Μαθηματική ξενάγηση

Escher : Μαθηματικός χωρίς να το ξέρει.

O M.C. Escher, που ήταν ένα κράμα καλλιτέχνη και επιστήμονα, έγινε παγκοσμίως γνωστός για τις ασυνήθιστες λιθογραφίες και ξυλογραφίες του. Τα μοναδικά και συναρπαστικά έργα τέχνης του  είναι ένα ταξίδι μεταξύ της φαντασίας, των μαθηματικών και της πραγματικής ζωής. Ο ίδιος είχε πει:

“Λοιπόν, ας προσπαθήσουμε ν’ ανέβουμε στο βουνό, όχι πατώντας σ’ αυτό που βρίσκεται από κάτω μας, αλλά ελκόμενοι από αυτό που είναι από πάνω μας: για μένα αυτό είναι τ’ αστέρια”.  

Είχε δηλώσει επίσης : “Διασχίζω συνεχώς το σύνορο μεταξύ μαθηματικών και τέχνης”. Προσθέτοντας άλλοτε,

“Να είστε βέβαιοι ότι  αυτό που νομίζετε πως βλέπετε είναι  πραγματικά αυτό που βλέπετε. Προσπαθήστε να πιστέψετε στα μάτια σας…. ” 

Ο θεατής βλέποντας τα έργα του δεν μπορεί να μην παραξενεύεται από τις εικόνες του, αφού βρίσκεται αντιμέτωπος με ένα σχεδόν απτό, παιχνιδιάρικο κόσμο ονείρων.Είναι από τους καλλιτέχνες του 20^ου αιώνα με τη μεγαλύτερη διάδοση του έργου του και ταυτόχρονα από τους πιο άγνωστους με την έννοια του λιγότερου κατανοημένου. 

Τα έργα του αντανακλούν ένα πλήθος μαθηματικών ιδεών και ειδικά έννοιες και τεχνικές της σύγχρονης γεωμετρίας. Είναι διαχρονικά  και ασκούν πραγματική έλξη εξαιτίας της…. Στερεότητας και της Παραίσθησης… δηλαδή το  παιχνίδι του δημιουργού με τα οπτικά και μαθηματικά παράδοξα.

Ο M.C Escher γεννήθηκε το 1898 και πέθανε το 1972 στην Ολλανδία. Κατά τη διάρκεια των σχολικών του χρόνων αντί  να ασχολείται με τα μαθήματα προτιμούσε να παρατηρεί τα σύννεφα προσπαθώντας να διακρίνει συγκεκριμένα σχήματα μέσα σε αυτά ενώ παράλληλα περίμενε με ενδιαφέρον τα εβδομαδιαία 2ωρα μαθήματα σχεδίου και χαρακτικής. Ξεκίνησε σπουδές στην Αρχιτεκτονική αλλά πολύ σύντομα, με τη συμβουλή του δασκάλου του, ασχολήθηκε σχεδόν αποκλειστικά με τις Γραφικές Τέχνες. Τελείωσε τη σχολή του το 1922. Ο δάσκαλός του, ο οποίος  πρόσεξε τις ικανότητές του στο σχέδιο, του δίδαξε πολλές πτυχές της τέχνης της ξυλογραφίας και τον ενθάρρυνε να πειραματιστεί. Έτσι το ενδιαφέρον του Escherστράφηκε προς τη χαρακτική και διακοσμητική τέχνη και ιδιαίτερα στην ξυλογραφία και ξυλοτυπία.

Στη διάρκεια της ζωής του ο Escher ήταν αληθινός Ευρωπαίος καλλιτέχνης, κατοίκησε και εργάστηκε σε πολλές Ευρωπαϊκές χώρες. Τα θέματα που διάλεξε για τα έργα του προέρχονται από τον οπτικό πλούτο αυτών των χωρών.

Όταν ολοκλήρωσε τις σπουδές του, άρχισε να ταξιδεύει συχνά. Πήγε στη Γαλλία κι από κει στην Ισπανία όπου επισκέφτηκε την Αλάμπρα, ένα παλάτι των Μαυριτανών του 13^ου αιώνα, στη Γρανάδα και το μουσουλμανικό τέμενος της Κόρδοβα. Εκεί έρχεται σε επαφή με τη διακοσμητική δεξιοτεχνία των καλλιτεχνών του Ισλάμ,  εντυπωσιάζεται και εμπνέεται  από τα μαυριτανικά μωσαϊκά και τα γεωμετρικά μοτίβα που διακοσμούσαν τους τοίχους των κτιρίων του παλατιού .  Εγκαθίσταται στην Ιταλία όπου ζει και εργάζεται ως το 1935. Αυτή την περίοδο στο έργο του κυριαρχεί η ορατή πραγματικότητα δηλαδή αυτά που παρατηρεί στον κόσμο γύρω του.

Το 1936 έκανε  το τελευταίο του ταξίδι μελέτης :  επιστρέφει στην Αλάμπρα. Η δεύτερη αυτή επίσκεψή του σήμανε την αρχή της πλήρους αλλαγής στο στυλ και στα θέματά του. Τα γεωμετρικά σχέδια των Μαυριτανών που για θρησκευτικούς λόγους είχαν παντελή απουσία κάθε έμψυχης μορφής, τον ενθουσιάζουν και τον προσελκύουν αφάνταστα. Θεωρητικά αυτά τα σχέδια θα μπορούσαν να συνεχίζονται ως το άπειρο.

Ο   Escher ήθελε να δώσει ζωή σε αυτά τα αφηρημένα σχέδια χρησιμοποιώντας ζώα κυρίως πουλιά και ψάρια, φυτά και  ανθρώπους γιατί η επίδραση από κάτι γνώριμο του φαινόταν πιο δυνατή.

Παρόλο που στα προηγούμενα χρόνια είχε κινηθεί κατά διαστήματα προς αυτή την κατεύθυνση από το 1937 συγκεντρώνεται στις επινοήσεις της δικής του φαντασίας και ερευνά εντατικά τεκμηριωμένο, εικονογραφικό υλικό από διάφορες έρευνες  για τα μαθηματικά και την κρυσταλλογραφία. Τα συμπεράσματα των γεωμετρών και των κρυσταλλογράφων θα τα χαρακτηρίσει “ανοικτή πόρτα των μαθηματικών” και θα αναγνωρίσει την εξαιρετική επίδρασή τους στο έργο του.

Από αυτή την περίοδο έχει σαν βάση ένα γεωμετρικό σχέδιο (ένα τρίγωνο, ένα κύκλο, μία σπείρα ή μία σφαίρα, ένα πολύγωνο ή ένα πολύεδρο),χρησιμοποιεί οπτικές αντιφάσεις και τα χαρακτικά του έχουν να κάνουν με τον άπειρο χρόνο και χώρο, τις συμμετρίες, τους δακτυλίους και τις σπείρες στο χώρο, τις αντανακλώμενες εικόνες ,  τις αντιστροφές, τις περιστροφές, τις σχετικότητες, τη σύγκρουση μεταξύ του επιπέδου και του χώρου. Το έργο όμως που τον έκανε πασίγνωστο ήταν η συστηματική διαίρεση του επιπέδου και οι περίφημες πλακοστρώσεις του. Ένα έργο στο οποίο υπερέχει  η  καθαρή γεωμετρία.

Ο ίδιος είπε : “Πρόκειται για την πλουσιότερη πηγή έμπνευσης που είχα ποτέ:

Ο τρόπος με τον οποίο μια επιφάνεια μπορεί να διαιρεθεί, ή να γεμίσει με ομοιόμορφα σχήματα που εφάπτονται χωρίς να αφήνουν καθόλου κενά.”

Η κανονική διαίρεση της επιφάνειας είναι η κάλυψη μιας επιφάνειας με το ίδιο μοτίβο, που επαναλαμβάνεται με συστηματικό τρόπο δίχως να αφήνει κενά διαστήματα.

Παρόλο που ο Escher δεν είχε καμία επίσημη κατάρτιση μαθηματικών, και δεν τα είχε κατανοήσει βαθιά, δημιουργεί ένα έργο τέχνης που στηρίζεται σε πολλές μαθηματικές αρχές. Αναπτύσσει τη δική του θεωρία για τις πλακοστρώσεις στο επίπεδο , την οποία ο ίδιος χαρακτηρίζει ερασιτεχνική,  μιας και διαφέρει από τις αυστηρές θεωρήσεις των γεωμετρών και τα γεωμετρικά σχέδια που χρησιμοποιεί, τα οποία δείχνουν να μην έχουν αρχή ή τέλος, σταδιακά εξελίσσονται σε μορφές ή το αντίστροφο.

Στις πλακοστρώσεις του τα ”πλακίδια ” μπορεί να είναι πολυγωνικά, κυρτά ή μη ή να έχουν οποιοδήποτε περίγραμμα. Χρησιμοποιεί διάφορους μετασχηματισμούς συμμετρίας, περιστροφές και μεταθέσεις επαναλαμβάνοντας τις μορφές του και μάλιστα σε κάποια έργα του όλο και σε μικρότερες κλίμακες, για να μεταβιβάσει την αίσθηση του απείρου. Η έννοια του δυισμού, που είναι θεμελιώδης στη γεωμετρία και βασίζεται στη διαπίστωση της συμμετρικής συμπεριφοράς θεμελιωδών γεωμετρικών αντικειμένων, είναι διάχυτη στο έργο του κυρτός – κοίλος, σκοτάδι – φως, πάνω – κάτω, και συχνά καλός – κακός τη μεταφυσική πτυχή της δυαδικότητας.  

Λίγοι ήξεραν ότι ο Escher θα γινόταν ένας διάσημος καλλιτέχνης και θα δημιουργούσε ένα εμπνευσμένο έργο που πάντρευε τον κόσμο της τέχνης και των μαθηματικών. Στην εποχή του το έργο του εκτιμήθηκε από μαθηματικούς παρά από ομότεχνούς του. Μόνο σήμερα εμφανίζονται σημαντικά βήματα προς την κατεύθυνση που έδειξε ο  Escher δηλαδή στη γεφύρωση του χάσματος ανάμεσα στις επιστήμες και τις τέχνες.

Από την πλούσια κληρονομιά του Escher, θα σας παρουσιάσουμε κάποια έργα από τις κανονικές διαιρέσεις της επιφάνειας και τις περίφημες πλακοστρώσεις του, στα οποία θα δείτε αυτή τη  λεπτή γραμμή μεταξύ του κόσμου της φαντασίας, των μαθηματικών και της πραγματικής ζωής, αλλά κυρίως θα παρατηρήσετε την υπεροχή των μαθηματικών! 

Ιωάννα Δημοπούλου Μαθηματικός.

Σύμπαν σε υπερβολική ψηφίδωση

Μ. Κ. Εσερ, «Σαύρες και βάτραχοι».

Εκ πρώτης όψεως η ιδέα ότι τα χαρακτικά του Εσερ μπορούν να περιγράψουν τη διάταξη του Σύμπαντος φαίνεται να αντιφάσκει με όσα γνωρίζουμε γι' αυτό.

Τα χαρακτικά στα οποία αναφερόμαστε είναι ψηφιδώσεις, εικόνες από επαναλαμβανόμενα σχήματα, όπως η αλληλοδιαδοχή αγγέλων και νυχτερίδων που βλέπουμε στο «Οριο του κύκλου IV». Αν και τα σχήματα αυτά είναι επίπεδα, χρησιμεύουν ως «προβολές» μιας διαφορετικής γεωμετρίας, της λεγόμενης υπερβολικής γεωμετρίας – περίπου όπως ένας επίπεδος χάρτης αποτελεί προβολή της σφαίρας της Υδρογείου. Για παράδειγμα, παρ' ότι οι νυχτερίδες στην επίπεδη προβολή φαίνεται να μικραίνουν με γεωμετρική πρόοδο προς το όριο του κύκλου, στον χώρο της υπερβολικής γεωμετρίας έχουν όλες το ίδιο μέγεθος. Οι στρεβλώσεις προκύπτουν στην προβολή επειδή ο υπερβολικός χώρος δεν μπορεί να είναι επίπεδος. Αντ' αυτού μοιάζει με ένα στρεβλό, κυματιστό τοπίο με λόφους σαν σαμάρια.

Το Σύμπαν μας όμως δεν μοιάζει καθόλου με κάτι τέτοιο. Οι μετρήσεις της κοσμικής μικροκυματικής ακτινοβολίας υποβάθρου – του αποήχου της Μεγάλης Εκρηξης – και των αποστάσεων των σουπερνόβα έχουν αποκαλύψει ότι το Σύμπαν μας είναι επίπεδο και όχι στρεβλό.

Επίσης επεκτείνεται με επιταχυνόμενο ρυθμό εξαιτίας μιας μυστηριώδους οντότητας η οποία είναι γνωστή ως σκοτεινή ενέργεια. Δεν ξέρουμε τι είναι η σκοτεινή ενέργεια ούτε από πού προήλθε, η μαθηματική γλώσσα όμως της Θεωρίας της Γενικής Σχετικότητας τουΑϊνστάιν έχει βρει έναν τρόπο να περιγράψει αυτή την επιταχυνόμενη επέκταση. Η εισαγωγή μιας σταθεράς – γνωστής ως Κοσμολογική Σταθερά – στις εξισώσεις της Γενικής Σχετικότητας κάνει το Σύμπαν να επεκτείνεται επ' άπειρον, μόνο όμως αν η σταθερά έχει θετικό πρόσημο. Ως τώρα το να λέμε ότι ζούμε σε ένα επ' άπειρον επεκτεινόμενο Σύμπαν είναι το ίδιο με το να λέμε ότι το Σύμπαν μας έχει μια Κοσμολογική Σταθερά με θετική τιμή.

Ωστόσο υπάρχουν ορισμένα τεράστια προβλήματα. Η Γενική Σχετικότητα καλύπτει μεν αυτή την πλευρά του Σύμπαντος, αλλά δεν μπορεί να περιγράψει τη Μεγάλη Εκρηξη. Ούτε μπορεί να ενώσει τη βαρύτητα, η οποία επενεργεί σε μεγάλες κλίμακες, με την κβαντομηχανική, η οποία επενεργεί σε πολύ μικρές κλίμακες. «Αυτό σημαίνει ότι δεν μπορεί κάποιος να προβλέψει γιατί ζούμε στο Σύμπαν στο οποίο ζούμε» λέει ο κ. Χέρτογκ.

Εσερ και θεωρία των χορδών

Η θεωρία των χορδών από την πλευρά της προσφέρει μια ωραία ολοκληρωμένη εικόνα της ιστορίας του Σύμπαντος και ενώνει τη βαρύτητα με την κβαντομηχανική. Ταιριάζει όμως περισσότερο σε ένα Σύμπαν με αρνητικά καμπυλωμένη, παρόμοια με τα χαρακτικά του Εσερ γεωμετρία και με μια αρνητική Κοσμολογική Σταθερά.

Αυτό έχει φέρει τους φυσικούς μπροστά σε ένα τεράστιο χάσμα: από τη μια πλευρά βρίσκεται ένα Σύμπαν το οποίο λειτουργεί αλλά δεν περιγράφεται από μια πλήρη θεωρία και από την άλλη βρίσκεται μια πλήρης θεωρία η οποία δεν περιγράφει το υπάρχον Σύμπαν.

Η στροφή της πλάστιγγας

Μ.Κ. Εσερ, «Αχιβάδες και αστερίες».

Οι θεωρητικοί των χορδών βασανίζονταν επίσης με σύμπαντα με θετικές κοσμολογικές σταθερές τα οποία έτειναν να είναι ασταθή. Η κατασκευή τους μοιάζει λιγάκι με το να προσπαθεί κάποιος να ισορροπήσει ένα μολύβι όρθιο με τη μύτη: μπορεί να κρατηθεί για λίγο, όμως η ενεργητικά πιο σταθερή κατάσταση ενός μολυβιού είναι να κάθεται ξαπλωμένο στο τραπέζι, οπότε κάποια στιγμή θα πέσει. Οι πιο επιτυχημένες εκδοχές της θεωρίας των χορδών θα προτιμούσαν να ζουν σε ένα σύμπαν σαν αυτό του Εσερ.

«Η θεωρία των χορδών με μια αρνητική Κοσμολογική Σταθερά απλώς λειτουργεί πολύ καλύτερα» λέει ο κ. Χέρτογκ.

Η τελευταία δουλειά του κ. Χόκινγκ υποστηρίζει ότι αυτό το υποτιθέμενο ελάττωμα ίσως τελικά να είναι αυτό που «πλέκει» τη θεωρία των χορδών σε μια πραγματικότητα. Σε μια μελέτη την οποία δημοσίευσαν στον διαδικτυακό τόπο Arxiv.org ο αστροφυσικός και οι συνεργάτες του περιγράφουν πώς παρήγαγαν μια πληθώρα συμπάντων από κυματικές εξισώσεις με αρνητικές κοσμολογικές σταθερές, με κάποια από αυτά να επεκτείνονται και να επιταχύνονται.

«Ορισμένα από αυτά τα σύμπαντα επιταχύνονται ακριβώς σαν το Σύμπαν μας» λέει ο κ. Χέρτογκ. «Αποκαλύπτεται ότι η κβαντική κατάσταση περιλαμβάνει και τα δύο είδη συμπάντων, αυτόματα». Σε μια συγκεκριμένη κυματική εξίσωση μάλιστα αυτά τα επιταχυνόμενα και επεκτεινόμενα σύμπαντα αποδεικνύονται και τα πιθανότερα.

Μια κομψή σύνδεση

Μ. Κ. Εσερ, «Ιπτάμενα ψάρια».

Το κλειδί σε αυτή τη θεωρία ήταν η συνειδητοποίηση ότι τα σύμπαντα που παρήγε η κυματική εξίσωση της ομάδας μπορούσαν να εξελιχθούν ώστε να μοιάζουν πολύ με μια συγκεκριμένη διατύπωση της θεωρίας των χορδών, την οποία έχει αναπτύξει ο Χουάν Μαλντασένα του Ινστιτούτου Προωθημένων Μελετών στο Πανεπιστήμιο του Πρίνστον το 1997. «Υπήρχε μια μαθηματική σύνδεση, μια πολύ κομψή σύνδεση» λέει ο κ. Χέρτογκ.

Από τη στιγμή που εντόπισαν αυτή τη σύνδεση με την κυματική τους εξίσωση, ο κ. Χόκινγκ και η ομάδα του αποφάσισαν να δοκιμάσουν να ενώσουν τις δύο θεωρίες διατυπώνοντας μια καινούργια κυματική εξίσωση με μια αρνητική Κοσμολογική Σταθερά. Θεώρησαν ότι αυτό θα τους επέτρεπε να δανειστούν την ωραία πλήρη μαθηματική εικόνα του Σύμπαντος που προσφέρει η θεωρία των χορδών για να παραγάγουν σύμπαντα που επεκτείνονται επιταχυνόμενα.

Τι γίνεται όμως με τις παρατηρήσεις που υποδηλώνουν ότι το Σύμπαν μας είναι επίπεδο; Κατά τον ίδιο τρόπο που οι νόμοι της κίνησης του Νεύτωνα λειτουργούν για τα καθημερινά αντικείμενα αλλά υποχωρούν παραχωρώντας τη θέση τους στους πιο αναλυτικούς νόμους του Αϊνστάιν στις κοσμολογικές κλίμακες, η ομάδα του κ. Χόκινγκ πιστεύει ότι η φαινομενικά επίπεδη κατάσταση του Σύμπαντος μπορεί να το περιγράφει καλά στο επίπεδο που μας είναι ορατό αλλά από εκεί και πέρα υποχωρεί παραχωρώντας τη θέση της σε μια υποκείμενη γεωμετρία σαν αυτή των έργων του Εσερ.

Ακόμη νωρίς για συμπεράσματα

Μ. Κ. Εσερ,  «Ιππείς».

Ακόμη ωστόσο είναι πολύ νωρίς για να διακηρύξουμε ότι το ζήτημα του Σύμπαντος λύθηκε. Ο κ. Μαλντασένα δηλώνει ότι το μοντέλο της ομάδας του κ. Χόκινγκ δεν καλύπτει ορισμένες πλευρές των ολοκληρωμένων εκδοχών της θεωρίας των χορδών, όπως οι προβλέψεις για τη σταθερότητα ορισμένων σωματιδίων. «Θα ήταν θαυμάσιο αν αυτό ήταν το μόνο που έχουμε να κάνουμε» λέει.«Νομίζω όμως ότι είναι υπερβολικά απλουστευμένο. Είναι δύσκολο να δει κάποιος πώς μπορεί να επεκταθεί σε μια πληρέστερη θεωρία».

Ο κ. Χέρτογκ συμφωνεί ότι η δουλειά τους δεν είναι ολοκληρωμένη. Πιστεύει όμως ότι η αρνητική Κοσμολογική Σταθερά θα οδηγήσει κάποια στιγμή σε μια πλήρη περιγραφή του Σύμπαντος που παρατηρούμε γύρω μας. «Είναι μια λεωφόρος που ανοίγει τώρα» λέει.«Οχι κάτι που ήδη έχουμε στα χέρια μας».

Πηγή : http://www.tovima.gr/