Τα Μαθηματικά στο Βυζάντιο.

Στο Βυζάντιο αναφέρεται ότι τα Μαθηματικά άνθισαν τον 5ο, τον 6ο, τον 9ο, τον 10ο, τον 13ο και τον 14ο αι. Οι μαθηματικοί δε των πρώτων βυζαντινών χρόνων άκμασαν στην Αλεξάνδρεια. Επί Ιουστινιανού, όμως, και λόγω της μεγάλης τότε οικοδομικής δραστηριότητας, το κέντρο βάρους μετατοπίστηκε στην Κωνσταντινούπολη.

Λαμβάνοντας υπόψιν ότι κατά τη χρονικὴ περίοδο (1143-1180), η βυζαντινή αυτοκρατορία είχε ήδη συρρικνωθεί και περιοριστεί σε ελληνόφωνες περιοχές, αλλά το Βυζάντιο παρέμενε πάντα πιο προηγμένο σε σχέση με τη Δύση στον τομέα των Μαθηματικών. Γενικότερα, δεν είναι δυνατόν να κατηγορήσουμε ἀβασάνιστα τους Βυζαντινούς για στασιμότητα στα Μαθηματικά, διότι π.χ. μέχρι το 1816 μ.Χ. που ο Gauss αμφισβήτησε το 5ο αίτημα του Ευκλείδη δεν είχαμε κάποια συνταρακτική επιστημονικὴ ανακάλυψη. Από την άλλη πλευρά, οι Βυζαντινοί διδάσκαλοι φρόντισαν να διατηρήσουν και να μεταδώσουν τις γνώσεις που τους κληροδότησαν οι αρχαίοι Έλληνες, τις οποίες μάλιστα σε ορισμένες περιπτώσεις επαύξησαν σχολιάζοντας τα αρχαία κείμενα και κάνοντας εύστοχες παρατηρήσεις σε αυτά. Κατά την άποψη των ερευνητών, αν δεν υπήρχαν οι Βυζαντινοί αντιγραφείς, ίσως πολλά ἔργα κλασικών συγγραφέων να είχαν χαθεί με την καταστροφή της μεγάλης Αλεξανδρινής Βιβλιοθήκης. Για να είμαστε όμως αντικειμενικοί, οφείλουμε να ἐπισημάνουμε ότι η ουσιαστική επιστημονική πρόοδος υπήρξε ὅταν το 1826 ο Riemann και το 1829 ο Lobatchewsky ἔθεσαν τὶς βάσεις των μη Ευκλειδείων Γεωμετριών.

Παρακάτω παρατίθενται εν συντομία ενδεικτικά στοιχεία της επιστημονικής δραστηριότητας των βυζαντινών επιστημόνων, όπως:

Η έκδοση ανώνυμης μαθηματικής τετρακτύος το 1008, όχι υψηλού επιπέδου, που δείχνει όμως τι είδους κείμενα παραδίδονταν τότε στα πλαίσια μιας έστω και στοιχειωδώς θεσμοθετημένης ἐκπαιδευτικῆς πορείαςΗ Σύνοψη περὶ μετρήσεως και μερισμοῦ της γῆς (γεωδαισία), του Ἰωάννη Πεδιάσιμου (ἐποχὴ των Παλαιολόγων), στην οποία χρησιμοποιήθηκαν από τον συγγραφέα γραπτά του Ευκλείδη, του Ήρωνα του Αλεξανδρέα, και του Ήρωνα του Βυζαντίου.

Το Σύνταγμα των 4 μαθημάτων, ή Τετράβιβλος, του Παχυμέρη (1300), που σε σύγκριση με την τετρακτὺ του 1008 ἀποβαίνει σαφώς υπέρ του, αφού είναι υψηλού επιπέδου από διδακτική άποψη, παρά το ότι έχει συχνά ασαφείς ορισμούς.

Η ¨Ψηφοφορία κατ' Ἰνδοὺς¨ του Πλανούδη (1255-1305).

Η ¨Λογιστικὴ¨ ἀνωνύμου συγγραφέα του 15ου αἰ., η οποία σε η μαθηματικὴ Ἐγκυκλοπαίδεια των Βυζαντινῶν, και πιθανότατα η πρώτη Ἐγκυκλοπαίδεια Μαθηματικῶν.

Κατά το 1300 μ.Χ. ἔγινε στο Βυζάντιο ο διαχωρισμός των "εμπορικών" από τα "ακαδημαϊκά" Μαθηματικά, και μολονότι από τον 14ο αἰ. τα ἐμπορικὰ ή πρακτικά Μαθηματικά δεν διδάσκονταν στα Πανεπιστήμια, η διδασκαλία τους βρισκόταν σε συνεχή ανταγωνισμό με την ύλη που διδασκόταν στὶς Ἀνώτατες Σχολές. Αυτό ὀφειλόταν στο ότι τα πρακτικά Μαθηματικά ενδιέφεραν πλήθος ἀνθρώπων επειδή βοηθούσαν στην επίλυση προβλημάτων σχετιζομένων με ζητήματα της καθημερινής τους ζωής, και επιπλέον κατηγορίες εργαζομένων όπως οι έμποροι, οι χειροτέχνες, οι διοικητικοί υπάλληλοι, οι πρωτομάστορες στις οικοδομές, οι τοπογράφοι κ. ἄ. χρειάζονταν μαθηματικές γνώσεις. Στα τέλη του 14ου αιώνα οι περισσότεροι αξιόλογοι Έλληνες διδάσκαλοι εἶχαν μεταβεί στηΦλωρεντία, ὅπου ἀναβίωσαν την αρχαία ελληνική γνώση. Η δε Φλωρεντία έγινε η κυριότερη αγορά ἀρχαίων χειρογράφων.

Οι τελευταίες δεκαετίες πριν την ἅλωση της Κων/πολης θεωρείται ότι δεν προσέφεραν κάτι σημαντικό στα Μαθηματικά. Ὡστόσο η ύπαρξη μεγάλου πλήθους χειρογράφων δείχνει ότι το ενδιαφέρον για την τετρακτή αλλὰ και τη λογιστική και τη γεωδαισία που ήταν κλάδοι των κατ' εξοχήν εμπορικών Μαθηματικῶν ήταν μεγάλο. Σημειωτέον ότι όπως ήδη αναφέρθηκε, μεγάλος αριθμὸς ελληνικών χειρογράφων είχαν περάσει ή επρόκειτο να περάσουν στη Δύση μέσω της Φλωρεντίας κυρίως, γεγονός που βοήθησε στην πνευματική αναγέννηση της Ευρώπης.

Η Βυζαντινή ἐποχὴ φθάνει στο τέλος της με ἔργα προορισμένα για πρακτική χρήση. Αυτά σε ως επί το πλείστον βιβλία Αριθμητικής, δηλαδή συλλογές ἐπιλεγμένων προβλημάτων λογιστικής και γεωδαισίας που σε δημιουργίες κληροδοτημένες από την παράδοση πολλών χρόνων και πολλών λαών. Αὐτὲς οι συλλογές περιλαμβάνουν στοιχεία πολύτιμα για την ἐξέλιξη του πολιτισμού και τηςγλώσσας, διότι ἀναφέρονται σε διάφορα ζητήματα της καθημερινής ζωής την εποχή εκείνη (μετατροπὲς νομισμάτων, φορολογικά, προβλήματα εταιρείας και γενικά προβλήματα εμπορίου κ.ἄ.). Δυστυχώς τα περισσότερα βιβλία της λογιστικής, τα οποία πιθανότατα προορίζονταν και για διδασκαλία στα τότε Δημοτικά σχολεῖα, χάθηκαν εκτός από ελάχιστα του 14ου και του 15ου αἰώνα. Μερικά από αυτά δημοσιεύθηκαν στη Βιέννη, και σύμφωνα με τους εκδότες H. Hunger και K. Vogel στα αρχεία της Βιέννης ὑπάρχουν πολλά ἀνέκδοτα προβλήματα των τελευταίων χρόνων της Βυζαντινής Αυτοκρατορίας και των πρώτων δεκαετιών από την άλωση της Κωνσταντινούπολης υπό των Τούρκων.

πηγή : Βικιπαίδεια

Η θεολογική και αγιολογική γραμματεία του Βυζαντίου έχει ενσωματώσει πολλά πορίσματα της αρχαίας επιστήμης. Για παράδειγμα, ο Φίλων ο Αλεξανδρεύς και ο Μέγας Βασίλειος ανέλυσαν το ιερό κείμενο της Γένεσης με τέτοιο τρόπο ώστε να ταιριάξει με το γενικά αποδεκτό αστρονομικό πρότυπο της ελληνορωμαϊκής παράδοσης περί του γεωκεντρικού σφαιρικού κόσμου. Στην ίδια την Κωνσταντινούπολη επανεκδόθηκαν πολλά έργα αρχαίων και νεότερων επιστημόνων, όπως του Ευκλείδη, του Αρχιμήδη, του Απολλώνιου από την Πέργη της Παμφυλίας, του Κλαύδιου Πτολεμαίου, του Διόφαντου, του Θέωνος του Αλεξανδρέα (του πατέρα της Υπατίας) και άλλων. Αργότερα, αραβικές πηγές αναφέρουν την παρουσία Βυζαντινών επιστημόνων στη Βαγδάτη και τη Δαμασκό, που από τις αρχές του 9oυ αιώνα απέβησαν κέντρα καλλιέργειας των μαθηματικών, ειδικά της άλγεβρας, και της αστρονομίας. Το Βυζάντιο βρισκόταν σε συνεχή επαφή με το αραβικό χαλιφάτο αυτή την περίοδο και η τεχνογνωσία τους, σε ειρηνικά ή πολεμικά έργα, όπως μαρτυρεί η περίπτωση του υγρού πυρός, ήταν σε μεγάλο βαθμό κοινή.

Παράλληλα, η επιστήμη των Αράβων επέδρασε πολύ και τους Βυζαντινούς λόγιους, ιδίως στην επίλυση πρακτικών μαθηματικών προβλημάτων και στην κατάστρωση αστρονομικών πινάκων. Οι πίνακες αυτοί περιείχαν προβλέψεις για τις θέσεις των ουρανίων σωμάτων, των συζυγιών και των εκλείψεων, πολύ χρήσιμων στοιχείων που βοηθούσαν στον υπολογισμό του Πάσχα και τη διάγνωση ωροσκοπίων.

Οι επιστήμες στις οποίες γίνεται περισσότερο έκδηλη η διαφοροποίηση του Βυζαντίου από την παλαιότερη παράδοση και η συμβολή του στην εξέλιξη της επιστήμης είναι η αρχιτεκτονική και η μηχανολογία. Ήδη από την Ύστερη Αρχαιότητα είναι γνωστό ότι λειτουργούσαν ειδικές σχολές τόσο στην Κωνσταντινούπολη όσο και στις μεγάλες πόλεις της επαρχίας. Εκεί, όσοι ήθελαν να γίνουν αρχιτέκτονες μελετούσαν τα έργα του Ευκλείδη, του Βιτρούβιου και του Πάππου από την Αλεξάνδρεια και εμβάθυναν στην αριθμητική και τη γεωμετρία, αλλά και στα πρακτικά μαθηματικά και τις άμεσες εφαρμογές τους.

Πηγή:exploringbyzantium.gr

Ένα μουσείο μαθηματικών

                           Ένα μουσείο μαθηματικών

             Ανοίγοντας τις πόρτες στη ζωή του Πι 

Joshua Bright
Το έκθεμα "String Product"
Μουσείο Μαθηματικών

   Για όσους έχουν εξαρτηθεί από τις δυνάμεις και τις δυνατότητες των μαθηματικών,

το μυστήριο δεν είναι γιατί δεν έχει εξελιχθεί αυτός ο ενθουσιασμός αλλά γιατί δεν

είναι παγκόσμιος. Πώς μπορούν οι μαθητές να μην έλκονται;

   Γιατί, λοιπόν, μέχρι σήμερα δεν υπήρχε κάποιο σημαντικό μουσείο μαθηματικών στις Η.Π.Α; Γιατί τα μαθηματικά έχουν παραμεληθεί από το πάνθεον των μουσείων; Πιθανώς

κάποιος χομπίστας να έχει εκθέσει γρίφους αλλά ένα ολόκληρο μουσείο αφιερωμένο

στα μαθηματικά; Θα πρέπει να ανατρέξουμε στην ιστορία των μουσείων επιστήμης

στην Ευρώπη, όπου τα μαθηματικά έστεκαν ως θεμέλιος λίθος των πραγμάτων,

για να πάρουμε μια ιδέα.

Ή, για μια τελείως διαφορετική εμπειρία, μπορείτε να επισκεφθείτε το Madison Square

Park στο Μανχάταν για να δείτε το νέο Μουσείο Μαθηματικών, το οποίο αυτοπροσδιορίζεται

ως MoMath. Το MoMath δεν είναι αυτό που ίσως περιμένει κάποιος. Στην αρχή, ίσως

ο επισκέπτης δεν μαντέψει καν το αντικείμενό του. Υπάρχουν μερικά στοιχεία

που αποκαλύπτουν το χαρακτήρα του, ειδικά εάν κάποιος αναγνωρίσει το σύμβολο του

Πι πάνω στην πόρτα ή εάν ανακαλύψει τους νιπτήρες σε σχήμα πεντάγωνου στις

τουαλέτες. Όμως, τι είναι αυτός ο κύλινδρος κατασκευασμένος από πλαστικούς σωλήνες

που οδηγούν στην οροφή με μια θέση εσωτερικά (“Hyper Hyperboloid”);

Ή ένα τρίκυκλο με τρεις τετράγωνες ρόδες, καθεμία διαφορετικού σχήματος, να τσουλάει

κατά μήκος ενός κυκλικού μονοπατιού (“Square-Wheeled Trike”); Επιπλέον, τι είναι αυτή

η οθόνη πάνω στην οποία ζωγραφίζεις ηλεκτρονικά σχέδια με ένα πινέλο (“Polypaint”);

Τα δυο συνδεόμενα μονοπάτια πάνω στα οποία γίνονται αγώνες με αντικείμενα

(“Tracks of Galileo”); Το φωτισμένο με πίξελ δάπεδο, το οποίο ανταποκρίνεται

στις κινήσεις(“Math Square”);

Αυτό δεν είναι μουσείο, ίσως σκεφτεί κάποιος, πρόκειται για μια παιδική χαρά

υψηλής τεχνολογίας, με 30 εκθέματα σε δυο ορόφους. Στέκομαι μπροστά στην οθόνη

και βλέπω τον εαυτό μου σαν δέντρο που πετάει κλαδιά με μικρούς εαυτούς μου

(“Human Tree”). Βούτηξα ένα πινέλο με μπογιά σε νερό κι έφτιαξα ίχνη σε έναν

μαυροπίνακα (“Water Frieze”). Παιδικά παιχνίδια ή μήπως κάτι άλλο;

Ο ιδρυτής του μουσείου, Glen Whitney, αποφάσισε να δημιουργήσει ένα μουσείο όπου

θα υμνούνται τα μαθηματικά. Ο στόχος ήταν να φανεί ότι τα μαθηματικά είναι

διασκεδαστικά, συναρπαστικά. Το MoMath είναι ένα μουσείο προσηλυτισμού. Ενώ, όμως,

από τεσσάρων έως οχτώ θεωρείται ότι είναι το ηλικιακό κοινό στο οποίο απευθύνεται,

είναι δύσκολο να φανταστεί κάποιος ότι ένα μικρότερο παιδί ή ένας ώριμος ενήλικας δε

θα προσελκυστεί από ορισμένα εκθέματα. Με διάφορους τρόπους, η ατμόσφαιρα

που δημιουργούν τα εκθέματα είναι πιο προκλητική από τις εξηγήσεις του περιεχομένου.

Ο λόγος που δεν υπάρχουν πολλά μουσεία μαθηματικών είναι ότι ο ενθουσιασμός που

γεννά το αντικείμενο είναι δύσκολο να επικοινωνηθεί.»

Αυτό το οποίο συμβαίνει με τα καλύτερα εκθέματα του μουσείου είναι ότι βλέπεις τον

εαυτό σου σαν ένα δέντρο που διασπείρει ιδανικές εικόνες του εαυτού σου και μαθαίνεις

για τα μορφοκλάσματα ή βλέπεις τα φώτα από το λέιζερ μέσα από διαφανή στερεά

και αντιλαμβάνεσαι την έννοια του διαστήματος.

Το πρόβλημα είναι ότι δεν υπάρχει αρκετή καθοδήγηση για εμβάθυνση. Τα

εκθέματα προσφέρουν οθόνες αφής, οι οποίες μπορούν να παρουσιάσουν τρεις

διαφορετικές εξηγήσεις αλλά αυτές οι επεξηγήσεις είναι το πιο αδύναμο σημείο του

μουσείου. Οι πιο βασικές είναι συχνά επιτηδευμένες ή αρκετά λεπτομερείς. Όσες είναι σε

πιο προχωρημένο επίπεδο δεν είναι τόσο δηλωτικές.

πηγή: The New York Times

http://momath.org/

διασκευή, μετάφραση: Χρύσα Πιπιλή

To Momath άνοιξε!

Tα μαθηματικά τ΄ αγαπώ γιατί ... είναι ωραία!

Τα μαθηματικά μπορεί να είναι πραγματικά ωραία αφού, όπως απέδειξαν Βρετανοί ερευνητές, δημιουργούν στον εγκέφαλο την ίδια αίσθηση που γεννά ένα καλλιτεχνικό αριστούργημα ή η σύνθεση κάποιου μεγάλου μουσουργού.

Για να αποκαλύψουν την ομορφιά της μαθηματικής επιστήμης ή, καλύτερα, κάποιων μαθηματικών τύπων, οι επιστήμονες του University College του Λονδίνου επέδειξαν σε μαθηματικούς «όμορφες» και «άσχημες» εξισώσεις ενόσω υποβάλλονταν σε μαγνητική τομογραφία εγκεφάλου. Οπως διαπιστώθηκε, οι «όμορφες» εξισώσεις ενεργοποιούσαν τα ίδια εγκεφαλικά κέντρα με αυτά που δραστηριοποιούνται όταν αξιολογούμε κάποιο καλλιτεχνικό έργο ως ωραίο. Οι ερευνητές, λοιπόν, πιστεύουν ότι υπάρχει κάποια νευροβιολογική βάση στην ομορφιά.

Τα θεωρήματα του Πυθαγόρα και του Οϊλερ σπάνια περιλαμβάνονται στην ίδια πρόταση με τα έργα του Σαίξπηρ, του Μότσαρτ ή του Μονέ. Και όμως, λένε οι ερευνητές, ο εγκέφαλός μας αναγνωρίζει κάτι κοινό σε όλα αυτά τα πράγματα: την ομορφιά.

Οι ερευνητές έδωσαν σε 15 μαθηματικούς εξήντα εξισώσεις και τύπους και τους ζήτησαν να τις αξιολογήσουν.

Οπως αναφέρει ένας εκ των επιστημόνων που πραγματοποίησαν την έρευνα, ο καθηγητής Σεμίρ Ζέκι, όταν βλέπουμε εξισώσεις, ενεργοποιούνται πολλές περιοχές του εγκεφάλου. Οταν όμως κάποιος κοιτάζει έναν τύπο ο οποίος έχει χαρακτηριστεί «όμορφος», τότε ενεργοποιείται ο «συναισθηματικός εγκέφαλος» ακριβώς όπως όταν βλέπουμε έναν όμορφο πίνακα. Οσο πιο όμορφος είχε θεωρηθεί ο μαθηματικός τύπος, τόσο μεγαλύτερη ήταν η ενεργοποίηση του εγκεφάλου που καταγράφηκε στη διάρκεια της λειτουργικής μαγνητικής τομογραφίας (fMRI).

Στη μελέτη οι περισσότεροι μαθηματικοί επέλεξαν ως «ωραιότερη» την εξίσωση του Οϊλερ καθώς περιλαμβάνει τις πέντε σημαντικότερες μαθηματικές σταθερές και τις τρεις βασικότερες αριθμητικές πράξεις, την πρόσθεση, τον πολλαπλασιασμό και την ύψωση σε δύναμη.

Ο μαθηματικός και καθηγητής Κατανόησης των Επιστημών, Μάρκους ντι Σοτουά επισημαίνει πως ο ίδιος βρίσκει την απόλυτη ομορφιά στα μαθηματικά και ότι ακριβώς αυτό το κάλλος λειτουργεί σαν κίνητρο για κάθε μαθηματικό. Ο Ντι Σοτουά, εξάλλου, σημειώνει ότι είναι πολύ κρίμα που ακριβώς αυτή η ομορφιά των μαθηματικών απουσιάζει από τα σχολεία και ότι ακόμα και μαθητές με στοιχειώδεις γνώσεις θα μπορούσαν να δουν καταπληκτικά πράγματα.

Τέλος, η μελέτη, η οποία δημοσιεύεται στην επιθεώρηση Frontiers in Human Neuroscience, αποδεικνύει ότι τα μαθηματικά είναι όμορφα, αλλά πρόσφατα συνάδελφοί τους από το Πανεπιστήμιο του Μάντσεστερ είχαν αποδείξει ότι υπάρχει σχέση που συνδέει τις αριθμητικές αλληλουχίες και την ίδια τη φύση.

Θα λέγατε ποτέ ότι μια εξίσωση είναι όμορφη; Αν δεν έχετε καλή σχέση με τα μαθηματικά, μάλλον θα απαντήσετε αρνητικά. Οι μαθηματικοί ωστόσο πολύ συχνά χρησιμοποιούν τη λέξη «ωραία» για να εκφράσουν τον θαυμασμό τους προς μια εξίσωση που θεωρούν ξεχωριστή. Και μάλιστα δεν μένουν απλώς στα λόγια. Οι περισσότεροι υποστηρίζουν ότι αυτή την ομορφιά τη νιώθουν πραγματικά, τους συγκινεί με τον ίδιο τρόπο που θα τους συγκινούσε καθετί ωραίο, όπως για παράδειγμα ένα έργο τέχνης. Αυτό ακριβώς ήταν που ώθησε τον Σεμίρ Ζέκι, διακεκριμένο νευροεπιστήμονα και καθηγητή του University College του Λονδίνου, να εξετάσει τους ισχυρισμούς τους στον εγκεφαλικό τομογράφο.

Το «Λεμόνι» (φωτογραφία αριστερά) και το «Παράδεισος και κόλαση» είναι δύο από τις «κλασικές» αλγεβρικές εξισώσεις που οπτικοποιήθηκαν με το πρόγραμμα Surfer του Imaginary από τον Herwig Hauser

Ο καθηγητής Ζέκι, ο οποίος έχει στο ενεργητικό του μια σειρά σημαντικές ανακαλύψεις σχετικά με το οπτικό σύστημα του εγκεφάλου, έχει στρέψει τα τελευταία χρόνια το ενδιαφέρον του στον τομέα της νευροαισθητικής διερευνώντας την αισθητική «λειτουργία» του εγκεφάλου μας. Ενα από τα πιο σημαντικά ευρήματα των μελετών του, οι οποίες ήταν οι πρώτες του είδους, είναι ότι η ομορφιά, είτε προέρχεται από οπτικά ερεθίσματα, όπως στην περίπτωση ενός ζωγραφικού πίνακα ή ενός γλυπτού, είτε από ακουστικά, όπως στην περίπτωση ενός μουσικού κομματιού, «αποτυπώνεται» στην εγκεφαλική δραστηριότητά μας ενεργοποιώντας κυρίως μια συγκεκριμένη περιοχή στον λεγόμενο  «συναισθηματικό εγκέφαλο», τον έσω κογχομετωπιαίο φλοιό (mOFC). Αντίστοιχα ένα έργο τέχνης ή ένα μουσικό κομμάτι το οποίο θεωρούμε άσχημο ενεργοποιεί διαφορετικές - αλλά και πάλι συγκεκριμένες - περιοχές, κυρίως την αμυγδαλή και τον κινητικό φλοιό (δείτε και «Το μέτρο της ομορφιάς», «ΒΗΜΑScience», 7.10.2012).

Τι έκανε όμως τον νευροβιολόγο να στρέψει το ενδιαφέρον του από την «απτή» ομορφιά των αισθήσεων στην καθαρά «αφηρημένη» ομορφιά των μαθηματικών; «Οι λόγοι είναι δύο» μας απαντά ο κ. Ζέκι, τον οποίο συναντήσαμε στην Αθήνα, όπου βρέθηκε με αφορμή την αναγόρευσή του ως επίτιμου διδάκτορα του Ιατρικού Τμήματος της Σχολής Επιστημών Υγείας του Εθνικού και Καποδιστριακού Πανεπιστημίου Αθηνών (ειδικά για την περίσταση μάλιστα εκδόθηκε και διατέθηκε στην τελετή το βιβλίο «Η νευροαισθητική στον 21ο αιώνα - Από τον Πλάτωνα στον Ζέκι» της επίκουρης καθηγήτριας ΝευρολογίαςΜαρίας Αναγνωστούλη-Πουλημένου). «Κατ' αρχάς ήθελα να δω αν αυτή η συναισθηματική εμπειρία της ομορφιάς που περιγράφουν οι μαθηματικοί και η οποία προέρχεται από μια πολύ νοητική πηγή προκαλεί δραστηριότητα στα ίδια σημεία του εγκεφάλου με την ομορφιά που προέρχεται από περισσότερο αισθητηριακές πηγές» εξηγεί.«Δεύτερον, από τον Πλάτωνα και μετά οι μεγάλοι φιλόσοφοι έχουν υποστηρίξει ότι από την ομορφιά παίρνουμε γνώση. Τι είδους γνώση παίρνουμε λοιπόν από τα μαθηματικά; Οι μεγάλοι μαθηματικοί και φυσικοί, όπως ο Πολ Ντιράκ και ο Αλμπερτ Αϊνστάιν, έχουν πει ότι το βασικό χαρακτηριστικό ενός μαθηματικού τύπου ο οποίος είναι αληθής είναι η ομορφιά. Η μελέτη αυτού του είδους της ομορφιάς αναδεικνύεται επομένως σε ένα πολύ ευρύ και πολύ βαθύ ερώτημα σχετικά με το τι είδους γνώση για τον κόσμο μας μάς προσφέρει».

Ομορφιά = αλήθεια

Για να στηρίξει την άποψη ότι με κάποιον τρόπο στο μυαλό μας η ομορφιά συνδέεται με αυτό που θα αποκαλούσαμε «σωστό» ή «αλήθεια» ο καθηγητής φέρνει ως παράδειγμα την περίπτωση του γερμανού μαθηματικού, θεωρητικού φυσικού και φιλοσόφου Χέρμαν Βέιλ, ο οποίος ήταν ένας από τους πρώτους που προσπάθησαν να συνδέσουν τον ηλεκτρομαγνητισμό με τη γενική θεωρία της σχετικότητας. «Κατέληξε σε έναν μαθηματικό τύπο που ο ίδιος πίστευε ότι ήταν πολύ ωραίος αλλά κανείς δεν τον αποδεχόταν γιατί έλεγαν ότι δεν ισχύει» αναφέρει. «Για καμιά δεκαριά χρόνια κανένας δεν έμπαινε καν στον κόπο να τον κοιτάξει. Και ύστερα, με την έλευση της κβαντομηχανικής, ξαφνικά αποδείχθηκε ότι ίσχυε. Εδώ έχουμε λοιπόν μια πίστη στα γεγονότα η οποία στηρίζεται στην ομορφιά πολύ προτού το γεγονός γίνει γνωστό. Και αυτό είναι εκπληκτικό. Ποιες είναι λοιπόν οι αλήθειες που τα μαθηματικά αποκαλύπτουν μέσω της ομορφιάς;».

Η παρατήρηση ότι ένα από τα βασικά επιχειρήματα όσων βρίσκουν μια εξίσωση ωραία είναι πως «έχει νόημα» γι' αυτούς δίνει κατά την άποψη του καθηγητή τροφή για σκέψη σε πολλά επίπεδα. «Μπορούμε να πούμε το ίδιο και για την "Πιετά" του Μικελάντζελο, ότι έχει νόημα; Μπορούμε. Τι σημαίνει, λοιπόν, αυτό το "έχει νόημα;"» διερωτάται.«Φαντάζομαι ότι σημαίνει πως κάτι στη λογική και στον εγκέφαλό μας μάς λέει ότι είναι σωστό, ότι ταιριάζει» συμπληρώνει, προσθέτοντας ότι τα αποτελέσματα αυτής της τελευταίας μελέτης έκαναν τον ίδιο και τους νευροεπιστήμονες και μαθηματικούς συνεργάτες του να συνειδητοποιήσουν ότι άνοιξαν ένα νέο πεδίο προβληματισμού το οποίο απλώνεται σε πολλούς τομείς. «Εγώ τουλάχιστον προβληματίζομαι σχετικά με το εξής: Εχουμε εξελιχθεί στο Σύμπαν. Σε ποιον βαθμό η διατεταγμένη δομή αυτού του Σύμπαντος έχει αποτυπωθεί στον εγκέφαλό μας;» λέει. «Ενα παράδειγμα που μου αρέσει να φέρνω είναι αυτό της θεωρίας των χορδών. Η θεωρία των χορδών είναι μια θεωρία για την οποία δεν υπάρχει πειραματική απόδειξη. Είναι καθαρά θεωρητική. Το ερώτημα είναι: Θα μπορούσαν οι άνθρωποι να επινοήσουν μια θεωρία σαν αυτήν αν δεν είχαμε την εγκεφαλική δομή και λειτουργία που διαθέτουμε; Πιστεύω ότι υπάρχει κάτι στην οργάνωση του εγκεφάλου μας το οποίο μας επιτρέπει να επινοούμε τέτοιες θεωρίες».

Το κάλλος της γνώσης

Υπό αυτό το νέο πρίσμα, σε τι χρησιμεύει τελικά η ομορφιά; «Αυτό είναι ένα από τα πιο ενδιαφέροντα συμπεράσματα που αναδεικνύονται» μας απαντά. «Οι περισσότεροι, συμπεριλαμβανομένων των επιστημόνων και των καλλιτεχνών, θα σας πουν ότι η επιστήμη είναι για τη γνώση και η τέχνη είναι για την απόλαυση. Η ομορφιά και η τέχνη δεν είναι το ίδιο, αλλά για πολύ μεγάλο διάστημα είχαν εξισωθεί, και η ομορφιά είναι επίσης για την απόλαυση. Δεν νομίζω όμως ότι ο Πλάτων θα είχε την ίδια άποψη. Ο Πλάτων θα σας έλεγε ότι η ομορφιά οδηγεί στη γνώση και στη σοφία. Και η γνώση και η σοφία, η απόκτηση της γνώσης, κινούν τη λειτουργία του εγκεφάλου. Ο εγκέφαλος παλεύει διαρκώς για τη γνώση». Αυτό κατά την άποψη του καθηγητή τοποθετεί τον τομέα της νευροαισθητικής σε ένα άλλο, πολύ πιο «βαρύ» επίπεδο από την ελαφρότητα που ενδεχομένως αποπνέει για ορισμένους το συνθετικό «αισθητική». «Για μεγάλο διάστημα ο κόσμος έλεγε: "Νευροαισθητική, τι είναι αυτό; Ο Ζέκι γέρασε. Δούλεψε πάνω στην όραση, στην όραση των χρωμάτων, της κίνησης, των σχημάτων, στις οπτικές περιοχές του εγκεφάλου και τα λοιπά, αυτά ήταν σκληρή επιστήμη. Τώρα γέρασε και κάνει μαλακή επιστήμη"» μας λέει. «Τα πράγματα όμως είναι αντίστροφα. Αυτό που κάνω τώρα είναι σκληρή επιστήμη. Η άλλη είναι εύκολη επιστήμη. Το να κοιτάζεις τις συνδέσεις του εγκεφάλου, από το Α στο Β, αυτό είναι εύκολο. Το να κοιτάζεις πώς αποκρίνονται τα κύτταρα στα ηλεκτρόνια, αυτό είναι εύκολο. Το να μπορέσεις όμως να κατανοήσεις τη νευροβιολογική βάση της ομορφιάς και τι αυτή θέλει να πει και πώς ενσωματώνονται διαφορετικά είδη ομορφιάς σε ένα ενιαίο σύστημα, αυτό είναι σκληρή επιστήμη. Πολύ σκληρή επιστήμη».

Ωραίες και άσχημες

Οι εξισώσεις στον τομογράφο

Ωραιότερη εξίσωση κρίθηκε η ταυτότητα του Οϊλερ (αριστερά), ασχημότερη η σειρά απείρων όρων του Ραμάνουτζαν (δεξιά)

Προκειμένου να ελέγξει αν η «αφηρημένη» ομορφιά των εξισώσεων, η οποία είναι αποτέλεσμα καλλιέργειας και μάθησης και απορρέει από νοητικές διεργασίες και όχι από αισθητηριακά ερεθίσματα, βιώνεται με τον ίδιο τρόπο με την ομορφιά που προκύπτει από την τέχνη, ο νευροεπιστήμονας αποφάσισε να ακολουθήσει την ίδια πειραματική μεθοδολογία με τις προηγούμενες μελέτες του. Με μία διαφορά: ενώ στα προηγούμενα πειράματα, στα οποία είχε διερευνήσει την «οικουμενική» ομορφιά των αισθήσεων, είχε επιλέξει να εξετάσει «κοινούς θνητούς» αποκλείοντας τους ειδήμονες όπως οι κριτικοί και οι ιστορικοί έργων τέχνης ή οι ζωγράφοι και οι μουσικοί, τη φορά αυτή οι συμμετέχοντες ήταν μαθηματικοί και μάλιστα προχωρημένου επιπέδου - μεταπτυχιακοί ή μεταδιδακτορικοί ερευνητές. Οι 15 συμμετέχοντες κλήθηκαν αρχικά να αξιολογήσουν μια σειρά  εξισώσεις ως «ωραίες», «ουδέτερες» ή «άσχημες». Στη συνέχεια είδαν σε τέσσερις διαφορετικές συνεδρίες τις εξισώσεις αυτές να προβάλλονται σε μια οθόνη ενώ οι ίδιοι υποβάλλονταν σε λειτουργική μαγνητική τομογραφία (fMRI) και έκαναν ξανά την αξιολόγησή τους.

Οπως μας λέει ο Σεμίρ Ζέκι, σε ορισμένες περιπτώσεις η αξιολόγηση διέφερε - κάποιος π.χ. μπορεί την πρώτη φορά να είχε αξιολογήσει μια εξίσωση ως «ουδέτερη» αλλά στον εγκεφαλικό τομογράφο να τη θεώρησε «ωραία» ή το αντίστροφο. Το σημαντικό όμως εύρημα που προέκυψε από τις απεικονίσεις ήταν ότι, πέραν των πολλών διαφορετικών περιοχών που ενεργοποιούνται όταν κάποιος εξετάζει μια μαθηματική εξίσωση, στις «ωραίες» εξισώσεις ο εγκέφαλος των εθελοντών εμφάνιζε δραστηριότητα στον έσω κογχομετωπιαίο φλοιό, ακριβώς όπως είχε συμβεί στα πειράματα με τα έργα τέχνης και τις μουσικές συνθέσεις. Επιπλέον, όπως και στα προηγούμενα πειράματα, όσο πιο ωραία έκρινε ο εθελοντής μια εξίσωση τόσο πιο έντονη ήταν η δραστηριότητα στη συγκεκριμένη περιοχή. Αν και παρατηρήθηκαν κάποιες αποκλίσεις, σε γενικές γραμμές για ορισμένες εξισώσεις υπήρξε ομοφωνία: η πιο ωραία από όλες, βάσει των αξιολογήσεων, ανακηρύχθηκε η ταυτότητα του Οϊλερ, ακολουθούμενη από το Πυθαγόρειο Θεώρημα, τον τύπο του Οϊλερ που αφορά τη σχέση μεταξύ εκθετικών και τριγωνομετρικών συναρτήσεων και τις εξισώσεις των Κοσί - Ρίμαν. Ως πιο άσχημη κρίθηκε από τους περισσοτέρους η σειρά απείρων όρων για 1/π του Ραμάνουτζαν, ακολουθούμενη από τη συναρτησιακή εξίσωση του Ρίμαν. Στην κατηγορία των «ουδέτερων» τοποθετήθηκαν μεταξύ άλλων η χαρακτηριστική του Οϊλερ (ή τύπος πολυέδρων του Οϊλερ) και το θεώρημα Γκάους - Μπονέ.

ΑΦΑΙΡΕΣΗ Ή ΕΙΚΟΝΑ;

Στον εγκέφαλο ενός μαθηματικού

Τι είναι εκείνο που κάνει μια εξίσωση ωραία στα μάτια ενός μαθηματικού; «Νομίζω ότι ένας σημαντικός παράγοντας είναι ο συνδυασμός της απλότητας με την πολυπλοκότητα. Θα πρέπει, όταν την κοιτάζεις, να είναι κατά κάποιον τρόπο κομψά απλή, αλλά ταυτόχρονα να μεταδίδει κάτι βαθύ και σύνθετο» λέει μιλώντας στο «Βήμα» ο Αντρέας Ντάνιελ Ματ, μαθηματικός του Μαθηματικού Ινστιτούτου του Ομπερβόλφαχ στη Γερμανία. Ολα βεβαίως, όπως προσθέτει, εξαρτώνται από την εμπειρία που έχει κάποιος. «Αν δουλεύεις πολύ με πολύ σύνθετες εξισώσεις, προφανώς τις βρίσκεις και αυτές πολύ ωραίες γιατί τις ξέρεις και σε συγκινούν μόλις τις βλέπεις» εξηγεί. «Εδώ λοιπόν ερχόμαστε στον δεύτερο παράγοντα, τη συγκίνηση, τα συναισθήματα που σου προκαλεί η εξίσωση όταν την κοιτάζεις. Αυτά φυσικά σχετίζονται είτε με την εμπειρία που είχες δουλεύοντας με αυτήν είτε με την εμπειρία που βιώνεις εκείνη τη στιγμή όταν κοιτάζεις μια εξίσωση και αυτή σου προσφέρει ένα νέο στοιχείο ή μια καινούργια γνώση. Για παράδειγμα, η ταυτότητα του Οϊλερ δίνει μια νέα σχέση μεταξύ των άρρητων αριθμών και του 1 ή του -1 και του 0. Είναι απλή, αλλά σου δείχνει μια σχέση η οποία σε εκπλήσσει και δεν την περίμενες». Ο τρίτος παράγοντας είναι δυσκολότερο να προσδιοριστεί αλλά φαίνεται να είναι εξίσου σημαντικός - αν όχι σημαντικότερος, αν σκεφθούμε και την «εξίσωση» των επιστημόνων που θέλει την ομορφιά να ισοδυναμεί με το «σωστό» και την «αλήθεια». «Δεν ξέρω πώς να το περιγράψω ακριβώς, είναι ένα συναίσθημα, μια αίσθηση ότι πρόκειται για κάτι κλασικό και αιώνιο, ένα είδος μακροπρόθεσμης ομορφιάς - κάτι το οποίο υπήρχε, υπάρχει και θα υπάρχει πάντα, θα είναι πάντα έτσι. Είναι απλό αλλά και πολύ βαθύ ταυτοχρόνως».

Ο καθηγητής Ζέκι μας είπε ότι ο σερ Μάικλ Ατίγια, ο επιφανής βρετανός μαθηματικός με τον οποίο συνεργάστηκε στη μελέτη, απογοητεύθηκε από το γεγονός ότι η σειρά απείρων όρων του Ραμάνουτζαν, μια πολύ σημαντική εξίσωση, αξιολογήθηκε ως η πιο άσχημη. Ο κ. Ματ έχει όμως μια εξήγηση γι' αυτό και μας τη σχηματοποιεί με έναν μουσικό παραλληλισμό, παρομοιάζοντας την εξίσωση του Οϊλερ με τη μουσική του Μότσαρτ και εκείνη του Ραμάνουτζαν με τη σύγχρονη κλασική μουσική. «Εγώ θεωρώ ότι και η εξίσωση του Ραμάνουτζαν είναι πολύ ωραία, πρέπει όμως να την έχει συνηθίσει κάποιος για να την εκτιμήσει. Ξέρετε, υπάρχει σχέση με την τέχνη και τη μουσική. Για παράδειγμα, η κλασική μουσική του Μότσαρτ είναι εύκολη στο άκουσμα, την έχουμε συνηθίσει και μας αρέσει αμέσως, όπως η εξίσωση του Οϊλερ. Η σύγχρονη κλασική μουσική είναι όμως δύσκολη, όπως και η free jazz. Αρχικά μπορεί να ηχεί ακόμη και άσχημη. Οταν όμως κάποιος "μπει" μέσα σε αυτήν, τη λατρεύει. Οι σύνθετες εξισώσεις όπως αυτή του Ραμάνουτζαν είναι κάπως έτσι. Δεν ξέρω αν μπορεί κάποιος να πει ότι είναι σύγχρονα μαθηματικά, είναι όμως μια διαφορετική θεωρία των αριθμών».

Ο μαθηματικός εργάζεται μεταξύ άλλων στο Imaginary, ένα πρόγραμμα του Ινστιτούτου του Ομπερβόλφαχ το οποίο έχει ως στόχο να κάνει κατανοητά τα μαθηματικά στο ευρύ κοινό. Ενα από τα «εργαλεία» που έχουν αναπτύξει για αυτόν τον σκοπό είναι το Surfer, ένα λογισμικό που επιτρέπει στον χρήστη να οπτικοποιήσει εξισώσεις και να τις μετατρέψει, προσθέτοντας χρώματα και τοποθετώντας τες στον χώρο, σε πραγματικά έργα τέχνης (το «ΒΗΜΑScience» σε συνεργασία με το Ινστιτούτο είχαν διοργανώσει έναν σχετικό διαγωνισμό - δείτε και «Η ομορφιά του Imaginary», «ΒΗΜΑScience», 13.2.2011). Το Surfer λειτουργεί μόνο με αλγεβρικές εξισώσεις, οπότε δεν μπορεί να μας προσφέρει τη χαρά να απολαύσουμε έστω οπτικά τις εξισώσεις που χρησιμοποιήθηκαν στη μελέτη του καθηγητή Ζέκι. Το βέβαιον πάντως είναι ότι, ακόμη και αν είχαμε αυτή την ευκαιρία, η συγκίνηση που θα νιώθαμε θα ήταν εντελώς διαφορετική από αυτήν των «μυημένων» στα μαθηματικά. Οπως μας λέει ο κ. Ματ, οι μαθηματικοί δεν μετατρέπουν απαραίτητα στο μυαλό τους τις εξισώσεις σε εικόνες - ο τρόπος που τις αντιλαμβάνονται δεν είναι τόσο οπτικός όσο νοητικός. «Με το Surfer όμως η εξίσωση γίνεται εικόνα και αυτό είναι ένα άλλο είδος ομορφιάς το οποίο χρησιμοποιούμε πολύ στο Imaginary» εξηγεί.«Είναι η ομορφιά της οπτικοποίησης των εξισώσεων που προσφέρει ως αποτέλεσμα μια όμορφη εικόνα των αλγεβρικών επιφανειών στον χώρο. Και αυτό είναι ωραίο, με έναν διαφορετικό τρόπο».

Έντυπη

                     Βλέποντας τον Υπερκύβο.

Το πρώτο αντικείμενο του παράξενου κόσμου των 4 διαστάσεων είναι ο υπερκύβος.

Στις 3 διαστάσεις (μήκος , πλάτος , ύψος) έχουμε τον κύβο. Το αντίστοιχο σχήμα

του κύβου στις 4 διαστάσεις είναι ο υπερκύβος. Πώς φτιάχνεται όμως; Αν

μετακινήσουμε έναν κύβο κατά μια μονάδα κάθετα ως προς τον εαυτό του ,τότε

το σχήμα που θα προκύψει είναι ο υπερκύβος. Βέβαια αυτή η κίνηση δεν μπορεί

να πραγματοποιηθεί στον γνωστό μας τρισδιάστατο χώρο , παρά μόνο στον

τετραδιάστατο γι'αυτό και δεν μπορούμε να τη δούμε , αλλά να τη φανταστούμε.

Προβολή ενός περιστρεφόμενου υπερκύβου σε διδιάστατο

προβολικό χώρο που δίνει την εντύπωση του τριδιάστατου.

Ο υπερκύβος έχει 32 ίσες ακμές , 16 κορυφές , οι ακμές του σχηματίζουν 16 ίσα

τετράγωνα , ενώ μπορούμε να εντοπίσουμε σε αυτόν 8 ίσους κύβους.

Η τρισδιάστατη απεικόνηση του (ανάπτυγμα) φαίνεται στην παρακάτω εικόνα:

Ο υπερκύβος έχει αποτελέσει αντικείμενο φιλοσοφικών και μεταφυσικών

συζητήσεων και έχει εμπνεύσει ζωγράφους , όπως τον Salvador Dali

(Corpus Hypercubus , 1954)

Ο παραπάνω πίνακας εκτίθεται στο Μητροπολιτικό Μουσείο της Νέας Υόρκης και παριστάνει τον Εσταυρωμένο πάνω στο ανάπτυγμα ενός Υπερκύβου που μοιάζει με σταυρό. Στο έργο αυτό είναι φανερός ο υπαινιγμός για την πραγματική φύση του Θεανθρώπου. Το μυστήριο της θείας φύσης Του κρύβεται στα νήματα της μη αισθητής φύσης του τετραδιάστατου υπερχώρου.

Εκείνο που μπορούμε να κατανοήσουμε σε σχέση με αυτόν είναι η προβολή του υπεραισθητού γίγνεσθαι στον τρισδιάστατο χώρο.

(Από το βιβλίο των Μ.Δανέζη-Στρ.Θεοδοσίου, “Η Κοσμολογία της νόησης”)

Πηγές:

http://blogystera.wordpress.com/2007/09/21/texnh/

http://en.wikipedia.org/wiki/Main_Page

Τα μαθηματικά αντικείμενα είναι αφηρημένες αριστοτελικές μορφές.

Το περιεχόμενο του άρθρου σχετίζεται με τη φιλοσοφική διαπραγμάτευση για την ύπαρξητων μαθηματικών αντικειμένων. Ποια είναι η σχέση των μαθηματικών με την πραγματικότητα; Που υπάρχουν τα μαθηματικά αντικείμενα;

Στους Έλληνες έχουμε τις δύο αιώνιες αντιπαλότητες: τις Πλατωνικές και τις Αριστοτελικές μορφές.

Ο Πλάτωνας υποστήριζε ότι αντικείμενο των μαθηματικών είναι το αιώνιο και αμετάβλητο βασίλειο των ιδεών, άρα δεν ψάχνουμε καμιά σχέση με την πραγματικότητα που γνωρίζουμε. Τα μαθηματικά αντικείμενα , όπως οι αριθμοί και τα γεωμετρικά αντικείμενα, δεν δημιουργούνται, δεν καταστρέφονται και δεν μπορούν να μεταβληθούν.

Πρόκειται για τη γνώση του αιωνίου όντος και όχι αυτού που πότε χάνεται και πότε γεννιέται……..(Πολιτεία)

αν και μπορούμε να παρατηρήσουμε ότι ο αιώνιος κόσμος του Πλάτωνα είναι η φαντασία μας, αφού μόνον εκεί δεν κυλάει ο χρόνος και σταματούν οι μεταβολές, πράγμα που τον εξαιρεί από τις φυσικές έννοιες, αφού δεν ορίζεται εκτελεστικά.

Τα μαθηματικά αντικείμενα στον Αριστοτέλη έχουν να κάνουν την έννοια της Αριστοτελικής μορφής, που είναι άλλο πράγμα.

Τι είναι η μορφή;

Η μορφή είναι τα πράγματα που γίνονται στην ύλη το τι εστί….Φυσικά 190 α 20

η μορφή και το πρότυπο, δηλαδή ο οριστικός λόγος που λέει το τι ήν είναι, και τα ανώτερα γένη στα οποία ο λόγος αυτός μπορεί να αναχθεί π.χ μορφή του διαπασών είναι η σχέση του δύο προς ένα και γενικότερα ο αριθμός. Φυσικά 194 β …..

Η μορφή είναι το σύνολο κάποιων ιδιαίτερων χαρακτηριστικών του σώματος που το καθορίζουν, και του δίνουν αναγνωρισιμότητα, καθορίζοντας τη λειτουργία του μέσα στον κόσμο. Είναι κρίσιμο να εννοήσουμε την έννοια της μορφής.

Όταν ένας εξωγήινος παρατηρήσει μια καρέκλα, δεν την κατανοεί πλήρως ποτέ, γιατί θα του διαφεύγει η μορφή, αυτό που δίνει αναγνωρισιμότητα στα πράγματα. Έτσι είμαστε και εμείς μπροστά στα φυσικά δημιουργήματα. Αν δεν συλλάβουμε τη μορφή , δηλαδή τη λειτουργία που δίνει νόημα στον ιδιαίτερο τρόπο συμπεριφοράς μέσα στην ολότητα, δεν κατανοούμε την πραγματικότητα, η γνώση μας είναι ελλιπής. Η γνώση της μορφής είναι το σπουδαιότερο και δυσκολότερο επίτευγμα. Με τη μορφή κατανοούμε τον κόσμο, με την ύλη τον γνωρίζουμε.

Η ύλη είναι το νερό της θάλασσας και η μορφή τα κύματα της θάλασσας.

Η μορφή δεν είναι το σχήμα της καρέκλας, αλλά το νόημα της καρέκλας, αυτό που κάνει όλες τις καρέκλες να είναι το ίδιο πράγμα (το πρότυπο), κι ας έχουν διαφορετικά σχήματα, κι αυτό το νόημα έχει σχέση με το σκοπό που εξυπηρετείται.[1]

η μορφή συλλαμβάνεται με το νου όχι με τις αισθήσεις. Η καρέκλα αναγνωρίζεται από τη λειτουργία της στο να καθόμαστε.

Η μορφή κουβαλάει όλο το Αριστοτελικό νόημα των σωμάτων.

Όμως τα χαρακτηριστικά αυτά της μορφής, όπως το βάρος στην πέτρα ή το μήκος κύματος στο κύμα, έχουν την ύπαρξή τους μέσα στο σώμα και δεν υπάρχουν αυτόνομα και καθ’ εαυτά, όπως υπάρχει η πέτρα ή το νερό. Δεν μπορούμε να πάρουμε το βάρος απ’ την πέτρα αλλά ολόκληρη την πέτρα. O κόσμος δεν είναι η πέτρα, ούτε το βάρος αλλά η πέτρα και το βάρος, ο κόσμος είναι πράγμα και νόημα (δεν εξετάζουμε τώρα το νόημα το οποίο είναι η σκοπιμότητα στη φύση και η ολιστική της θεώρηση, η καρδιά της Αριστοτελικής θεωρίας), γιατί αλλιώς θα ήταν ένα αυθαίρετο δημιούργημα του πνεύματος μας. Αυτό αποφεύγεται με τη διπλή έννοια της ύλης και της μορφής, που αποτελούν την ουσία. Προσοχή Οι μορφές του Αριστοτέλη είναι διαφορετικές απ’ τις Μορφές του Πλάτωνα. Για τον Πλάτωνα η Μορφή είναι πρωταρχική, τα υλικά σώματα είναι δευτερεύοντα, μια «αμυδρή αναπαράσταση» των Μορφών. H ύψιστη πραγματικότητα βρίσκεται σ’ αυτό που σκεφτόμαστε λογικά. Για τον Αριστοτέλη αντίστροφα, είναι αυτό που αντιλαμβανόμαστε με τις αισθήσεις.. Αν δεν υπάρχουν τα στοιχειώδη σωματίδια δεν θα υπήρχε η μορφή που ονομάζεται στοιχειώδες σωματίδιο. Τίποτα δεν υπάρχει μέσα στη συνείδηση αν προηγουμένως δεν έχει περάσει απ’ τις αισθήσεις. Tα πράγματα στον εξωτερικό κόσμο έχουν μορφές αλλά δε υπάρχει ξεχωριστός κόσμος που φιλοξενεί αυτές τις μορφές όπως στο Πλάτωνα, οι μορφές ενυπάρχουν στα μεμονωμένα αντικείμενα και συμβάλουν αποφασιστικά στην κατανόηση του κόσμου.

Μορφές και νους

…η μορφή δεν μπορεί να χωριστεί απ’ τα πράγματα, εκτός με νοητική ενέργεια…Φυσικά 193 β 5,

Η φύση, διδάσκει ο Αριστοτέλης, είναι συγχρόνως διπρόσωπη και μια φυσική θεωρία πρέπει να μελετάει και τις δύο όψεις της, αυτό είναι το κεντρικό δόγμα της Αριστοτελικής φυσικής διδασκαλίας: Η φυσική έρευνα αποσκοπεί να φωτίσει την ουσία αυτού του δυϊσμού.

…Επειδή η φύση παρουσιάζεται με δύο απόψεις και ως μορφή και ως ύλη πρέπει να την εξετάσουμε σαν να

αναζητούσαμε την ουσία αυτού του δυϊσμού, αφού τα όντα δεν υπάρχουν ούτε χωρίς ύλη, ούτε ο υπαρκτός τους τρόπος είναι σαν της ύλης …Φυσικά 194 α 15

.. Η φύση είναι διττή , ύλη απ’ τη μια πλευρά και μορφή από την άλλη …..φυσικά 199α 33…εφ’ όσον η φύση είναι διττή , με ποια ασχολείται ο φυσικός; Ή μήπως με το σύνθετο των δύο; Αλλά αν ασχολείται με το σύνθετο, ασχολείται και με την κάθε μία. Ανήκει λοιπόν σε μία και την ίδια επιστήμη να γνωρίσει και τη μία και την άλλη (ύλη και μορφή). …Φυσικά 194 α 15

Πώς όμως συμβαίνει η κατανόηση αυτού του δυισμού, ο οποίος υπάρχει στη φύση; Ποια είναι η ουσία της αναζήτησης;

Συμβαίνει με την εμπλοκή του άϋλου νου στην ερμηνεία του υλικού κόσμου, δια μέσου της μορφής. Η μορφή είναι άϋλη, δεν είναι ύλη είναι λειτουργία, έχει για κατοικία της το νου του ανθρώπου, τον άυλο νου, που όντας άυλος εισάγει ένα στοιχείο αϋλότητας στον κόσμο που κατά τα άλλα είναι υλικός.

Σε τι ακριβώς αντιστοιχεί η μορφή στη σημερινή θεώρηση;

Η μορφή είναι αυτό που στη φυσική ονομάζουμε έννοια.

Και η προτροπή του Αριστοτέλη για την ουσία του δυισμού στο προηγούμενο απόσπασμα, εκφράζει τη σημασία που έχει για την ερμηνεία της φύσης η σωστή αντιστοίχηση των εννοιών στα πράγματα, που σήμερα έγινε αντικείμενο έρευνας από κορυφαίους θεωρητικούς φυσικούς.

Έναν τρόπο αντιστοίχησης, τον εκτελεστικό τρόπο ορισμού των εννοιών στη φυσική, εισάγει ο Bridgman 2300 χρόνια αργότερα αναγνωρίζοντας τη σημασία του δυισμού αυτού. Η αποτυχία της κλασσικής φυσικής για το Bridgman προέκυψε από το λανθασμένο τρόπο ορισμού των εννοιών, δηλαδή για τον Αριστοτέλη η λανθασμένη αντιστοίχηση της ύλης σε μορφή.

Το άϋλο του νου και το υλικό του εγκεφάλου είναι η αιτία που συλλαμβάνουμε τη διττή όψη της φύσης. Ο άνθρωπος είναι κατασκευασμένος όπως η φύση, έχει το λογισμικό να κατανοήσει τη διπλή πραγματικότητα. Αν ο νους ήταν υλικός φαίνεται ότι δεν θα χρειαζόμασταν τις μορφές, ούτε τις έννοιες, η νοημοσύνη μας θα ήταν όπως του υπολογιστή, θα γνωρίζαμε αλλά δεν θα κατανοούσαμε. Η υλική εικόνα των αισθήσεων παράγεται απ’ τον εγκέφαλο και η άυλη των μορφών παράγεται από το νου. Η διπλή αυτή κατασκευή του ανθρώπου βρίσκεται σε αρμονία με τη διττή υπόσταση της φύσης.

Άλλο νους, άλλο εγκέφαλος λοιπόν για τον Αριστοτέλη. Όπως και άλλο ύλη, άλλο μορφή. Το σημαντικό εδώ είναι ότι η σύγχρονη φυσιολογία φαίνεται να το επιβεβαιώνει.

…«Η άποψη ότι όλα τα νοητικά φαινόμενα μπορούν να αναχθούν σε μια επιχείρηση «αυτόματου τηλεφωνικού κέντρου»μέσα στον εγκέφαλο έχει αντιστραφεί. Οι άνδρες που αφιέρωσαν τη ζωή τους στη φυσιολογία και στη χειρουργική του εγκεφάλου, στρέφονται όλο και πιο πολύ προς την αντίθετη άποψη που θα μπορούσε να συνοψιστεί ο εγκέφαλος είναι εγκέφαλος, ο νους είναι νους , και δεν ξέρουμε πως γίνεται το δίδυμο».(Α Καίσλερ)

Τα μαθηματικά

Έτσι η επιστήμη τελικά είναι η κατανόηση των εμπειριών. Τι σημαίνει εδώ η λέξη κατανόηση; Σημαίνει τη διαδικασία εκείνη που κάνει τις εμπειρίες αναγνωρίσιμες και ίσως τελικά προβλέψιμες. Αυτό γίνεται με τα νοητά που συμπληρώνουν τις εμπειρίες, αυτά κατασκευάζονται από το νου και είναι οι «μορφές» των όντων. Όμως τη μορφή συμπληρώνει το πρότυπο, τα ανώτερα γένη….

…η μορφή και το πρότυπο, δηλαδή ο οριστικός λόγος που λέει το τι ήν είναι, και τα ανώτερα γένη στα οποία ο λόγος αυτός μπορεί να αναχθεί π.χ μορφή του διαπασών είναι η σχέση του δύο προς ένα και γενικότερα ο αριθμός. Φυσικά 194 β …..

Ο Ευκλείδης σε λεπτομέρεια από τη Σχολή των Αθηνών του Ραφαήλ, 1509.

Αυτό το πρότυπο της μορφής είναι τα μαθηματικά. Στα μαθηματικά μεταβαίνουμε με την «έννοια του αφαιρείν». Είναι συχνή η αναφορά που κάνει ο Αριστοτέλης στα μαθηματικά αντικείμενα αντιμετωπίζοντάς τα ως αφαιρέσεις (εξ” αφαιρέσεως, εν αφαιρέσει, δι” αφαιρέσεως) την οποία μέσα στα κείμενά του την εξηγεί πολλαπλώς. Στα «μετά τα Φυσικά Ζ11« μιλάει για την αφαίρεση του υλικού στοιχείου ενός αντικειμένου στη σκέψη π.χ του χαλκού από τον χάλκινο κύκλο, αλλού μιλάει για την αφαίρεση των κατά συμβεβηκώς ιδιοτήτων. Έτσι νοητικά μπορεί κανείς να διαχωρίσει επιφάνειες , γραμμές και σημεία από τα φυσικά αντικείμενα που τα περιέχουν, και οι φυσικές έννοιες να μετατραπούν σε μαθηματικές έννοιες.

...ο μαθηματικός εξετάζει τα αντικείμενα που προέρχονται από αφαίρεση , διότι τα μελετά αφού πρώτα αφαιρέσει κάθε αισθητή ιδιότητα,….και αφήνει μόνο το ποσό και το συνεχές …και τα παθήματα αυτών ενόσω είναι ποσά και συνεχή…..»μετά τα Φυσικά 1061α, 29″

…..Ο Αριστοτέλης έθεσε ως αίτημα κάποια νοητική ικανότητα αφαίρεσης με την οποία τα (μαθηματικά) αντικείμενα δημιουργούνται, ή αλλιώς παράγονται ή συλλαμβάνονται, με τη θεώρηση των φυσικών αντικειμένων. Κατά μία έννοια είναι οι μορφές των φυσικών αντικειμένων…τα μαθηματικά αντικείμενα που παράγονται μέσω αφαίρεσης δεν υπάρχουν πριν από-ή ανεξάρτητα από τα φυσικά αντικείμενα από τα οποία έχουν αφαρεθεί,,..σημειώστε ότι η αριθμητική και η γεωμετρία επαληθεύονται κυριολεκτικά από μια τέτοια ερμηνεία, στην οποία η μόνη εκκρεμότητα είναι μια εξήγηση της αφαίρεσης,….Shapiro

Τελικά οι μαθηματικές έννοιες μιλούν για τη μορφή των όντων και οι φυσικές έννοιες για την ύλη τους.

Παράδειγμα .

Ένα ακίνητο σκοινί (θα το θεωρήσουμε ύλη) μπορεί να πάρει τη μορφή του κύματος (μορφή), αν ταλαντώσουμε το ένα άκρο του. Η μορφή του κύματος αποτυπώνεται στην εξίσωση (ανώτερα γένη)

με Τ η τάση του σκοινιού, και ρ=m/L (μάζα ανά μονάδα μήκους)

Η εξίσωση (1) δεν δίνει απλώς το σχήμα του κύματος, αλλά έναν ειδικό τρόπο αλληλεπίδρασης του σκοινιού με το περιβάλλον, σαφώς διαφορετικό απ’ αυτόν που θα είχε το ακίνητο σκοινί, αλλά κι αν κινούνταν με διαφορετικό τρόπο. Η παράμετρος t που υπάρχει σ’ αυτήν εκφράζει το ‘ενεργεία’.

Εδώ υπάρχει το κύμα (μορφή) που είναι μια ‘διαταραχή που κινείται δια μέσου του ‘μέσου ‘, και το ίδιο το μέσο (για τη Φυσική είναι η ύλη).Το μέσο μπορεί να είναι το νερό ο αέρας το σκοινί και χαρακτηρίζεται απ’ τις φυσικές του ιδιότητες, πυκνότητα, θερμοκρασία, ελαστικότητα…αυτές οι ιδιότητες δεν χαρακτηρίζουν το κύμα (μορφή). Αυτά (τα κύματα) ξεχωρίζουν απ’ τις δικές τους ιδιότητες, πλάτος, μήκος κύματος, συχνότητα κλπ. Βλέπουμε ότι τα μαθηματικά του κύματος είναι οι ιδιότητες του κύματος, αφού έχουν αφαιρεθεί όλες οι ιδιότητες του μέσου.

...έργο των μαθηματικών είναι να μελετά τα παραπάνω θεωρώντας τα όχι ως ιδιότητες τω φυσικών αντικειμένων…μπορεί ο μαθηματικός να μελετά τις εν λόγω ιδιότητες σε απομόνωση από τη φυσική τους ύπαρξη, γιατί μπορεί η σκέψη να κάνει το διαχωρισμό…συνέπεια αυτού του διαχωρισμού στη σκέψη είναι αυτές οι ιδιότητες να πάψουν να υφίστανται τις αλλαγές που υφίστανται τα φυσικά αντικείμενα..»Φυσικά 193 β33 »

Ας προεκτείνουμε αυτή την ερμηνεία των Αριστοτελικών μορφών

Τι θα πει μήκος κύματος χωρίς κύμα; Θα πει καθαρή μορφή, δηλαδή μαθηματική περιγραφή, το ένα άκρο για τον Αριστοτέλη, το άλλο άκρο είδαμε, η καθαρή ύλη. Δηλαδή τα όρια της κατανόησης του κόσμου είναι ο κόσμος των δυνατοτήτων της καθαρής ύλης και ο κόσμος των μαθηματικών (καθαρή μορφή).

Η φανερή σήμερα τάση των μαθηματικών για γενίκευση που συντελείται με συνεχή αφαίρεση (μια τάση που επιβεβαιώνει σήμερα τις απόψεις του Αριστοτέλη), είναι η τάση να προσεγγίσουμε το όριο της κατανόησής μας. Αντίστοιχα η πορεία της φυσικής με τη μελέτη του «πολύ μικρού», είναι η τάση μας να περιγράψουμε το άλλο όριο, αφού εκεί μας οδηγούν οι έρευνες.

Αν θεωρήσουμε (μέχρι νεωτέρας) τη θεωρία των συνόλων ως μια «θεωρία των πάντων» στα μαθηματικά, και την ενέργεια ως την πρώτη ύλη, τότε αυτά είναι τα όρια της κατανόησης του κόσμου μας σήμερα. Πράγματι η ολιστική θεώρηση της φύσης που παράγουν οι μορφές, φαίνεται στην αποτύπωσή τους στα μαθηματικά: στα μαθηματικά όλα είναι ένα: τα σύνολα.

Πηγές:

όλα τα άρθρα για τον Αριστοτελισμό και τη φυσική είναι από το

«Η Αριστελική κίνηση και η σύγχρονη Φυσική» www.mpantes.gr (Αριθμός συμβολαίου πράξης κατάθεσης βιβλίου:5632/29-1-08)

Σκέψεις για τα μαθηματικά (εκδόσεις Πανεπιστημίου Πάτρας, EShapiro)

Ο Αριστοτέλης για όλους Mortimer J. Adler (Παπαδήμα)

[1] αυτή (η μορφή) θα είναι η τελική αιτία…Φυσικά199 α 33

Μαθηματικά και Φυσική – μια ιδιαίτερη σχέση

Posted on 21/01/2013

0

Η βασίλισσα των επιστημών, οι ιχνηλάτες φυσικοί και ο Καστοριάδης

Μια αναφορά του Πέτρου Δήτσα για το βιβλίο του Γιώργου Λ. Ευαγγελόπουλου, “Μαθηματικά και Φυσική, μια ιδιαίτερη σχέση“, Ευρασία, Αθήνα 2010

Δημοσιεύθηκε στο τεύχος Ιανουαρίου 2013 της “Αθηναϊκής Επιθεώρησης του Βιβλίου” (The Athens Review of Books)

Η δυναμική σχέση Μαθηματικών και Φυσικής καταγράφεται εμφατικά στις συναρπαστικές παράλληλες ιστορίες τους. Αυτή τη διαχρονική σχέση και ορισμένα προβλήματα που εγείρει, καθώς και τη συγκεκριμένη εντυπωσιακή αναζωογόνησή της τις τελευταίες δεκαετίες, έχει ως κεντρικό θέμα ο Γιώργος Λ. Ευαγγελόπουλος στο βιβλίο που θα μας απασχολήσει. Ο Γ.Ε. επιλέγει να ξεκινήσει με διαυγή παρουσίαση λίγων βασικών πηγών, επιλεγμένων ως έναυσμα και αρχικό πλαίσιο προβληματισμού, ενώ στη συνέχεια αποτιμά διαφορές και συμπλεύσεις και παρεμβαίνει κριτικά με τις απόψεις του και με τη συμβολή πολυάριθμων πηγών, στοχεύοντας σε μια αποδεκτή ανασύνθεση με ανοιχτά ερωτήματα. Η μεθοδολογία αυτή ταιριάζει στην σπάνιου εύρους επίμονη περιέργεια του συγγραφέα, ο οποίος, μετά από μακροχρόνια εντρύφηση, έχει τα εφόδια να διερευνά με εργαλειακή και κριτική επάρκεια ένα φάσμα θεμάτων που εκτείνεται από τα μαθηματικά, την πρώτη και μόνιμή του αγάπη, μέχρι την πρακτική φιλοσοφία των πολιτικών θεσμών, περιλαμβάνοντας ενδιάμεσα ορισμένα θέματα θεωρητικής φυσικής και προβλήματα όπου συναρθρώνεται η επιστημολογία με τη φιλοσοφία.[1]

Ως εναρκτήρια μορφοποίηση-έναυσμα παρουσιάζονται εκτενώς οι σχετικές απόψεις του Κορνήλιου Καστοριάδη, του μόνου ίσως σημαντικού κοινωνικού φιλοσόφου του 20ού αιώνα που προσπάθησε να κατανοήσει τις εξελίξεις των μαθηματικών και των βασικών επιστημών.[2] Αμέσως στη συνέχεια παρουσιάζονται αναλυτικά δύο ακόμα πηγές που εμπλουτίζουν τον προβληματισμό. Η μία είναι ένα απόσταγμα προσωπικής πείρας του Δημήτρη Χριστοδούλου, ενός από τους μεγαλύτερους εν ζωή μαθηματικούς φυσικούς, όπως διατυπώθηκε σε συνέντευξη στον Γ.Ε. για το περιοδικό Quantum την άνοιξη του 1995. Ως τελευταία αρχική πηγή επιλέγονται αποσπάσματα από την αδημοσίευτη διδακτορική διατριβή του Βασίλη Γ. Σακελλαρίου, φυσικού και διδάκτορα της Φιλοσοφίας της Επιστήμης, όπου διερευνώνται, με ενδιαφέρουσες εκτιμήσεις και με πολλαπλή τεκμηρίωση, τα πρόσφατα φαινόμενα αλληλεπίδρασης Φυσικής και Μαθηματικών που ο Γ.Ε. προσπαθεί να αναδείξει.

Ενώ οι παραπάνω πηγές δίνουν το πλαίσιο, ο αναγνώστης διαπιστώνει γρήγορα (και εγώ προσωπικά με ευχαρίστηση) ότι το βιβλίο συνομιλεί ζωηρά με πολλές άλλες πηγές, προσφέροντας στον αναγνώστη πλήθος διαφωτιστικών απόψεων και πληροφοριών. Γενικότερα, όλο το βιβλίο είναι ένας διαρκής διάλογος με συμμετοχή του συγγραφέα – προφανώς η μορφή προβληματισμού που έλκει τον Ευαγγελόπουλο. Οι πηγές παρουσιάζονται εν μέρει στο κυρίως κείμενο, αλλά επίσης στις πολλές, συχνά αναλυτικές, σημειώσεις, συγκεντρωμένες στο τέλος του βιβλίου. Οι σημειώσεις αποτελούν οργανικό μέρος του βιβλίου και αντικατοπτρίζουν την ακόρεστη περιέργεια και αφομοιωτική ευρυμάθεια του συγγραφέα.

Η πραγμάτευση προχωρά σε δύο συχνά επικοινωνούντα ή εναλλασσόμενα, αλλά εννοιολογικά διακριτά επίπεδα, τα οποία θα χαρακτηρίσω σχηματικά ως ιστορικό-πραγματολογικό και φιλοσοφικό-επιστημολογικό.

Το ιστορικό-πραγματολογικό επίπεδο αναφέρεται σε σημαντικές περιπτώσεις αλληλοτροφοδότησης Μαθηματικών και Φυσικής με καινοτόμες έννοιες και τεχνικές. Όπως το θέτει απλά αλλά μεστά ο Καστοριάδης, πρόκειται για το

ατέλειωτο παιχνίδι […], όπου άλλοτε τα Μαθηματικά μοιάζουν να «προετοιμάζουν» από πριν τις μορφές τις οποίες “θα χρειαστεί” η Φυσική, άλλοτε η Φυσική «επιβάλλει και επισπεύδει» την επινόηση μαθηματικών μορφών που δεν υπήρχαν μέχρι τότε, άλλοτε και τα δύο γίνονται μαζί, άλλοτε τέλος η Φυσική μένει μπλοκαρισμένη επειδή δεν κατέστη δυνατόν να «δημιουργηθούν» τα απαιτούμενα μαθηματικά εργαλεία.

Όλοι οι «προσκεκλημένοι» του Ευαγγελόπουλου ομοφωνούν σε αυτή τη γενική περιγραφή, και στο βιβλίο αναφέρονται κλασικά και σύγχρονα παραδείγματα και των τεσσάρων προαναφερθεισών περιπτώσεων. Ένα τέτοιο παράδειγμα είναι και το έργο του Δ. Χριστοδούλου,[3] ενδεικτικό (όπως επισημαίνει και ο ίδιος) του πόσο παραγωγική για την επινόηση μαθηματικών μεθόδων είναι η επίμονη προσπάθεια επίλυσης δύσκολων φυσικών προβλημάτων.

Ιδιαίτερα ευπρόσδεκτη είναι η τεκμηριωμένη παρουσίαση για το πώς οι σύγχρονες φυσικές θεωρίες των κβαντικών πεδίων και χορδών αλληλεπιδρούν δημιουργικά με θεμελιώδεις κλάδους των μαθηματικών. Συγκεκριμένα, όπως αναλύεται λεπτομερώς από τους Β. Σακελλαρίου και Γ.Ε., τις τελευταίες δεκαετίες ορισμένοι μαθηματικοί ορισμοί φυσικών χαρακτηριστικών και τρόποι διατύπωσης και ανάλυσης (ιδεατά, επίλυσης) των παραπάνω φυσικών θεωριών, οδήγησαν στη γόνιμη επαναδιατύπωση και (μερικές φορές) την πρώτη, ή πολύ απλούστερη, επίλυση σημαντικών και δύσκολων μαθηματικών προβλημάτων. Ταυτόχρονα, όμως, οι ερευνητές της θεωρίας χορδών

διαπίστωσαν βαθμιαία ότι έπρεπε να διευρύνουν το περιεχόμενο της θεωρίας, κι ότι κάθε καινούργια πτυχή της άνοιγε τεράστια σκοτεινά δώματα, δυσπρόσιτα στα ερευνητικά τους εργαλεία. Αυτό οδήγησε έναν από τους πιο σημαντικούς θεωρητικούς φυσικούς της εποχής μας, τον Edward Witten, να δηλώσει ότι «η θεωρία χορδών είναι μια θεωρία του 21ου αιώνα που κατά λάθος εμφανίστηκε τον 20ό». Η αδυναμία των θεωρητικών οφείλεται και στο γεγονός ότι τα μαθηματικά που χρειάζονται για να μελετηθεί η θεωρία πρέπει σε μεγάλο βαθμό να δημιουργηθούν από την αρχή. Δεν είναι τυχαίο ότι τα τελευταία 20 χρόνια πάνω από τα μισά μετάλλια Fields (το «Nobel» των μαθηματικών) δόθηκαν για μαθηματικά που σχετίζονται άμεσα ή έμμεσα με τη θεωρία των χορδών.[4]

Πρόκειται για μια πολυδαίδαλη συναρπαστική διαδικασία αλληλεπίδρασης σε πλήρη εξέλιξη, και το βιβλίο αποτελεί διεγερτικό οδηγό για να την παρακολουθήσει ή να την μελετήσει κανείς, ή ακόμα και να την στοχαστεί φιλοσοφικά.

Ένα ενδιαφέρον πρόβλημα της παραπάνω θεματικής αφορά τα διαφορετικά κριτήρια μαθηματικής αυστηρότητας που χρησιμοποιούν οι φυσικοί και οι μαθηματικοί. Το πρόβλημα αυτό θέτει δύσκολα ερωτήματα, που σχετίζονται με το πώς κυοφορούνται οι χρήσιμες για τον άλλο κλάδο επινοήσεις. Π.χ. πώς και πού οριοθετούνται οι διαφορές στα δύο σύνολα κριτηρίων αυστηρότητας, και πώς αυτό διαφοροποιεί τις έννοιες της επιλυσιμότητας και τις ευρετικές-δημιουργικές διαδικασίες στις δύο πλευρές; Πώς αυτό εξειδικεύεται στη συζητούμενη περίπτωση της «μαθηματικής γονιμότητας» της κβαντικής θεωρίας πεδίων και χορδών; Ως προς το τελευταίο, ένα παράθεμα του Μάικλ Γκριν υποδεικνύει (νομίζω εύστοχα, αλλά αρκετά γενικόλογα) τη μαθηματική δυναμικότητα αφ’ ενός της συναρτησιακής ολοκλήρωσης και αφ’ ετέρου ποικίλων ευφάνταστων συμμετριών και ορίων που επινοούν οι θεωρητικοί φυσικοί. Εκτιμώ ότι η λεπτομερέστερη διερεύνηση των υποδείξεων αυτών θα οδηγούσε σε διαφωτιστικά ευρήματα.

Κατά την περιγραφή του πλούσιου πραγματολογικού υλικού γίνεται αναπόφευκτα χρήση δυσπρόσιτων στον μη ειδικό αναγνώστη τεχνικών όρων. Από τους όρους αυτούς μερικοί σκιαγραφούνται στο κυρίως κείμενο, ενώ για όλους υπάρχουν παραπομπές σε εξαιρετική βιβλιογραφία, μέρος της οποίας είναι προσιτό και στους μη επαΐοντες. Καθώς είναι φανερό ότι ο συγγραφέας επιδιώκει να παρακινήσει φοιτητές και αποφοίτους των θετικών επιστημών σε ένα ταξίδι που γοήτευσε τον ίδιο, η υπόδειξη κατάλληλης βιβλιογραφίας είναι μια κρίσιμη παράμετρος για να συμβεί κάτι τέτοιο. Ο βαθμός κατανόησης της συγκεκριμένης θεματικής και συμμετοχής στην πνευματική ζέση που αποπνέει η ανάπτυξή της, θα εξαρτηθεί από τις συναφείς γνώσεις του αναγνώστη (και ίσως από τη δυνατότητα επιλεκτικής πρόσβασης στη βιβλιογραφία). Για τους αναγνώστες που υστερούν σε αυτές τις προϋποθέσεις, το «στοίχημα» του βιβλίου θα εξαρτηθεί από το πόσο ενδιαφέρον θα αναπτύξουν για το υπόλοιπο περιεχόμενό του.

Η φιλοσοφική-επιστημολογική προβληματική γύρω από το θέμα του βιβλίου έχει ως βασικό πλέγμα αναφοράς τις αντίστοιχες φιλοσοφικές απόψεις του Κορνήλιου Καστοριάδη, που γίνονται κατανοητές μόνο όταν ενταχθούν στο εννοιολογικά συνεκτικό σχήμα της οντολογίας του. Όπως εύστοχα αναφέρει ο Γ.Ε., κεντρικές στο σχήμα αυτό είναι (με δικές του υπογραμμίσεις) «…οι έννοιες της συνολοταυτιστικής λογικής (ή αλλιώς, συνολιστικής-ταυτιστικής λογικής), του μάγματος, του στιβαδωτού όντος, αλλά και τουριζικού φαντασιακού και της αυτοποίησης (μέσω της δημιουργίας-ανάδυσης νέων μορφών οργάνωσης του έμβιου κόσμου αλλά και των κοινωνιών)…». Πολύ συνοπτικά, ο Καστοριάδης θεωρεί ότι κάθε ον συναποτελείται από μία ή περισσότερες «στιβάδες», τις οποίες οφείλει να διακρίνει κάθε προσπάθεια διαύγασής του. (Διαύγαση είναι όρος που εισήγαγε ο Καστοριάδης για να συμπεριλάβει –αλλά και να υπερβεί– την εξήγηση και την κατανόηση). Ως βασικές στιβάδες θεωρεί, σε σειρά πολυπλοκότητας, τη φυσική, τη βιολογική, την ψυχική και την κοινωνικο-ιστορική. Κάθε στιβάδα συμμετέχει στις επόμενες πιο πολύπλοκες, αλλά δεν επιβάλλει τα βασικά ειδοποιά χαρακτηριστικά τους, που αναδύονται με τρόπο αυτογενή και μη αναγώγιμο.

Κατά τον Καστοριάδη, η συνολοταυτιστική λογική, η σύνθεση της μαθηματικής θεωρίας συνόλων και της τυπικής λογικής, δηλαδή της λογικής που εδράζεται στις αρχές της ταυτότητας, της μη αντίφασης και του αποκλειόμενου τρίτου, αποτυπώνει επαρκώς (και επομένως διέπει) τις διαδικασίες της φυσικής στιβάδας. Όμως ο Καστοριάδης χρειάζεται μια ευρύτερη λογική, την οποία αποκάλεσε μαγματική λογική ή λογική των μαγμάτων, προκειμένου να διαυγάσει την ανάδυση νέων μορφών οργάνωσης και λειτουργίας στο βιολογικό, και ιδίως στο ψυχικό και κοινωνικο-ιστορικό επίπεδο, καθώς θεωρεί ότι τέτοιες δημιουργίες δεν μπορούν να αναχθούν σε συνδυαστική οποιασδήποτε πολυπλοκότητας και λεπτότητας στο πλαίσιο της τυπικής λογικής. Επιπλέον, εισάγει την κατ’ αυτόν βασική έννοια του ριζικού φαντασιακού, έμφυτης δημιουργικής λειτουργίας με πρωταρχική πηγή τις ατομικές ψυχές (νοούμενες όπως στην ψυχανάλυση), αλλά μορφοποιούμενης κυρίως ως κοινωνικό φαντασιακό και θέσμιση, με τη δημιουργία φαντασιακών σημασιών που νοηματοδοτούν τις παρορμήσεις των κοινωνικοποιούμενων ψυχών.[5] Παρατηρεί κανείς ότι ο Καστοριάδης ουσιαστικά παρακάμπτει τα συνήθη επιστημολογικά ερωτήματα, καθώς και ότι ο προσδιορισμός –από τον ίδιο, αλλά και από άλλους– της μαγματικής λογικής παραμένει αρκετά ασαφής.

Ο Ευαγγελόπουλος αυτοπεριορίζεται να συζητήσει κριτικά τη φιλοσοφία του Καστοριάδη μόνο σε σχέση με τα Μαθηματικά, τη Φυσική και τη Βιολογία. Δέχεται ότι το οντολογικό σχήμα του στιβαδωτού όντος του Καστοριάδη επιβεβαιώνεται σε γενικές γραμμές από τις εξελίξεις της έρευνας στη Φυσική και στη Βιολογία. Παράλληλα, όμως, προβάλλει με επιχειρήματα μερικές αντιρρήσεις στις απόψεις του Καστοριάδη, δύο από τις οποίες παρουσιάζουν γενικότερο ενδιαφέρον και θα αναφερθούν εδώ συνοπτικά.

Η πρώτη αντίρρηση αφορά τη θέση του Καστοριάδη ότι η συνολοταυτιστική λογική αποτελεί αναγκαίο περιορισμό που επικαθορίζει τόσο τις διαδικασίες συνεπαγωγής των Μαθηματικών, όσο και την αξιωματική θεμελίωση των μαθηματικών συστημάτων. Ο Γ.Ε. αναφέρει μεγάλους μαθηματικούς τομείς, όπως τα ιντουισιονιστικά (διαισθητικά) μαθηματικά, τα περατοκρατικά μαθηματικά, τη θεωρία των ασαφών (fuzzy) συνόλων, οι οποίοι, «οικοδομούνται είτε σε λογικές αρχές πολύ ασθενέστερες των ισοδυνάμων της αρχής της ταυτότητας ή της αρχής της μη αντίφασης, είτε σε έννοιες που δεν έχουν ως βάση τους την καντοριανή έννοια του συνόλου…». Προσθέτει, επίσης, με αναφορά σε πλούσια βιβλιογραφία, ότι

υπάρχουν εργασίες που δείχνουν ότι κατά την αξιωματικοποίηση παίζουν ρόλο πολύ περισσότερα πράγματα από τη «συμβιβαστότητα» και την «επάρκεια» των αξιωμάτων: στην επιλογή τους εμπλέκονται ουσιωδώς ζητήματα που έχουν να κάνουν τόσο με την παράδοση του υπό μελέτη μαθηματικού κλάδου (ποια είναι τα σημαντικά προβλήματα, ποιες οι επιθυμητές λύσεις, ποιες οι υποσχόμενες μέθοδοι), όσο και με την αισθητική και τη γνωσιολογία…

Συζητά ακολούθως πιο αναλυτικά κάτι ιδιαίτερα ενδιαφέρον, τον ολοένα αυξανόμενο ρόλο της μαθηματικής θεωρίας των κατηγοριών στην επαναδιατύπωση και συσχέτιση διαφόρων κλάδων των μαθηματικών, αλλά και στην επαναθεμελίωση συνολικά των Μαθηματικών (αντικαθιστώντας στον ρόλο αυτό τη θεωρία συνόλων). Ειδοποιό χαρακτηριστικό της θεωρίας κατηγοριών είναι ότι τα στοιχεία μιας κατηγορίας δεν επιλέγονται επειδή όλα ικανοποιούν κοινές ιδιότητες (όπως στη θεωρία συνόλων), αλλάπροσδιορίζονται αποκλειστικά από τον καθορισμό των μεταξύ τους σχέσεων. Θεωρώ πιθανό ότι ο παραπάνω τρόπος ταυτοποίησης των στοιχείων μιας κατηγορίας θα ενδιέφερε τον Καστοριάδη σε σχέση με τη σύλληψή του των «μαγμάτων».

Η δεύτερη γενικότερη διαφωνία του Γ.Ε. με τον Καστοριάδη έχει να κάνει με την άποψη του τελευταίου ότι ούτε η Φυσική ούτε η Βιολογία, δέσμιες της συνολοταυτιστικής λογικής και των συναπαγόμενων μαθηματικών, δεν μπορούν να διατυπώσουν μια θεωρία που διαυγάζει την ανάδυση νέων μορφών οργάνωσης και συμπεριφοράς στις στιβάδες της αρμοδιότητάς τους. Τέτοια φαινόμενα είναι πράγματι εξαιρετικά δύσκολο να περιγραφούν και να εξηγηθούν αναλυτικά, γιατί οφείλονται στην επικράτηση έντονα συλλογικών συμπεριφορών, ενώ σε κάποια παίζει ενεργό ρόλο και το περιβάλλον. Ξεκινώντας από τη Φυσική, ο Γ.Ε. αντιτείνει ότι μερικά τέτοια φαινόμενα ήδη έχουν κατανοηθεί ποιοτικά και ποσοτικά, όπως π.χ. ορισμένες κρίσιμες αλλαγές φάσεων (με τη μέθοδο της ομάδας επανακανονικοποίησης), και ότι ήδη διερευνώνται μέθοδοι που υπόσχονται περαιτέρω πρόοδο σε μια σειρά παρόμοια προβλήματα. Άλλα παραδείγματα που θα μπορούσαν να αναφερθούν είναι η επιτυχής ανάλυση της ανάδυσης «χαοτικών» συμπεριφορών σε σχετικά απλά δυναμικά συστήματα, η πρόοδος στην διατύπωση «ενεργών θεωριών πεδίου» στην πυρηνική και σωματιδιακή φυσική κ.λπ. Γενικότερα, αντιπροτείνει πειστικά ότι οι δυσκολίες δεν οφείλονται σε προβλήματα αρχής, αλλά πολύπλοκης φυσικομαθηματικής ανάλυσης όταν αλλάζουν οι συλλογικές δυναμικές.

Προχωρώντας στη Βιολογία, ο Γ.Ε. συνοψίζει έναν διεγερτικό διάλογο του Κορνήλιου Καστοριάδη με τον Φρανσίσκο Βαρέλα, βιολόγο που ενσωμάτωσε πρωτοποριακά την αυτονομία ως μία από τις κεντρικές έννοιες της Βιολογίας. Ο Βαρέλα αντιτείνει πειστικά στον Καστοριάδη ότι οι βιολόγοι που μελετούν την ανάδυση μιας νέας μορφής δεν υπόκεινται στο ακραίο δίλημμα να την θεωρήσουν είτε τυχαία είτε υπολογίσιμη. Αντ’ αυτού, μπορούν να αποκτήσουν ακριβή γνώση της συσσώρευσης των συνθηκών που κάνουν δυνατή την ανάδυση και να ταυτοποιήσουν τις ουσιώδεις διεργασίες που οδηγούν σε αυτήν, και μάλιστα σε βαθμό να κατορθώνουν να την αναπαράγουν στο εργαστήριο. Οι παρατηρήσεις αυτές, όπως σημειώνει ο Γ.Ε. με ενδιαφέρουσες αναφορές, ενσωματώνονται αρμονικά στην μη αναγωγική, «στιβαδωτή» μέθοδο τωνλειτουργικών μορφωμάτων ή στοιχείων (functional modules) της λεγόμενης συναρθρωτικής ή συναρμοστικής Βιολογίας (modular Biology). Πράγματι, η ύπαρξη ζωτικών στοχευμένων λειτουργιών, που προκύπτουν συλλογικά από πολύ ειδικέςαλληλεπιδράσεις μεγάλου πλήθους διαφορετικών μορίων, αποτελεί βασική ειδοποιό διαφορά της Βιολογίας από τη Φυσική. Δεν θα επεκταθώ περισσότερο, παραπέμποντας σε ένα διαφωτιστικό άρθρο[6] που αναφέρεται στο βιβλίο. Η προσέγγιση αυτή, ενώ δεν αντιβαίνει στο γενικό οντολογικό σχήμα του Καστοριάδη, φιλοδοξεί, και ήδη μερικές φορές επιτυγχάνει, λεπτομερή γνώση της «γενεσιουργού» (με την έννοια που περιέγραψε ο Βαρέλα) σχέσης μεταξύ βιολογικών στιβάδων. Μια γνώση που επικυρώνεται και από την παρεμβατική χρησιμότητά της.

Αξίζει να κρατηθεί η κεντρική αντίληψη του Γ.Ε. για τις παραπάνω επιστήμες, την οποία θα συνοψίσω πιο προκλητικά απ’ ό,τι ταιριάζει στο δικό του ύφος: ότι η ριζική εφευρετικότητά τους στη διαμόρφωση κατάλληλων εννοιών και (δια)γνωστικών μεθόδων για τη δομο-λειτουργική περιγραφή των επικρατειών τους, τους επιτρέπει να υπερβαίνουν, αργά ή γρήγορα, οριοθετήσεις που απορρέουν από την μάλλον αφηρημένη ανάλυση του φιλοσόφου, η οποία υπερτονίζει τον ρόλο της αναλυτικής υπολογισιμότητας.

Ανακεφαλαιώνοντας τη συνολική μου εντύπωση από το βιβλίο, εκτιμώ ότι ο Γ.Ε., με την εμπνευσμένη επιλογή και οξυδερκή παρουσίαση πλήθους πηγών και χάρις στην κριτική και συνθετική του ικανότητα, καταφέρνει να οργανώσει και να διαφωτίσει ένα πολύπλοκο πεδίο πληροφοριών και απόψεων για τη σχέση Μαθηματικών και Φυσικής και για τις πρόσφατες εξελίξεις στη σχέση αυτή. Προσφέρει έτσι στον αναγνώστη με κάποιο υπόβαθρο γνώσεων μια υψηλού επιπέδου πολυεδρική κατανόηση για τα θέματα αυτά, και εφόδια για περαιτέρω μελέτη εύστοχα επιλεγμένης βιβλιογραφίας. Το μικρό, αλλά πυκνό αυτό βιβλίο, αξίζει να προσεχτεί από όλους όσους ενδιαφέρονται για τα θέματα που θίγει.

[1] 1. Ο Γ.Ε. πρωτοδοκίμασε τις πνευματικές του δυνάμεις ως άριστος λύτης προβλημάτων που προτείνονταν στις στήλες διεθνών και ελληνικών μαθηματικών περιοδικών της εποχής. Υπήρξε επίσης διευθυντής σύνταξης της ελληνικής έκδοσης του εξαιρετικού διεθνούς φυσικομαθηματικού περιοδικού Quantum. Τα γραπτά του της τελευταίας πενταετίας αναφέρονται στον ιστότοπο http://www.biblionet.gr.

[2] Η αξιοθαύμαστη προσπάθεια του Καστοριάδη για ένα υψηλό επίπεδο γνώσεων στα Μαθηματικά και τις βασικές επιστήμες είναι ενδεικτική των προθέσεών του για καθολικήδιαύγαση του κόσμου και ανανέωση του οράματος των γάλλων εγκυκλοπαιδιστών του αναδυόμενου Διαφωτισμού. Βλ. επίσης ένα σύντομο κείμενο του διάσημου έλληνα φυσικού Γιάννη Ηλιόπουλου, «Κορνήλιος Καστοριάδης, ο τελευταίος εγκυκλοπαιδιστής», που παρατίθεται στο βιβλίο του Γ.Ε. και προέρχεται από τον συλλογικό τόμο Ψυχή, Λόγος, Πόλις – Αφιέρωμα στον Κορνήλιο Καστοριάδη (Όμιλος Φίλων του Κορνήλιου Καστοριάδη και Ύψιλον/Βιβλία, Αθήνα, 2007), σ. 101-102.

[3] Εκτός από άλλες διακρίσεις, ο Χριστοδούλου τιμήθηκε πρόσφατα και με το βραβείο Shaw, θεωρούμενο από πολλούς ως το «ασιατικό Nobel».

[4] Από τον πρόλογο του Ηλία Κυρίτση στο βιβλίο του Steven S. Gubser, Το μικρό βιβλίο της θεωρίας χορδών, μτφρ. Π. Δήτσας, Πανεπιστημιακές Εκδόσεις Κρήτης, Ηράκλειο, 2012.

[5] Εκτός από το παρουσιαζόμενο βιβλίο, για τη φιλοσοφία του Καστοριάδη συμβουλεύτηκα το αρκετά διεξοδικό διαυγές βιβλίο του Θεοφάνη Τάση, Καστοριάδης. Μια φιλοσοφία της αυτονομίας, Εκδόσεις Ευρασία, Αθήνα, 2007. Επίσης το άρθρο του Κωστή Σιμόπουλου, «Φαντασιακή αυτονομία ή φανταστικός αυτοεγκλωβισμός; (Μια κριτική προσέγγιση της έννοιας του φαντασιακού του Κ. Καστοριάδη)», Νέα Εστία, τχ. 1722, Αθήνα, Απρίλιος 2000, σ. 588, που εντάσσει κριτικά την καστοριαδική ριζική φαντασία στη μακρά ιστορία της φιλοσοφίας και τονίζει τα δυσεπίλυτα προβλήματα συνύπαρξης της φαντασιακής με την κριτική λειτουργία. Τέλος, βρήκα πολύ ενδιαφέροντα ορισμένα κεφάλαια από το βιβλίο του Τάκη Σιμώτα, Περί φαντασίας (Τόμος Α΄: Φασματογονία – Φαντασιολογία, Τόμος Β΄: Φαντασιώσεις, Πολιτικές, επιστημονικές, φιλοσοφικές), Άγρα, Αθήνα 2009, μια «εκ βαθέων» ευρηματική, φαινομενολογική και λογοτεχνική ταυτόχρονα, διερεύνηση της φαντασίας ως ενεργού συμπαίχτη στα βιώματα και τις συλλήψεις μας.

[6] L. H. Hartwell, J. J. Hopfield, S. Leibler και A. W. Murray, “From molecular to modular cell biology”, Nature 402, 1999, C47-52.

Η άλγεβρα απογειώνει τη φαντασία
Οταν τα παιδιά διδάσκονται στο σχολείο μαθηματικά, μπορούν να προσεγγίσουν την ομορφιά τους μόνο με αφηρημένο και θεωρητικό τρόπο. Σίγουρα όχι με χρώμα και εικόνες.
Η έκθεση «Ιmaginary» έρχεται να ανατρέψει αυτόν τον κανόνα, δίνοντας σε όλους μας τη δυνατότητα να δημιουργήσουμε εικόνες τέχνης με ένα ανέλπιστο εργαλείο: την αλγεβρική γεωμετρία
Oταν οι αδαείς περί τα μαθηματικά ακούνε κάποιον να λέει πόσο όμορφη είναι μια εξίσωση, συνήθως τον κοιτάζουν με δυσπιστία. Τώρα ήρθε η ώρα να αναθεωρήσουν. Σε αυτό θα τους βοηθήσει η έκθεση «Ιmaginary». Δίνοντας μορφή και χρώμα στουςαφηρημένους αλγεβρικούς τύπους η πρωτότυπη πρωτοβουλία του γερμανικού μαθηματικού ινστιτούτου Μathematische Forschungsinstitut Οberwolfach φιλοδοξεί να κάνει ακόμη και όσους μισούν τα μαθηματικά να τα αγαπήσουν. Ή τουλάχιστον- και αυτό είναι ίσως πιο σημαντικό- να τα κατανοήσουν.



Λεμόνια και καρδιές

Η εξίσωση x2+z2=y3 (1-y)3 είναι ένα πράσινο λεμόνι, η (x2+9/4y +z21)3-x z3=0- μια ενδιαφέρουσα για τους μαθηματικούς «κορυφή» ή «παραδοξότητα»- είναι μια κατακόκκινη ζουμερή καρδιά. Πώς κάτι τόσο «στεγνό» όσο ένας μαθηματικός τύπος μπορεί να μετατραπεί σε έργο τέχνης; «Η όλη ιδέα ξεκίνησε από το γεγονός ότι τα μαθηματικά είναι πολύ αφηρημένα,κάτι το οποίο πραγματικά συμβαίνει μέσα στο μυαλό μας και απέχει πολύ από τον πραγματικό κόσμο» λέει μιλώντας στο «Βήμα» ο Αντρέας Ματ,διδάκτωρ μαθηματικός και συντονιστής της έκθεσης. «Θελήσαμε να τα κάνουμε πιο “χειροπιαστά” για το ευρύ κοινό και διαλέξαμε αυτή την κάπως διαφορετική προσέγγιση,την καλλιτεχνική οπτικοποίησή τους».Η βάση αυτής της οπτικοποίησης είναι η αλγεβρική γεωμετρία, ο κλάδος των μαθηματικών που συνδυάζει την αντιμεταθετική άλγεβρα με τη γεωμετρία. «Θα μπορούσαμε να πούμε ότι η άλγεβρα» εξηγεί ο κ. Ματ «είναι ο τύπος και η γεωμετρία είναιη εικόνα. Αυτό είναι και το νόημα του τίτλου“Ιmaginary”. Η λέξη “εικόνα”- “image”- αποτελεί μέρος του αφηρημένου “φανταστικού”“imaginary”» . Το όλο εγχείρημα έχει δύο σκέλη: ένα καθαρά μαθηματικό και ένα δημιουργικό, καλλιτεχνικό. Ειδικά προγράμματα που αναπτύχθηκαν από τους μαθηματικούς επιτρέπουν την «τοποθέτηση» των αλγεβρικών εξισώσεων στον χώρο και τη δημιουργία των ανάλογων σχημάτων- αλγεβρικών επιφανειών- τα οποία στη συνέχεια ο καθένας μπορεί να «γεμίσει» με τα χρώματα που θεωρεί κατάλληλα. Και όταν λέμε «ο καθένας» το εννοούμε: τα προγράμματα είναι εύχρηστα και δεν χρειάζονται ειδικές γνώσεις. Αντιθέτως, καθώς αναπτύσσει κάποιος το σχήμα, σιγά σιγά εκπαιδεύεται και αρχίζει να μπαίνει στο πνεύμα των μαθηματικών και να κατανοεί τη λειτουργία τους.


Οδηγίες χρήσης

«Κατ΄ αρχάς επιλέγετε έναν τύπο, οποιονδήποτε τύπο» εξηγεί ο κ. Ματ. «Ας πούμε τον x2+y 2-z=0. Οπως βλέπετε, ο τύπος αυτός περιλαμβάνει τρεις μεταβλητές, οι οποίες, όπως μπορείτε να φανταστείτε, αντιστοιχούν στον χώρο». Το x για παράδειγμα μπορεί να είναι στα δεξιά ή στα αριστερά, το y επάνω ή κάτω και το z στο κέντρο. Δίνοντας διαφορετικές τιμές στις μεταβλητές- π.χ., 5 στο x, 3 στο y και 1 στο z- μπορείτε να τις αντιστοιχίσετε κάθε φορά με ένα σημείο στον χώρο. «Ολα τα σημεία που λύνουν την εξίσωση ενώνονται μεταξύ τους σε ένα σχήμα. Αυτό που βλέπετε, δηλαδή, δεν είναι τίποτε άλλο από τη λύση της εξίσωσης.Και αυτό είναι πολύ ενδιαφέρον γιατί η εικόνα είναι τελικά ένας άλλος τρόπος για να δει κανείς τον τύπο».


Ακούγεται ίσως λίγο μπερδεμένο, αν όμως το προσπαθήσετε στο Surfer, το ειδικό πρόγραμμα που είναι ανοιχτό στο κοινό, θα δείτε ότι τελικά είναι πάρα πολύ απλό. «Οσοκαι αν προσπαθήσω να σας το εξηγήσω, ο καλύτερος τρόπος για να το μάθετε είναι να το δοκιμάσετε. Ετσι άλλωστε λειτουργούν τελικά τα μαθηματικά» λέει ο κ. Ματ. «Απλώς παίζετε, μπορείτε να βάλετε έναν οποιονδήποτε τύπο ή να πάρετε έναν από τους υπάρχοντες και να τον αλλάξετε λιγάκι.Τότε θα δείτε έναν καινούργιο τύπο και μιακαινούργια εικόνα. Και μπορείτε να συνεχίσετε να τον αλλάζετε,και αυτός είναι ο καλύτερος τρόπος για να μάθετε τα μαθηματικά:παίζοντας» .


Το Ινστιτούτο προσφέρει επίσης κάποιες οδηγίες, μερικά «μαθηματικά κόλπα», για να φτιάξει κανείς συγκεκριμένες εικόνες. Αν π.χ. θέλετε να φτιάξετε ένα πρόσωπο, θα μάθετε ποιους τύπους θα πρέπει να χρησιμοποιήσετε για να πετύχετε δύο μάτια, ένα στόμα και ούτω καθ΄ εξής. Και, αφού θα έχετε εξασκηθεί παίζοντας, θα φθάσετε, όπως εξηγεί ο μαθηματικός, σε κάποιο σημείο στο οποίο μόνοι σας θα μπορείτε να αλλάζετε τις εικόνες και να τις κάνετε όπως ακριβώς θέλετε. Τα χρώματα που θα χρησιμοποιήσετε και ο τίτλος που θα τους δώσετε δεν έχουν καμία σχέση με τα μαθηματικά. Εναπόκεινται απλώς στη δημιουργικότητά σας.


Μια έκθεση γεννιέται

Το πρώτο βήμα για τη δημιουργία της έκθεσης έγινε από τον αυστριακό μαθηματικόΧέρβιχ Χάουζερ, ο οποίος άρχισε να συνδυάζει αλγεβρικούς τύπους με εικόνες και να τους δίνει έναν τίτλο. Το Μathematische Forschungsinstitut Οberwolfach σκέφτηκε να αναπτύξει την ιδέα περισσότερο με τη διοργάνωση της «Ιmaginary» στο πλαίσιο του Ετους των Μαθηματικών στη Γερμανία το 2008. Το Surfer, αν και βασικό, αποτελεί ένα μόνο μέρος των διαδραστικών δραστηριοτήτων που προσφέρονται. Ο κάθε επισκέπτης μπορεί να τις δοκιμάσει μία μία ώστε να αρχίσει να μυείται στον κόσμο των μαθηματικών.«Και ένας υπεύθυνος είναι πάντα δίπλα του για να τον καθοδηγήσει και να του εξηγήσειπώς λειτουργεί το καθετί» λέει ο κ. Ματ. «Αυτό είναι ένα άλλο σημαντικό στοιχείο της έκθεσής μας: η ανθρώπινη επαφή».


Η έκθεση είχε τεράστια επιτυχία και ανταπόκριση, όχι μόνο στο γερμανικό κοινό αλλά και εκτός των συνόρων. Σύντομα άρχισε να περιοδεύει σε διάφορες χώρες. Τελευταίος σταθμός ήταν το Πανεπιστήμιο του Κέιμπριτζ στη Βρετανία τον περασμένο Μάρτιο και επόμενος θα είναι η Ζυρίχη το ερχόμενο φθινόπωρο. Η Βασιλική Ακαδημία Επιστημών της Ισπανίας την έχει «κλείσει» για ολόκληρο το 2011, αλλά στο ίδιο διάστημα θα παρουσιαστεί παράλληλα σε διάφορες πόλεις της Γερμανίας και της Βρετανίας, ενώ προγραμματίζεται και η παρουσίασή της στην Ελλάδα.


Τις περισσότερες φορές η διοργάνωση γίνεται σε συνεργασία με πανεπιστήμια ή άλλους εκπαιδευτικούς ή επιστημονικούς φορείς, το Ινστιτούτο όμως προτιμά οι εκθεσιακοί χώροι να βρίσκονται εκτός των πανεπιστημιακών ιδρυμάτων, σε κάποιο μουσείο ή ακόμη και στον δρόμο. «Είναι προτιμότερο η έκθεση να γίνεται σε έναν σταθμό του τρένου ή του μετρό, σε ένα σουπερμάρκετ ή και έξω,σε έναν υπαίθριο δημόσιο χώρο, γιατί ο βασικόςστόχος της είναι να φθάσει στο ευρύ κοινό» εξηγεί ο κ. Ματ. «Δεν είναι για τους μαθηματικούς,είναι για όλους.Αλλά ταυτοχρόνως είναι μαθηματικά. Μαθηματικά που μερικές φορές μπορεί να είναι ακόμη και πολύπλοκααλλά πάντα είναι για όλους. Και η ιδέα λειτουργεί».


lalina@tovima.gr


LYAPUNOV PLAY

Παιχνίδι Λιαπούνοφ

Ο Μάριο Μάρκους του Ινστιτούτου Μαξ Πλανκ Διατροφολογίας χρησιμοποιεί δυναμικά συστήματα για να μελετήσει την εξέλιξη των ζωικών πληθυσμών.Τα συστήματα αυτά μπορεί να επιδεικνύουν ταυτόχρονα έναν σταθερό κύκλο και μια χαοτική εξέλιξη,ανάλογα με την ικανότητα γονιμότητας των ζώων.Η σταθερότητα και το χάος μπορούν να αναλυθούν με τον υπολογισμό του λεγόμενου εκθέτη Λιαπούνοφ.Οι εικόνες του κ.Μάρκους αποτελούν έγχρωμες χαρτογραφήσεις του εκθέτη Λιαπούνοφ έναντι της γονιμότητας κατά μήκος οριζόντιων και κάθετων αξόνων.Εδώ το χάος αποδίδεται με σκούρο γαλάζιο χρώμα.



TΟ EΚΑΤΟΝΕΙΚΟΣΑΧΩΡΟΝ




Το Εκατονεικοσάχωρον είναι ένα τυπικό πολύτοπο σε τέσσερις διαστάσεις. Είναι το τετραδιάστατο αντίστοιχο ενός τρισδιάστατου δωδεκάεδρου, το οποίο έχει 12 πενταγωνικές έδρες, 20 κορυφές και 30 ακμές. Το Εκατονεικοσάχωρον έχει 120 «πλευρές» αλλά αυτές είναι τετραδιάστατες, οπότε στην πραγματικότητα γίνονται τρισδιάστατες: είναι όλες δωδεκάεδρα! Οι δισδιάστατες πλευρές αυτών των δωδεκάεδρων είναι φυσικά πεντάγωνα, συνολικά 720 στοναριθμό. Οι κορυφές είναι 600 και οι ακμές 1.200.




EΠΙΦΑΝΕΙΑ BJ RLING




Οι ελαχιστοτικές επιφάνειες έχουν τα ίδια χαρακτηριστικά καμπυλότητας με τις μεμβράνες σαπουνιού.Η κατασκευή ελαχιστοτικών επιφανειών με δεδομένα χαρακτηριστικάαποτελεί κλασικό αντικείμενο της διαφορικής γεωμετρίας.Το 1844 ο Ε.G.Βj rling έδειξε ότι για κάθε αρκετά ευνοϊκή τρισδιάστατη καμπύλη μπορεί να βρει κανείς μια στενή λωρίδα ελαχιστοτικής επιφάνειας η οποία την περιέχει.Επιπλέον μπορεί να προσδιορίσει πώς η λωρίδα θα περιστραφεί γύρω από την καμπύλη.Η επιφάνεια που απεικονίζεται εδώ έχει δημιουργηθεί με αυτόν τον τρόπο.Οι τύποι αναπτύχθηκαν από τον Ματίας Βέμπερ και το τοπίο του φόντου δημιουργήθηκε στον ηλεκτρονικό υπολογιστή από τον Σάιμον Ο΄ Κάλαχαν.


SOFA/ Καναπές

x2+y3+z5=0




Αν και αυτή η αλγεβρική επιφάνεια ονομάζεται «Καναπές», δεν είναι απαραίτητα άνετη. Αυτό που έχουμε εδώ είναι μάλλον ένα κάθισμα για δύο άτομα που χωρίζονται μεταξύ τους από μια παραδοξότητα. Η παραδοξότητα αυτή λέγεται Ε8 και είναι ίσως η πιο διάσημη στα μαθηματικά. Συνδυάζει, μεταξύ άλλων, τη θεωρία των ομάδων συμμετρίας των πλατωνικών στερεών και τη θεωρία ομάδων Lie. Η απτή εικόνα αυτής της παραδοξότητας είναι εξαιρετικά κομψή αλλά δεν αποκαλύπτει τη μαθηματική πολυπλοκότητά της· αυτή γίνεται εμφανής μόνο αν συμπεριλάβετε το φανταστικό μέρος της. HIMMEL UND H LLE/Παράδεισος και Κόλαση

x2-y2z2=0




Το σχήμα έχει πάρει τον τίτλο του από ένα παιχνίδι. Κάποιος διπλώνει ένα χαρτί με τρόπο ώστε τα τέσσερα δάχτυλά του να μπαίνουν στις τέσσερις γωνίες που σχηματίζονται.Ανοίγοντας τα δάχτυλα το χαρτί ανοίγει με δύο διαφορετικούς τρόπους ώστε κάθε φορά να φαίνονται δύο από τις εσωτερικές πλευρές ταυτοχρόνως. Οι γαλάζιεςσημαίνουν τον Παράδεισο, οι κόκκινες την Κόλαση. Τα παιδιά πρέπει να μαντέψουν τι θα εμφανιστεί κάθε φορά.Προσθέτοντας τα τετράγωνα του y και του z παίρνουμε τον υψηλότερο εκθέτη 4. Αυτό λέγεται εξίσωση τέταρτου βαθμού. Οσο μεγαλύτερος είναι ο εκθέτης τόσο πιο πολύπλοκο είναι να υπολογίσει κανείς την αλγεβρική




επιφάνεια.ZITRUS/ Εσπεριδοειδές




Η εξίσωση του εσπεριδοειδούς, όπως και η εικόνα,φαίνεται απλή: x2+y2 = y3 (1-y)3. Ενίοτε ωστόσο τα φαινόμενα απατούν.Τα σημεία συμβολής των δύο τόξων περιστρέφονται συμμετρικά γύρω από τον κεντρικό άξονα. Η εξίσωση x2+y2 = y3 χωρίς το = y3 (1-y)3 δίνει μόνο τη μία καμπύλη και η x2 + y2 (1-y)




3 δίνει τη συμμετρική εικόνα. Και οι δύο επιφάνειες εκτείνονται στο άπειρο.Το γινόμενο στη δεξιά πλευρά της αρχικής εξίσωσης «κλείνει» τα όρια του Ζitrus. Αν η απόλυτη αξία του y υπερβεί το 1, η δεξιά πλευρά γίνεται αρνητική και η εξίσωση δεν επιδέχεται πραγματικές λύσεις για το x και το z.CALYPSO/ Καλυψώ



x2+y2z=z2




Η Καλυψώ περιλαμβάνει τρεις ευθείες γραμμές. Η οριζόντια ευθεία είναι καθαρά ορατή, περνάει από το αρχικό σημείο μηδέν (0) όπου ενώνονται το επάνω και το κάτω τμήμα της επιφάνειας. Οι άλλες δύο ευθείες βρίσκονται σε ένα κάθετο επίπεδο. Περνούν και αυτές από το 0 και τέμνονται σε αυτό το σημείο.ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΙMAGINARY Εκφραστείτε δημιουργικά με τα μαθηματικά

«Το Βήμα» σε συνεργασία με το Μathematisches Forschungsinstitut Οberwolfach διοργανώνουν διαγωνισμό καλλιτεχνικής απεικόνισης αλγεβρικών επιφανειών. Δημιουργήστε τη δική σας εικόνα με το ειδικό πρόγραμμα Surfer που θα βρείτε στην ιστοσελίδα της εφημερίδας κάνοντας κλικ εδώ.