Μαθηματική ξενάγηση

Η άλγεβρα απογειώνει τη φαντασία
Οταν τα παιδιά διδάσκονται στο σχολείο μαθηματικά, μπορούν να προσεγγίσουν την ομορφιά τους μόνο με αφηρημένο και θεωρητικό τρόπο. Σίγουρα όχι με χρώμα και εικόνες.
Η έκθεση «Ιmaginary» έρχεται να ανατρέψει αυτόν τον κανόνα, δίνοντας σε όλους μας τη δυνατότητα να δημιουργήσουμε εικόνες τέχνης με ένα ανέλπιστο εργαλείο: την αλγεβρική γεωμετρία
Oταν οι αδαείς περί τα μαθηματικά ακούνε κάποιον να λέει πόσο όμορφη είναι μια εξίσωση, συνήθως τον κοιτάζουν με δυσπιστία. Τώρα ήρθε η ώρα να αναθεωρήσουν. Σε αυτό θα τους βοηθήσει η έκθεση «Ιmaginary». Δίνοντας μορφή και χρώμα στουςαφηρημένους αλγεβρικούς τύπους η πρωτότυπη πρωτοβουλία του γερμανικού μαθηματικού ινστιτούτου Μathematische Forschungsinstitut Οberwolfach φιλοδοξεί να κάνει ακόμη και όσους μισούν τα μαθηματικά να τα αγαπήσουν. Ή τουλάχιστον- και αυτό είναι ίσως πιο σημαντικό- να τα κατανοήσουν.



Λεμόνια και καρδιές

Η εξίσωση x2+z2=y3 (1-y)3 είναι ένα πράσινο λεμόνι, η (x2+9/4y +z21)3-x z3=0- μια ενδιαφέρουσα για τους μαθηματικούς «κορυφή» ή «παραδοξότητα»- είναι μια κατακόκκινη ζουμερή καρδιά. Πώς κάτι τόσο «στεγνό» όσο ένας μαθηματικός τύπος μπορεί να μετατραπεί σε έργο τέχνης; «Η όλη ιδέα ξεκίνησε από το γεγονός ότι τα μαθηματικά είναι πολύ αφηρημένα,κάτι το οποίο πραγματικά συμβαίνει μέσα στο μυαλό μας και απέχει πολύ από τον πραγματικό κόσμο» λέει μιλώντας στο «Βήμα» ο Αντρέας Ματ,διδάκτωρ μαθηματικός και συντονιστής της έκθεσης. «Θελήσαμε να τα κάνουμε πιο “χειροπιαστά” για το ευρύ κοινό και διαλέξαμε αυτή την κάπως διαφορετική προσέγγιση,την καλλιτεχνική οπτικοποίησή τους».Η βάση αυτής της οπτικοποίησης είναι η αλγεβρική γεωμετρία, ο κλάδος των μαθηματικών που συνδυάζει την αντιμεταθετική άλγεβρα με τη γεωμετρία. «Θα μπορούσαμε να πούμε ότι η άλγεβρα» εξηγεί ο κ. Ματ «είναι ο τύπος και η γεωμετρία είναιη εικόνα. Αυτό είναι και το νόημα του τίτλου“Ιmaginary”. Η λέξη “εικόνα”- “image”- αποτελεί μέρος του αφηρημένου “φανταστικού”“imaginary”» . Το όλο εγχείρημα έχει δύο σκέλη: ένα καθαρά μαθηματικό και ένα δημιουργικό, καλλιτεχνικό. Ειδικά προγράμματα που αναπτύχθηκαν από τους μαθηματικούς επιτρέπουν την «τοποθέτηση» των αλγεβρικών εξισώσεων στον χώρο και τη δημιουργία των ανάλογων σχημάτων- αλγεβρικών επιφανειών- τα οποία στη συνέχεια ο καθένας μπορεί να «γεμίσει» με τα χρώματα που θεωρεί κατάλληλα. Και όταν λέμε «ο καθένας» το εννοούμε: τα προγράμματα είναι εύχρηστα και δεν χρειάζονται ειδικές γνώσεις. Αντιθέτως, καθώς αναπτύσσει κάποιος το σχήμα, σιγά σιγά εκπαιδεύεται και αρχίζει να μπαίνει στο πνεύμα των μαθηματικών και να κατανοεί τη λειτουργία τους.


Οδηγίες χρήσης

«Κατ΄ αρχάς επιλέγετε έναν τύπο, οποιονδήποτε τύπο» εξηγεί ο κ. Ματ. «Ας πούμε τον x2+y 2-z=0. Οπως βλέπετε, ο τύπος αυτός περιλαμβάνει τρεις μεταβλητές, οι οποίες, όπως μπορείτε να φανταστείτε, αντιστοιχούν στον χώρο». Το x για παράδειγμα μπορεί να είναι στα δεξιά ή στα αριστερά, το y επάνω ή κάτω και το z στο κέντρο. Δίνοντας διαφορετικές τιμές στις μεταβλητές- π.χ., 5 στο x, 3 στο y και 1 στο z- μπορείτε να τις αντιστοιχίσετε κάθε φορά με ένα σημείο στον χώρο. «Ολα τα σημεία που λύνουν την εξίσωση ενώνονται μεταξύ τους σε ένα σχήμα. Αυτό που βλέπετε, δηλαδή, δεν είναι τίποτε άλλο από τη λύση της εξίσωσης.Και αυτό είναι πολύ ενδιαφέρον γιατί η εικόνα είναι τελικά ένας άλλος τρόπος για να δει κανείς τον τύπο».


Ακούγεται ίσως λίγο μπερδεμένο, αν όμως το προσπαθήσετε στο Surfer, το ειδικό πρόγραμμα που είναι ανοιχτό στο κοινό, θα δείτε ότι τελικά είναι πάρα πολύ απλό. «Οσοκαι αν προσπαθήσω να σας το εξηγήσω, ο καλύτερος τρόπος για να το μάθετε είναι να το δοκιμάσετε. Ετσι άλλωστε λειτουργούν τελικά τα μαθηματικά» λέει ο κ. Ματ. «Απλώς παίζετε, μπορείτε να βάλετε έναν οποιονδήποτε τύπο ή να πάρετε έναν από τους υπάρχοντες και να τον αλλάξετε λιγάκι.Τότε θα δείτε έναν καινούργιο τύπο και μιακαινούργια εικόνα. Και μπορείτε να συνεχίσετε να τον αλλάζετε,και αυτός είναι ο καλύτερος τρόπος για να μάθετε τα μαθηματικά:παίζοντας» .


Το Ινστιτούτο προσφέρει επίσης κάποιες οδηγίες, μερικά «μαθηματικά κόλπα», για να φτιάξει κανείς συγκεκριμένες εικόνες. Αν π.χ. θέλετε να φτιάξετε ένα πρόσωπο, θα μάθετε ποιους τύπους θα πρέπει να χρησιμοποιήσετε για να πετύχετε δύο μάτια, ένα στόμα και ούτω καθ΄ εξής. Και, αφού θα έχετε εξασκηθεί παίζοντας, θα φθάσετε, όπως εξηγεί ο μαθηματικός, σε κάποιο σημείο στο οποίο μόνοι σας θα μπορείτε να αλλάζετε τις εικόνες και να τις κάνετε όπως ακριβώς θέλετε. Τα χρώματα που θα χρησιμοποιήσετε και ο τίτλος που θα τους δώσετε δεν έχουν καμία σχέση με τα μαθηματικά. Εναπόκεινται απλώς στη δημιουργικότητά σας.


Μια έκθεση γεννιέται

Το πρώτο βήμα για τη δημιουργία της έκθεσης έγινε από τον αυστριακό μαθηματικόΧέρβιχ Χάουζερ, ο οποίος άρχισε να συνδυάζει αλγεβρικούς τύπους με εικόνες και να τους δίνει έναν τίτλο. Το Μathematische Forschungsinstitut Οberwolfach σκέφτηκε να αναπτύξει την ιδέα περισσότερο με τη διοργάνωση της «Ιmaginary» στο πλαίσιο του Ετους των Μαθηματικών στη Γερμανία το 2008. Το Surfer, αν και βασικό, αποτελεί ένα μόνο μέρος των διαδραστικών δραστηριοτήτων που προσφέρονται. Ο κάθε επισκέπτης μπορεί να τις δοκιμάσει μία μία ώστε να αρχίσει να μυείται στον κόσμο των μαθηματικών.«Και ένας υπεύθυνος είναι πάντα δίπλα του για να τον καθοδηγήσει και να του εξηγήσειπώς λειτουργεί το καθετί» λέει ο κ. Ματ. «Αυτό είναι ένα άλλο σημαντικό στοιχείο της έκθεσής μας: η ανθρώπινη επαφή».


Η έκθεση είχε τεράστια επιτυχία και ανταπόκριση, όχι μόνο στο γερμανικό κοινό αλλά και εκτός των συνόρων. Σύντομα άρχισε να περιοδεύει σε διάφορες χώρες. Τελευταίος σταθμός ήταν το Πανεπιστήμιο του Κέιμπριτζ στη Βρετανία τον περασμένο Μάρτιο και επόμενος θα είναι η Ζυρίχη το ερχόμενο φθινόπωρο. Η Βασιλική Ακαδημία Επιστημών της Ισπανίας την έχει «κλείσει» για ολόκληρο το 2011, αλλά στο ίδιο διάστημα θα παρουσιαστεί παράλληλα σε διάφορες πόλεις της Γερμανίας και της Βρετανίας, ενώ προγραμματίζεται και η παρουσίασή της στην Ελλάδα.


Τις περισσότερες φορές η διοργάνωση γίνεται σε συνεργασία με πανεπιστήμια ή άλλους εκπαιδευτικούς ή επιστημονικούς φορείς, το Ινστιτούτο όμως προτιμά οι εκθεσιακοί χώροι να βρίσκονται εκτός των πανεπιστημιακών ιδρυμάτων, σε κάποιο μουσείο ή ακόμη και στον δρόμο. «Είναι προτιμότερο η έκθεση να γίνεται σε έναν σταθμό του τρένου ή του μετρό, σε ένα σουπερμάρκετ ή και έξω,σε έναν υπαίθριο δημόσιο χώρο, γιατί ο βασικόςστόχος της είναι να φθάσει στο ευρύ κοινό» εξηγεί ο κ. Ματ. «Δεν είναι για τους μαθηματικούς,είναι για όλους.Αλλά ταυτοχρόνως είναι μαθηματικά. Μαθηματικά που μερικές φορές μπορεί να είναι ακόμη και πολύπλοκααλλά πάντα είναι για όλους. Και η ιδέα λειτουργεί».


lalina@tovima.gr


LYAPUNOV PLAY

Παιχνίδι Λιαπούνοφ

Ο Μάριο Μάρκους του Ινστιτούτου Μαξ Πλανκ Διατροφολογίας χρησιμοποιεί δυναμικά συστήματα για να μελετήσει την εξέλιξη των ζωικών πληθυσμών.Τα συστήματα αυτά μπορεί να επιδεικνύουν ταυτόχρονα έναν σταθερό κύκλο και μια χαοτική εξέλιξη,ανάλογα με την ικανότητα γονιμότητας των ζώων.Η σταθερότητα και το χάος μπορούν να αναλυθούν με τον υπολογισμό του λεγόμενου εκθέτη Λιαπούνοφ.Οι εικόνες του κ.Μάρκους αποτελούν έγχρωμες χαρτογραφήσεις του εκθέτη Λιαπούνοφ έναντι της γονιμότητας κατά μήκος οριζόντιων και κάθετων αξόνων.Εδώ το χάος αποδίδεται με σκούρο γαλάζιο χρώμα.



TΟ EΚΑΤΟΝΕΙΚΟΣΑΧΩΡΟΝ




Το Εκατονεικοσάχωρον είναι ένα τυπικό πολύτοπο σε τέσσερις διαστάσεις. Είναι το τετραδιάστατο αντίστοιχο ενός τρισδιάστατου δωδεκάεδρου, το οποίο έχει 12 πενταγωνικές έδρες, 20 κορυφές και 30 ακμές. Το Εκατονεικοσάχωρον έχει 120 «πλευρές» αλλά αυτές είναι τετραδιάστατες, οπότε στην πραγματικότητα γίνονται τρισδιάστατες: είναι όλες δωδεκάεδρα! Οι δισδιάστατες πλευρές αυτών των δωδεκάεδρων είναι φυσικά πεντάγωνα, συνολικά 720 στοναριθμό. Οι κορυφές είναι 600 και οι ακμές 1.200.




EΠΙΦΑΝΕΙΑ BJ RLING




Οι ελαχιστοτικές επιφάνειες έχουν τα ίδια χαρακτηριστικά καμπυλότητας με τις μεμβράνες σαπουνιού.Η κατασκευή ελαχιστοτικών επιφανειών με δεδομένα χαρακτηριστικάαποτελεί κλασικό αντικείμενο της διαφορικής γεωμετρίας.Το 1844 ο Ε.G.Βj rling έδειξε ότι για κάθε αρκετά ευνοϊκή τρισδιάστατη καμπύλη μπορεί να βρει κανείς μια στενή λωρίδα ελαχιστοτικής επιφάνειας η οποία την περιέχει.Επιπλέον μπορεί να προσδιορίσει πώς η λωρίδα θα περιστραφεί γύρω από την καμπύλη.Η επιφάνεια που απεικονίζεται εδώ έχει δημιουργηθεί με αυτόν τον τρόπο.Οι τύποι αναπτύχθηκαν από τον Ματίας Βέμπερ και το τοπίο του φόντου δημιουργήθηκε στον ηλεκτρονικό υπολογιστή από τον Σάιμον Ο΄ Κάλαχαν.


SOFA/ Καναπές

x2+y3+z5=0




Αν και αυτή η αλγεβρική επιφάνεια ονομάζεται «Καναπές», δεν είναι απαραίτητα άνετη. Αυτό που έχουμε εδώ είναι μάλλον ένα κάθισμα για δύο άτομα που χωρίζονται μεταξύ τους από μια παραδοξότητα. Η παραδοξότητα αυτή λέγεται Ε8 και είναι ίσως η πιο διάσημη στα μαθηματικά. Συνδυάζει, μεταξύ άλλων, τη θεωρία των ομάδων συμμετρίας των πλατωνικών στερεών και τη θεωρία ομάδων Lie. Η απτή εικόνα αυτής της παραδοξότητας είναι εξαιρετικά κομψή αλλά δεν αποκαλύπτει τη μαθηματική πολυπλοκότητά της· αυτή γίνεται εμφανής μόνο αν συμπεριλάβετε το φανταστικό μέρος της. HIMMEL UND H LLE/Παράδεισος και Κόλαση

x2-y2z2=0




Το σχήμα έχει πάρει τον τίτλο του από ένα παιχνίδι. Κάποιος διπλώνει ένα χαρτί με τρόπο ώστε τα τέσσερα δάχτυλά του να μπαίνουν στις τέσσερις γωνίες που σχηματίζονται.Ανοίγοντας τα δάχτυλα το χαρτί ανοίγει με δύο διαφορετικούς τρόπους ώστε κάθε φορά να φαίνονται δύο από τις εσωτερικές πλευρές ταυτοχρόνως. Οι γαλάζιεςσημαίνουν τον Παράδεισο, οι κόκκινες την Κόλαση. Τα παιδιά πρέπει να μαντέψουν τι θα εμφανιστεί κάθε φορά.Προσθέτοντας τα τετράγωνα του y και του z παίρνουμε τον υψηλότερο εκθέτη 4. Αυτό λέγεται εξίσωση τέταρτου βαθμού. Οσο μεγαλύτερος είναι ο εκθέτης τόσο πιο πολύπλοκο είναι να υπολογίσει κανείς την αλγεβρική




επιφάνεια.ZITRUS/ Εσπεριδοειδές




Η εξίσωση του εσπεριδοειδούς, όπως και η εικόνα,φαίνεται απλή: x2+y2 = y3 (1-y)3. Ενίοτε ωστόσο τα φαινόμενα απατούν.Τα σημεία συμβολής των δύο τόξων περιστρέφονται συμμετρικά γύρω από τον κεντρικό άξονα. Η εξίσωση x2+y2 = y3 χωρίς το = y3 (1-y)3 δίνει μόνο τη μία καμπύλη και η x2 + y2 (1-y)




3 δίνει τη συμμετρική εικόνα. Και οι δύο επιφάνειες εκτείνονται στο άπειρο.Το γινόμενο στη δεξιά πλευρά της αρχικής εξίσωσης «κλείνει» τα όρια του Ζitrus. Αν η απόλυτη αξία του y υπερβεί το 1, η δεξιά πλευρά γίνεται αρνητική και η εξίσωση δεν επιδέχεται πραγματικές λύσεις για το x και το z.CALYPSO/ Καλυψώ



x2+y2z=z2




Η Καλυψώ περιλαμβάνει τρεις ευθείες γραμμές. Η οριζόντια ευθεία είναι καθαρά ορατή, περνάει από το αρχικό σημείο μηδέν (0) όπου ενώνονται το επάνω και το κάτω τμήμα της επιφάνειας. Οι άλλες δύο ευθείες βρίσκονται σε ένα κάθετο επίπεδο. Περνούν και αυτές από το 0 και τέμνονται σε αυτό το σημείο.ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΙMAGINARY Εκφραστείτε δημιουργικά με τα μαθηματικά

«Το Βήμα» σε συνεργασία με το Μathematisches Forschungsinstitut Οberwolfach διοργανώνουν διαγωνισμό καλλιτεχνικής απεικόνισης αλγεβρικών επιφανειών. Δημιουργήστε τη δική σας εικόνα με το ειδικό πρόγραμμα Surfer που θα βρείτε στην ιστοσελίδα της εφημερίδας κάνοντας κλικ εδώ.