.

ΣΤΡΕΨΙΑΔΗΣ : Θαυμάσια: Είναι λοιπόν μια χρήσομη και δημοκρατική εφεύρεση η γεωμετρία.

      Ο κληρούχος ήταν ένας άποικος στρατιώτης που λαμβάνει γη ως αμοιβή για τη θητεία του.Στην μετάφραση χάνεται το λογοπαίχνιο που χρησιμοποιεί ο Αριστοφάνης .Η έκφραση "ολόκληρο τον κόσμο" αποδίδεται ατσο αρχαίο κείμενο "την σύμπασαν" που σημαίνει για όλους. Εδώ ο Αριστοφάνης υπαινίσσεται ότι η διανομή γης θα έπρεπε να γίνεται για όλους και μετά να καταμετρείται από τους γεωμέτρες.Βέβαια το βαθύτερο νόημα αυτής της σάτυρας είναι ότι ο μαθητής λέει ότι η γεωμετρία ασχολείται με γενικά και αφηρημένα πράγματα αλλά ασφαλώς όχι με τη λύση των οικονομικών προβλημάτων του κόσμου.
      Άλλωστε στην εποχή εκείνη υπήρχε και από άλλους συγγραφείς μια κριτική και δυσπιστία για τα ζητήματα με τα οποία ασχολούνταν οι γεωμέτρες όπως τον τετραγωνισμό του κύκλου , τα οποία δεν σήμαιναν τίποτα για τις πρακτικές ανάγκες των ανθρώπων. Ο Διογένης ο Κυνικός αναρωτιόταν μήπως " οι μαθηματικοί ασχολούνταν με τον ήλιο και τη σελήνη , αδιαφορώντας για τα καθημερινά πράγματα. Ο Ισοκράτης ενώ δεχόταν ότι η γεωμετρία μπορούσε να θεωρηθεί ένα πνευματικό γύμνασμα για τους νέους παρά ταύτα : " οι περισσότεροι θεωρούν αυτές τις σπουδές κενές συζητήσεις και λεπτολογίες επειδή κανένα από αυτά τα πράγματα δεν είναι χρήσιμο στην ιδιωτική και στην δημόσια ζωή".Προειδοποιούσε επίσης για τους κινδύνους της υπερβολικής χρήσης των μαθηματικών η οποία θα μπορούσε να εμποδίσει την αρμονική ανάπτυξη τους. Επίσης ότι η σχολαστική ακρίβεια των μαθηματικών απομακρύνει την χρησιμότητα  τους και δεν είναι πάντα αναγκαία.Κατά τον Πλάτωνα βέβαια πρέπει να διαχωρίσουμε τα μαθηματικά σε δύο δρόμους. Εχουν διπλή ιδότητα. Υπάρχουν από τη μια μεριά τα μαθηματικά για τους πολλούς , τους λιανοπωλητές και τους εμπόρους που αποβλέπουν στο κέρδος.Από την άλλη υπάρχουν η αριθμητική εκείνη και η φιλοσοφική γεωμετρία για τους λίγους.Καταλήγει στο συμπέρασμα : " οι τέχνες και τα μαθηματικά που εμπνέονται από τους πραγματικούς φιλοσόφους είναι απείρως ανώτερες σε ακρίβεια και αλήθεια σχετικά με τα μέτρα και τους αριθμούς".Επηρεασμένη η ελληνική σκέψη από τον Πλάτωνα συνδέει τα μαθηματικά με τη φιλοσοφία και θεωρεί ότι οι φιλόσοφοι οφείλουν να έχουν την εποπτεία των μαθηματικών.

Από το βιβλίο : " Αρχαία Μαθηματικά" της S. Cuomo  , λέκτωρα του Κέντρου Ιστορίας των Επιστημών και της Τεχνολογίας του Κολεγίου του Λονδίνου.

Escher : Μαθηματικός χωρίς να το ξέρει.

O M.C. Escher, που ήταν ένα κράμα καλλιτέχνη και επιστήμονα, έγινε παγκοσμίως γνωστός για τις ασυνήθιστες λιθογραφίες και ξυλογραφίες του. Τα μοναδικά και συναρπαστικά έργα τέχνης του  είναι ένα ταξίδι μεταξύ της φαντασίας, των μαθηματικών και της πραγματικής ζωής. Ο ίδιος είχε πει:

“Λοιπόν, ας προσπαθήσουμε ν’ ανέβουμε στο βουνό, όχι πατώντας σ’ αυτό που βρίσκεται από κάτω μας, αλλά ελκόμενοι από αυτό που είναι από πάνω μας: για μένα αυτό είναι τ’ αστέρια”.  

Είχε δηλώσει επίσης : “Διασχίζω συνεχώς το σύνορο μεταξύ μαθηματικών και τέχνης”. Προσθέτοντας άλλοτε,

“Να είστε βέβαιοι ότι  αυτό που νομίζετε πως βλέπετε είναι  πραγματικά αυτό που βλέπετε. Προσπαθήστε να πιστέψετε στα μάτια σας…. ” 

Ο θεατής βλέποντας τα έργα του δεν μπορεί να μην παραξενεύεται από τις εικόνες του, αφού βρίσκεται αντιμέτωπος με ένα σχεδόν απτό, παιχνιδιάρικο κόσμο ονείρων.Είναι από τους καλλιτέχνες του 20^ου αιώνα με τη μεγαλύτερη διάδοση του έργου του και ταυτόχρονα από τους πιο άγνωστους με την έννοια του λιγότερου κατανοημένου. 

Τα έργα του αντανακλούν ένα πλήθος μαθηματικών ιδεών και ειδικά έννοιες και τεχνικές της σύγχρονης γεωμετρίας. Είναι διαχρονικά  και ασκούν πραγματική έλξη εξαιτίας της…. Στερεότητας και της Παραίσθησης… δηλαδή το  παιχνίδι του δημιουργού με τα οπτικά και μαθηματικά παράδοξα.

Ο M.C Escher γεννήθηκε το 1898 και πέθανε το 1972 στην Ολλανδία. Κατά τη διάρκεια των σχολικών του χρόνων αντί  να ασχολείται με τα μαθήματα προτιμούσε να παρατηρεί τα σύννεφα προσπαθώντας να διακρίνει συγκεκριμένα σχήματα μέσα σε αυτά ενώ παράλληλα περίμενε με ενδιαφέρον τα εβδομαδιαία 2ωρα μαθήματα σχεδίου και χαρακτικής. Ξεκίνησε σπουδές στην Αρχιτεκτονική αλλά πολύ σύντομα, με τη συμβουλή του δασκάλου του, ασχολήθηκε σχεδόν αποκλειστικά με τις Γραφικές Τέχνες. Τελείωσε τη σχολή του το 1922. Ο δάσκαλός του, ο οποίος  πρόσεξε τις ικανότητές του στο σχέδιο, του δίδαξε πολλές πτυχές της τέχνης της ξυλογραφίας και τον ενθάρρυνε να πειραματιστεί. Έτσι το ενδιαφέρον του Escherστράφηκε προς τη χαρακτική και διακοσμητική τέχνη και ιδιαίτερα στην ξυλογραφία και ξυλοτυπία.

Στη διάρκεια της ζωής του ο Escher ήταν αληθινός Ευρωπαίος καλλιτέχνης, κατοίκησε και εργάστηκε σε πολλές Ευρωπαϊκές χώρες. Τα θέματα που διάλεξε για τα έργα του προέρχονται από τον οπτικό πλούτο αυτών των χωρών.

Όταν ολοκλήρωσε τις σπουδές του, άρχισε να ταξιδεύει συχνά. Πήγε στη Γαλλία κι από κει στην Ισπανία όπου επισκέφτηκε την Αλάμπρα, ένα παλάτι των Μαυριτανών του 13^ου αιώνα, στη Γρανάδα και το μουσουλμανικό τέμενος της Κόρδοβα. Εκεί έρχεται σε επαφή με τη διακοσμητική δεξιοτεχνία των καλλιτεχνών του Ισλάμ,  εντυπωσιάζεται και εμπνέεται  από τα μαυριτανικά μωσαϊκά και τα γεωμετρικά μοτίβα που διακοσμούσαν τους τοίχους των κτιρίων του παλατιού .  Εγκαθίσταται στην Ιταλία όπου ζει και εργάζεται ως το 1935. Αυτή την περίοδο στο έργο του κυριαρχεί η ορατή πραγματικότητα δηλαδή αυτά που παρατηρεί στον κόσμο γύρω του.

Το 1936 έκανε  το τελευταίο του ταξίδι μελέτης :  επιστρέφει στην Αλάμπρα. Η δεύτερη αυτή επίσκεψή του σήμανε την αρχή της πλήρους αλλαγής στο στυλ και στα θέματά του. Τα γεωμετρικά σχέδια των Μαυριτανών που για θρησκευτικούς λόγους είχαν παντελή απουσία κάθε έμψυχης μορφής, τον ενθουσιάζουν και τον προσελκύουν αφάνταστα. Θεωρητικά αυτά τα σχέδια θα μπορούσαν να συνεχίζονται ως το άπειρο.

Ο   Escher ήθελε να δώσει ζωή σε αυτά τα αφηρημένα σχέδια χρησιμοποιώντας ζώα κυρίως πουλιά και ψάρια, φυτά και  ανθρώπους γιατί η επίδραση από κάτι γνώριμο του φαινόταν πιο δυνατή.

Παρόλο που στα προηγούμενα χρόνια είχε κινηθεί κατά διαστήματα προς αυτή την κατεύθυνση από το 1937 συγκεντρώνεται στις επινοήσεις της δικής του φαντασίας και ερευνά εντατικά τεκμηριωμένο, εικονογραφικό υλικό από διάφορες έρευνες  για τα μαθηματικά και την κρυσταλλογραφία. Τα συμπεράσματα των γεωμετρών και των κρυσταλλογράφων θα τα χαρακτηρίσει “ανοικτή πόρτα των μαθηματικών” και θα αναγνωρίσει την εξαιρετική επίδρασή τους στο έργο του.

Από αυτή την περίοδο έχει σαν βάση ένα γεωμετρικό σχέδιο (ένα τρίγωνο, ένα κύκλο, μία σπείρα ή μία σφαίρα, ένα πολύγωνο ή ένα πολύεδρο),χρησιμοποιεί οπτικές αντιφάσεις και τα χαρακτικά του έχουν να κάνουν με τον άπειρο χρόνο και χώρο, τις συμμετρίες, τους δακτυλίους και τις σπείρες στο χώρο, τις αντανακλώμενες εικόνες ,  τις αντιστροφές, τις περιστροφές, τις σχετικότητες, τη σύγκρουση μεταξύ του επιπέδου και του χώρου. Το έργο όμως που τον έκανε πασίγνωστο ήταν η συστηματική διαίρεση του επιπέδου και οι περίφημες πλακοστρώσεις του. Ένα έργο στο οποίο υπερέχει  η  καθαρή γεωμετρία.

Ο ίδιος είπε : “Πρόκειται για την πλουσιότερη πηγή έμπνευσης που είχα ποτέ:

Ο τρόπος με τον οποίο μια επιφάνεια μπορεί να διαιρεθεί, ή να γεμίσει με ομοιόμορφα σχήματα που εφάπτονται χωρίς να αφήνουν καθόλου κενά.”

Η κανονική διαίρεση της επιφάνειας είναι η κάλυψη μιας επιφάνειας με το ίδιο μοτίβο, που επαναλαμβάνεται με συστηματικό τρόπο δίχως να αφήνει κενά διαστήματα.

Παρόλο που ο Escher δεν είχε καμία επίσημη κατάρτιση μαθηματικών, και δεν τα είχε κατανοήσει βαθιά, δημιουργεί ένα έργο τέχνης που στηρίζεται σε πολλές μαθηματικές αρχές. Αναπτύσσει τη δική του θεωρία για τις πλακοστρώσεις στο επίπεδο , την οποία ο ίδιος χαρακτηρίζει ερασιτεχνική,  μιας και διαφέρει από τις αυστηρές θεωρήσεις των γεωμετρών και τα γεωμετρικά σχέδια που χρησιμοποιεί, τα οποία δείχνουν να μην έχουν αρχή ή τέλος, σταδιακά εξελίσσονται σε μορφές ή το αντίστροφο.

Στις πλακοστρώσεις του τα ”πλακίδια ” μπορεί να είναι πολυγωνικά, κυρτά ή μη ή να έχουν οποιοδήποτε περίγραμμα. Χρησιμοποιεί διάφορους μετασχηματισμούς συμμετρίας, περιστροφές και μεταθέσεις επαναλαμβάνοντας τις μορφές του και μάλιστα σε κάποια έργα του όλο και σε μικρότερες κλίμακες, για να μεταβιβάσει την αίσθηση του απείρου. Η έννοια του δυισμού, που είναι θεμελιώδης στη γεωμετρία και βασίζεται στη διαπίστωση της συμμετρικής συμπεριφοράς θεμελιωδών γεωμετρικών αντικειμένων, είναι διάχυτη στο έργο του κυρτός – κοίλος, σκοτάδι – φως, πάνω – κάτω, και συχνά καλός – κακός τη μεταφυσική πτυχή της δυαδικότητας.  

Λίγοι ήξεραν ότι ο Escher θα γινόταν ένας διάσημος καλλιτέχνης και θα δημιουργούσε ένα εμπνευσμένο έργο που πάντρευε τον κόσμο της τέχνης και των μαθηματικών. Στην εποχή του το έργο του εκτιμήθηκε από μαθηματικούς παρά από ομότεχνούς του. Μόνο σήμερα εμφανίζονται σημαντικά βήματα προς την κατεύθυνση που έδειξε ο  Escher δηλαδή στη γεφύρωση του χάσματος ανάμεσα στις επιστήμες και τις τέχνες.

Από την πλούσια κληρονομιά του Escher, θα σας παρουσιάσουμε κάποια έργα από τις κανονικές διαιρέσεις της επιφάνειας και τις περίφημες πλακοστρώσεις του, στα οποία θα δείτε αυτή τη  λεπτή γραμμή μεταξύ του κόσμου της φαντασίας, των μαθηματικών και της πραγματικής ζωής, αλλά κυρίως θα παρατηρήσετε την υπεροχή των μαθηματικών! 

Ιωάννα Δημοπούλου Μαθηματικός.

Σύμπαν σε υπερβολική ψηφίδωση

Μ. Κ. Εσερ, «Σαύρες και βάτραχοι».

Εκ πρώτης όψεως η ιδέα ότι τα χαρακτικά του Εσερ μπορούν να περιγράψουν τη διάταξη του Σύμπαντος φαίνεται να αντιφάσκει με όσα γνωρίζουμε γι' αυτό.

Τα χαρακτικά στα οποία αναφερόμαστε είναι ψηφιδώσεις, εικόνες από επαναλαμβανόμενα σχήματα, όπως η αλληλοδιαδοχή αγγέλων και νυχτερίδων που βλέπουμε στο «Οριο του κύκλου IV». Αν και τα σχήματα αυτά είναι επίπεδα, χρησιμεύουν ως «προβολές» μιας διαφορετικής γεωμετρίας, της λεγόμενης υπερβολικής γεωμετρίας – περίπου όπως ένας επίπεδος χάρτης αποτελεί προβολή της σφαίρας της Υδρογείου. Για παράδειγμα, παρ' ότι οι νυχτερίδες στην επίπεδη προβολή φαίνεται να μικραίνουν με γεωμετρική πρόοδο προς το όριο του κύκλου, στον χώρο της υπερβολικής γεωμετρίας έχουν όλες το ίδιο μέγεθος. Οι στρεβλώσεις προκύπτουν στην προβολή επειδή ο υπερβολικός χώρος δεν μπορεί να είναι επίπεδος. Αντ' αυτού μοιάζει με ένα στρεβλό, κυματιστό τοπίο με λόφους σαν σαμάρια.

Το Σύμπαν μας όμως δεν μοιάζει καθόλου με κάτι τέτοιο. Οι μετρήσεις της κοσμικής μικροκυματικής ακτινοβολίας υποβάθρου – του αποήχου της Μεγάλης Εκρηξης – και των αποστάσεων των σουπερνόβα έχουν αποκαλύψει ότι το Σύμπαν μας είναι επίπεδο και όχι στρεβλό.

Επίσης επεκτείνεται με επιταχυνόμενο ρυθμό εξαιτίας μιας μυστηριώδους οντότητας η οποία είναι γνωστή ως σκοτεινή ενέργεια. Δεν ξέρουμε τι είναι η σκοτεινή ενέργεια ούτε από πού προήλθε, η μαθηματική γλώσσα όμως της Θεωρίας της Γενικής Σχετικότητας τουΑϊνστάιν έχει βρει έναν τρόπο να περιγράψει αυτή την επιταχυνόμενη επέκταση. Η εισαγωγή μιας σταθεράς – γνωστής ως Κοσμολογική Σταθερά – στις εξισώσεις της Γενικής Σχετικότητας κάνει το Σύμπαν να επεκτείνεται επ' άπειρον, μόνο όμως αν η σταθερά έχει θετικό πρόσημο. Ως τώρα το να λέμε ότι ζούμε σε ένα επ' άπειρον επεκτεινόμενο Σύμπαν είναι το ίδιο με το να λέμε ότι το Σύμπαν μας έχει μια Κοσμολογική Σταθερά με θετική τιμή.

Ωστόσο υπάρχουν ορισμένα τεράστια προβλήματα. Η Γενική Σχετικότητα καλύπτει μεν αυτή την πλευρά του Σύμπαντος, αλλά δεν μπορεί να περιγράψει τη Μεγάλη Εκρηξη. Ούτε μπορεί να ενώσει τη βαρύτητα, η οποία επενεργεί σε μεγάλες κλίμακες, με την κβαντομηχανική, η οποία επενεργεί σε πολύ μικρές κλίμακες. «Αυτό σημαίνει ότι δεν μπορεί κάποιος να προβλέψει γιατί ζούμε στο Σύμπαν στο οποίο ζούμε» λέει ο κ. Χέρτογκ.

Εσερ και θεωρία των χορδών

Η θεωρία των χορδών από την πλευρά της προσφέρει μια ωραία ολοκληρωμένη εικόνα της ιστορίας του Σύμπαντος και ενώνει τη βαρύτητα με την κβαντομηχανική. Ταιριάζει όμως περισσότερο σε ένα Σύμπαν με αρνητικά καμπυλωμένη, παρόμοια με τα χαρακτικά του Εσερ γεωμετρία και με μια αρνητική Κοσμολογική Σταθερά.

Αυτό έχει φέρει τους φυσικούς μπροστά σε ένα τεράστιο χάσμα: από τη μια πλευρά βρίσκεται ένα Σύμπαν το οποίο λειτουργεί αλλά δεν περιγράφεται από μια πλήρη θεωρία και από την άλλη βρίσκεται μια πλήρης θεωρία η οποία δεν περιγράφει το υπάρχον Σύμπαν.

Η στροφή της πλάστιγγας

Μ.Κ. Εσερ, «Αχιβάδες και αστερίες».

Οι θεωρητικοί των χορδών βασανίζονταν επίσης με σύμπαντα με θετικές κοσμολογικές σταθερές τα οποία έτειναν να είναι ασταθή. Η κατασκευή τους μοιάζει λιγάκι με το να προσπαθεί κάποιος να ισορροπήσει ένα μολύβι όρθιο με τη μύτη: μπορεί να κρατηθεί για λίγο, όμως η ενεργητικά πιο σταθερή κατάσταση ενός μολυβιού είναι να κάθεται ξαπλωμένο στο τραπέζι, οπότε κάποια στιγμή θα πέσει. Οι πιο επιτυχημένες εκδοχές της θεωρίας των χορδών θα προτιμούσαν να ζουν σε ένα σύμπαν σαν αυτό του Εσερ.

«Η θεωρία των χορδών με μια αρνητική Κοσμολογική Σταθερά απλώς λειτουργεί πολύ καλύτερα» λέει ο κ. Χέρτογκ.

Η τελευταία δουλειά του κ. Χόκινγκ υποστηρίζει ότι αυτό το υποτιθέμενο ελάττωμα ίσως τελικά να είναι αυτό που «πλέκει» τη θεωρία των χορδών σε μια πραγματικότητα. Σε μια μελέτη την οποία δημοσίευσαν στον διαδικτυακό τόπο Arxiv.org ο αστροφυσικός και οι συνεργάτες του περιγράφουν πώς παρήγαγαν μια πληθώρα συμπάντων από κυματικές εξισώσεις με αρνητικές κοσμολογικές σταθερές, με κάποια από αυτά να επεκτείνονται και να επιταχύνονται.

«Ορισμένα από αυτά τα σύμπαντα επιταχύνονται ακριβώς σαν το Σύμπαν μας» λέει ο κ. Χέρτογκ. «Αποκαλύπτεται ότι η κβαντική κατάσταση περιλαμβάνει και τα δύο είδη συμπάντων, αυτόματα». Σε μια συγκεκριμένη κυματική εξίσωση μάλιστα αυτά τα επιταχυνόμενα και επεκτεινόμενα σύμπαντα αποδεικνύονται και τα πιθανότερα.

Μια κομψή σύνδεση

Μ. Κ. Εσερ, «Ιπτάμενα ψάρια».

Το κλειδί σε αυτή τη θεωρία ήταν η συνειδητοποίηση ότι τα σύμπαντα που παρήγε η κυματική εξίσωση της ομάδας μπορούσαν να εξελιχθούν ώστε να μοιάζουν πολύ με μια συγκεκριμένη διατύπωση της θεωρίας των χορδών, την οποία έχει αναπτύξει ο Χουάν Μαλντασένα του Ινστιτούτου Προωθημένων Μελετών στο Πανεπιστήμιο του Πρίνστον το 1997. «Υπήρχε μια μαθηματική σύνδεση, μια πολύ κομψή σύνδεση» λέει ο κ. Χέρτογκ.

Από τη στιγμή που εντόπισαν αυτή τη σύνδεση με την κυματική τους εξίσωση, ο κ. Χόκινγκ και η ομάδα του αποφάσισαν να δοκιμάσουν να ενώσουν τις δύο θεωρίες διατυπώνοντας μια καινούργια κυματική εξίσωση με μια αρνητική Κοσμολογική Σταθερά. Θεώρησαν ότι αυτό θα τους επέτρεπε να δανειστούν την ωραία πλήρη μαθηματική εικόνα του Σύμπαντος που προσφέρει η θεωρία των χορδών για να παραγάγουν σύμπαντα που επεκτείνονται επιταχυνόμενα.

Τι γίνεται όμως με τις παρατηρήσεις που υποδηλώνουν ότι το Σύμπαν μας είναι επίπεδο; Κατά τον ίδιο τρόπο που οι νόμοι της κίνησης του Νεύτωνα λειτουργούν για τα καθημερινά αντικείμενα αλλά υποχωρούν παραχωρώντας τη θέση τους στους πιο αναλυτικούς νόμους του Αϊνστάιν στις κοσμολογικές κλίμακες, η ομάδα του κ. Χόκινγκ πιστεύει ότι η φαινομενικά επίπεδη κατάσταση του Σύμπαντος μπορεί να το περιγράφει καλά στο επίπεδο που μας είναι ορατό αλλά από εκεί και πέρα υποχωρεί παραχωρώντας τη θέση της σε μια υποκείμενη γεωμετρία σαν αυτή των έργων του Εσερ.

Ακόμη νωρίς για συμπεράσματα

Μ. Κ. Εσερ,  «Ιππείς».

Ακόμη ωστόσο είναι πολύ νωρίς για να διακηρύξουμε ότι το ζήτημα του Σύμπαντος λύθηκε. Ο κ. Μαλντασένα δηλώνει ότι το μοντέλο της ομάδας του κ. Χόκινγκ δεν καλύπτει ορισμένες πλευρές των ολοκληρωμένων εκδοχών της θεωρίας των χορδών, όπως οι προβλέψεις για τη σταθερότητα ορισμένων σωματιδίων. «Θα ήταν θαυμάσιο αν αυτό ήταν το μόνο που έχουμε να κάνουμε» λέει.«Νομίζω όμως ότι είναι υπερβολικά απλουστευμένο. Είναι δύσκολο να δει κάποιος πώς μπορεί να επεκταθεί σε μια πληρέστερη θεωρία».

Ο κ. Χέρτογκ συμφωνεί ότι η δουλειά τους δεν είναι ολοκληρωμένη. Πιστεύει όμως ότι η αρνητική Κοσμολογική Σταθερά θα οδηγήσει κάποια στιγμή σε μια πλήρη περιγραφή του Σύμπαντος που παρατηρούμε γύρω μας. «Είναι μια λεωφόρος που ανοίγει τώρα» λέει.«Οχι κάτι που ήδη έχουμε στα χέρια μας».

Πηγή : http://www.tovima.gr/

Τα Μαθηματικά στο Βυζάντιο.

Στο Βυζάντιο αναφέρεται ότι τα Μαθηματικά άνθισαν τον 5ο, τον 6ο, τον 9ο, τον 10ο, τον 13ο και τον 14ο αι. Οι μαθηματικοί δε των πρώτων βυζαντινών χρόνων άκμασαν στην Αλεξάνδρεια. Επί Ιουστινιανού, όμως, και λόγω της μεγάλης τότε οικοδομικής δραστηριότητας, το κέντρο βάρους μετατοπίστηκε στην Κωνσταντινούπολη.

Λαμβάνοντας υπόψιν ότι κατά τη χρονικὴ περίοδο (1143-1180), η βυζαντινή αυτοκρατορία είχε ήδη συρρικνωθεί και περιοριστεί σε ελληνόφωνες περιοχές, αλλά το Βυζάντιο παρέμενε πάντα πιο προηγμένο σε σχέση με τη Δύση στον τομέα των Μαθηματικών. Γενικότερα, δεν είναι δυνατόν να κατηγορήσουμε ἀβασάνιστα τους Βυζαντινούς για στασιμότητα στα Μαθηματικά, διότι π.χ. μέχρι το 1816 μ.Χ. που ο Gauss αμφισβήτησε το 5ο αίτημα του Ευκλείδη δεν είχαμε κάποια συνταρακτική επιστημονικὴ ανακάλυψη. Από την άλλη πλευρά, οι Βυζαντινοί διδάσκαλοι φρόντισαν να διατηρήσουν και να μεταδώσουν τις γνώσεις που τους κληροδότησαν οι αρχαίοι Έλληνες, τις οποίες μάλιστα σε ορισμένες περιπτώσεις επαύξησαν σχολιάζοντας τα αρχαία κείμενα και κάνοντας εύστοχες παρατηρήσεις σε αυτά. Κατά την άποψη των ερευνητών, αν δεν υπήρχαν οι Βυζαντινοί αντιγραφείς, ίσως πολλά ἔργα κλασικών συγγραφέων να είχαν χαθεί με την καταστροφή της μεγάλης Αλεξανδρινής Βιβλιοθήκης. Για να είμαστε όμως αντικειμενικοί, οφείλουμε να ἐπισημάνουμε ότι η ουσιαστική επιστημονική πρόοδος υπήρξε ὅταν το 1826 ο Riemann και το 1829 ο Lobatchewsky ἔθεσαν τὶς βάσεις των μη Ευκλειδείων Γεωμετριών.

Παρακάτω παρατίθενται εν συντομία ενδεικτικά στοιχεία της επιστημονικής δραστηριότητας των βυζαντινών επιστημόνων, όπως:

Η έκδοση ανώνυμης μαθηματικής τετρακτύος το 1008, όχι υψηλού επιπέδου, που δείχνει όμως τι είδους κείμενα παραδίδονταν τότε στα πλαίσια μιας έστω και στοιχειωδώς θεσμοθετημένης ἐκπαιδευτικῆς πορείαςΗ Σύνοψη περὶ μετρήσεως και μερισμοῦ της γῆς (γεωδαισία), του Ἰωάννη Πεδιάσιμου (ἐποχὴ των Παλαιολόγων), στην οποία χρησιμοποιήθηκαν από τον συγγραφέα γραπτά του Ευκλείδη, του Ήρωνα του Αλεξανδρέα, και του Ήρωνα του Βυζαντίου.

Το Σύνταγμα των 4 μαθημάτων, ή Τετράβιβλος, του Παχυμέρη (1300), που σε σύγκριση με την τετρακτὺ του 1008 ἀποβαίνει σαφώς υπέρ του, αφού είναι υψηλού επιπέδου από διδακτική άποψη, παρά το ότι έχει συχνά ασαφείς ορισμούς.

Η ¨Ψηφοφορία κατ' Ἰνδοὺς¨ του Πλανούδη (1255-1305).

Η ¨Λογιστικὴ¨ ἀνωνύμου συγγραφέα του 15ου αἰ., η οποία σε η μαθηματικὴ Ἐγκυκλοπαίδεια των Βυζαντινῶν, και πιθανότατα η πρώτη Ἐγκυκλοπαίδεια Μαθηματικῶν.

Κατά το 1300 μ.Χ. ἔγινε στο Βυζάντιο ο διαχωρισμός των "εμπορικών" από τα "ακαδημαϊκά" Μαθηματικά, και μολονότι από τον 14ο αἰ. τα ἐμπορικὰ ή πρακτικά Μαθηματικά δεν διδάσκονταν στα Πανεπιστήμια, η διδασκαλία τους βρισκόταν σε συνεχή ανταγωνισμό με την ύλη που διδασκόταν στὶς Ἀνώτατες Σχολές. Αυτό ὀφειλόταν στο ότι τα πρακτικά Μαθηματικά ενδιέφεραν πλήθος ἀνθρώπων επειδή βοηθούσαν στην επίλυση προβλημάτων σχετιζομένων με ζητήματα της καθημερινής τους ζωής, και επιπλέον κατηγορίες εργαζομένων όπως οι έμποροι, οι χειροτέχνες, οι διοικητικοί υπάλληλοι, οι πρωτομάστορες στις οικοδομές, οι τοπογράφοι κ. ἄ. χρειάζονταν μαθηματικές γνώσεις. Στα τέλη του 14ου αιώνα οι περισσότεροι αξιόλογοι Έλληνες διδάσκαλοι εἶχαν μεταβεί στηΦλωρεντία, ὅπου ἀναβίωσαν την αρχαία ελληνική γνώση. Η δε Φλωρεντία έγινε η κυριότερη αγορά ἀρχαίων χειρογράφων.

Οι τελευταίες δεκαετίες πριν την ἅλωση της Κων/πολης θεωρείται ότι δεν προσέφεραν κάτι σημαντικό στα Μαθηματικά. Ὡστόσο η ύπαρξη μεγάλου πλήθους χειρογράφων δείχνει ότι το ενδιαφέρον για την τετρακτή αλλὰ και τη λογιστική και τη γεωδαισία που ήταν κλάδοι των κατ' εξοχήν εμπορικών Μαθηματικῶν ήταν μεγάλο. Σημειωτέον ότι όπως ήδη αναφέρθηκε, μεγάλος αριθμὸς ελληνικών χειρογράφων είχαν περάσει ή επρόκειτο να περάσουν στη Δύση μέσω της Φλωρεντίας κυρίως, γεγονός που βοήθησε στην πνευματική αναγέννηση της Ευρώπης.

Η Βυζαντινή ἐποχὴ φθάνει στο τέλος της με ἔργα προορισμένα για πρακτική χρήση. Αυτά σε ως επί το πλείστον βιβλία Αριθμητικής, δηλαδή συλλογές ἐπιλεγμένων προβλημάτων λογιστικής και γεωδαισίας που σε δημιουργίες κληροδοτημένες από την παράδοση πολλών χρόνων και πολλών λαών. Αὐτὲς οι συλλογές περιλαμβάνουν στοιχεία πολύτιμα για την ἐξέλιξη του πολιτισμού και τηςγλώσσας, διότι ἀναφέρονται σε διάφορα ζητήματα της καθημερινής ζωής την εποχή εκείνη (μετατροπὲς νομισμάτων, φορολογικά, προβλήματα εταιρείας και γενικά προβλήματα εμπορίου κ.ἄ.). Δυστυχώς τα περισσότερα βιβλία της λογιστικής, τα οποία πιθανότατα προορίζονταν και για διδασκαλία στα τότε Δημοτικά σχολεῖα, χάθηκαν εκτός από ελάχιστα του 14ου και του 15ου αἰώνα. Μερικά από αυτά δημοσιεύθηκαν στη Βιέννη, και σύμφωνα με τους εκδότες H. Hunger και K. Vogel στα αρχεία της Βιέννης ὑπάρχουν πολλά ἀνέκδοτα προβλήματα των τελευταίων χρόνων της Βυζαντινής Αυτοκρατορίας και των πρώτων δεκαετιών από την άλωση της Κωνσταντινούπολης υπό των Τούρκων.

πηγή : Βικιπαίδεια

Η θεολογική και αγιολογική γραμματεία του Βυζαντίου έχει ενσωματώσει πολλά πορίσματα της αρχαίας επιστήμης. Για παράδειγμα, ο Φίλων ο Αλεξανδρεύς και ο Μέγας Βασίλειος ανέλυσαν το ιερό κείμενο της Γένεσης με τέτοιο τρόπο ώστε να ταιριάξει με το γενικά αποδεκτό αστρονομικό πρότυπο της ελληνορωμαϊκής παράδοσης περί του γεωκεντρικού σφαιρικού κόσμου. Στην ίδια την Κωνσταντινούπολη επανεκδόθηκαν πολλά έργα αρχαίων και νεότερων επιστημόνων, όπως του Ευκλείδη, του Αρχιμήδη, του Απολλώνιου από την Πέργη της Παμφυλίας, του Κλαύδιου Πτολεμαίου, του Διόφαντου, του Θέωνος του Αλεξανδρέα (του πατέρα της Υπατίας) και άλλων. Αργότερα, αραβικές πηγές αναφέρουν την παρουσία Βυζαντινών επιστημόνων στη Βαγδάτη και τη Δαμασκό, που από τις αρχές του 9oυ αιώνα απέβησαν κέντρα καλλιέργειας των μαθηματικών, ειδικά της άλγεβρας, και της αστρονομίας. Το Βυζάντιο βρισκόταν σε συνεχή επαφή με το αραβικό χαλιφάτο αυτή την περίοδο και η τεχνογνωσία τους, σε ειρηνικά ή πολεμικά έργα, όπως μαρτυρεί η περίπτωση του υγρού πυρός, ήταν σε μεγάλο βαθμό κοινή.

Παράλληλα, η επιστήμη των Αράβων επέδρασε πολύ και τους Βυζαντινούς λόγιους, ιδίως στην επίλυση πρακτικών μαθηματικών προβλημάτων και στην κατάστρωση αστρονομικών πινάκων. Οι πίνακες αυτοί περιείχαν προβλέψεις για τις θέσεις των ουρανίων σωμάτων, των συζυγιών και των εκλείψεων, πολύ χρήσιμων στοιχείων που βοηθούσαν στον υπολογισμό του Πάσχα και τη διάγνωση ωροσκοπίων.

Οι επιστήμες στις οποίες γίνεται περισσότερο έκδηλη η διαφοροποίηση του Βυζαντίου από την παλαιότερη παράδοση και η συμβολή του στην εξέλιξη της επιστήμης είναι η αρχιτεκτονική και η μηχανολογία. Ήδη από την Ύστερη Αρχαιότητα είναι γνωστό ότι λειτουργούσαν ειδικές σχολές τόσο στην Κωνσταντινούπολη όσο και στις μεγάλες πόλεις της επαρχίας. Εκεί, όσοι ήθελαν να γίνουν αρχιτέκτονες μελετούσαν τα έργα του Ευκλείδη, του Βιτρούβιου και του Πάππου από την Αλεξάνδρεια και εμβάθυναν στην αριθμητική και τη γεωμετρία, αλλά και στα πρακτικά μαθηματικά και τις άμεσες εφαρμογές τους.

Πηγή:exploringbyzantium.gr

Ένα μουσείο μαθηματικών

                           Ένα μουσείο μαθηματικών

             Ανοίγοντας τις πόρτες στη ζωή του Πι 

Joshua Bright
Το έκθεμα "String Product"
Μουσείο Μαθηματικών

   Για όσους έχουν εξαρτηθεί από τις δυνάμεις και τις δυνατότητες των μαθηματικών,

το μυστήριο δεν είναι γιατί δεν έχει εξελιχθεί αυτός ο ενθουσιασμός αλλά γιατί δεν

είναι παγκόσμιος. Πώς μπορούν οι μαθητές να μην έλκονται;

   Γιατί, λοιπόν, μέχρι σήμερα δεν υπήρχε κάποιο σημαντικό μουσείο μαθηματικών στις Η.Π.Α; Γιατί τα μαθηματικά έχουν παραμεληθεί από το πάνθεον των μουσείων; Πιθανώς

κάποιος χομπίστας να έχει εκθέσει γρίφους αλλά ένα ολόκληρο μουσείο αφιερωμένο

στα μαθηματικά; Θα πρέπει να ανατρέξουμε στην ιστορία των μουσείων επιστήμης

στην Ευρώπη, όπου τα μαθηματικά έστεκαν ως θεμέλιος λίθος των πραγμάτων,

για να πάρουμε μια ιδέα.

Ή, για μια τελείως διαφορετική εμπειρία, μπορείτε να επισκεφθείτε το Madison Square

Park στο Μανχάταν για να δείτε το νέο Μουσείο Μαθηματικών, το οποίο αυτοπροσδιορίζεται

ως MoMath. Το MoMath δεν είναι αυτό που ίσως περιμένει κάποιος. Στην αρχή, ίσως

ο επισκέπτης δεν μαντέψει καν το αντικείμενό του. Υπάρχουν μερικά στοιχεία

που αποκαλύπτουν το χαρακτήρα του, ειδικά εάν κάποιος αναγνωρίσει το σύμβολο του

Πι πάνω στην πόρτα ή εάν ανακαλύψει τους νιπτήρες σε σχήμα πεντάγωνου στις

τουαλέτες. Όμως, τι είναι αυτός ο κύλινδρος κατασκευασμένος από πλαστικούς σωλήνες

που οδηγούν στην οροφή με μια θέση εσωτερικά (“Hyper Hyperboloid”);

Ή ένα τρίκυκλο με τρεις τετράγωνες ρόδες, καθεμία διαφορετικού σχήματος, να τσουλάει

κατά μήκος ενός κυκλικού μονοπατιού (“Square-Wheeled Trike”); Επιπλέον, τι είναι αυτή

η οθόνη πάνω στην οποία ζωγραφίζεις ηλεκτρονικά σχέδια με ένα πινέλο (“Polypaint”);

Τα δυο συνδεόμενα μονοπάτια πάνω στα οποία γίνονται αγώνες με αντικείμενα

(“Tracks of Galileo”); Το φωτισμένο με πίξελ δάπεδο, το οποίο ανταποκρίνεται

στις κινήσεις(“Math Square”);

Αυτό δεν είναι μουσείο, ίσως σκεφτεί κάποιος, πρόκειται για μια παιδική χαρά

υψηλής τεχνολογίας, με 30 εκθέματα σε δυο ορόφους. Στέκομαι μπροστά στην οθόνη

και βλέπω τον εαυτό μου σαν δέντρο που πετάει κλαδιά με μικρούς εαυτούς μου

(“Human Tree”). Βούτηξα ένα πινέλο με μπογιά σε νερό κι έφτιαξα ίχνη σε έναν

μαυροπίνακα (“Water Frieze”). Παιδικά παιχνίδια ή μήπως κάτι άλλο;

Ο ιδρυτής του μουσείου, Glen Whitney, αποφάσισε να δημιουργήσει ένα μουσείο όπου

θα υμνούνται τα μαθηματικά. Ο στόχος ήταν να φανεί ότι τα μαθηματικά είναι

διασκεδαστικά, συναρπαστικά. Το MoMath είναι ένα μουσείο προσηλυτισμού. Ενώ, όμως,

από τεσσάρων έως οχτώ θεωρείται ότι είναι το ηλικιακό κοινό στο οποίο απευθύνεται,

είναι δύσκολο να φανταστεί κάποιος ότι ένα μικρότερο παιδί ή ένας ώριμος ενήλικας δε

θα προσελκυστεί από ορισμένα εκθέματα. Με διάφορους τρόπους, η ατμόσφαιρα

που δημιουργούν τα εκθέματα είναι πιο προκλητική από τις εξηγήσεις του περιεχομένου.

Ο λόγος που δεν υπάρχουν πολλά μουσεία μαθηματικών είναι ότι ο ενθουσιασμός που

γεννά το αντικείμενο είναι δύσκολο να επικοινωνηθεί.»

Αυτό το οποίο συμβαίνει με τα καλύτερα εκθέματα του μουσείου είναι ότι βλέπεις τον

εαυτό σου σαν ένα δέντρο που διασπείρει ιδανικές εικόνες του εαυτού σου και μαθαίνεις

για τα μορφοκλάσματα ή βλέπεις τα φώτα από το λέιζερ μέσα από διαφανή στερεά

και αντιλαμβάνεσαι την έννοια του διαστήματος.

Το πρόβλημα είναι ότι δεν υπάρχει αρκετή καθοδήγηση για εμβάθυνση. Τα

εκθέματα προσφέρουν οθόνες αφής, οι οποίες μπορούν να παρουσιάσουν τρεις

διαφορετικές εξηγήσεις αλλά αυτές οι επεξηγήσεις είναι το πιο αδύναμο σημείο του

μουσείου. Οι πιο βασικές είναι συχνά επιτηδευμένες ή αρκετά λεπτομερείς. Όσες είναι σε

πιο προχωρημένο επίπεδο δεν είναι τόσο δηλωτικές.

πηγή: The New York Times

http://momath.org/

διασκευή, μετάφραση: Χρύσα Πιπιλή

To Momath άνοιξε!