Μαθηματική ξενάγηση

Τα μαθηματικά αντικείμενα είναι αφηρημένες αριστοτελικές μορφές.

Το περιεχόμενο του άρθρου σχετίζεται με τη φιλοσοφική διαπραγμάτευση για την ύπαρξητων μαθηματικών αντικειμένων. Ποια είναι η σχέση των μαθηματικών με την πραγματικότητα; Που υπάρχουν τα μαθηματικά αντικείμενα;

Στους Έλληνες έχουμε τις δύο αιώνιες αντιπαλότητες: τις Πλατωνικές και τις Αριστοτελικές μορφές.

Ο Πλάτωνας υποστήριζε ότι αντικείμενο των μαθηματικών είναι το αιώνιο και αμετάβλητο βασίλειο των ιδεών, άρα δεν ψάχνουμε καμιά σχέση με την πραγματικότητα που γνωρίζουμε. Τα μαθηματικά αντικείμενα , όπως οι αριθμοί και τα γεωμετρικά αντικείμενα, δεν δημιουργούνται, δεν καταστρέφονται και δεν μπορούν να μεταβληθούν.

Πρόκειται για τη γνώση του αιωνίου όντος και όχι αυτού που πότε χάνεται και πότε γεννιέται……..(Πολιτεία)

αν και μπορούμε να παρατηρήσουμε ότι ο αιώνιος κόσμος του Πλάτωνα είναι η φαντασία μας, αφού μόνον εκεί δεν κυλάει ο χρόνος και σταματούν οι μεταβολές, πράγμα που τον εξαιρεί από τις φυσικές έννοιες, αφού δεν ορίζεται εκτελεστικά.

Τα μαθηματικά αντικείμενα στον Αριστοτέλη έχουν να κάνουν την έννοια της Αριστοτελικής μορφής, που είναι άλλο πράγμα.

Τι είναι η μορφή;

Η μορφή είναι τα πράγματα που γίνονται στην ύλη το τι εστί….Φυσικά 190 α 20

η μορφή και το πρότυπο, δηλαδή ο οριστικός λόγος που λέει το τι ήν είναι, και τα ανώτερα γένη στα οποία ο λόγος αυτός μπορεί να αναχθεί π.χ μορφή του διαπασών είναι η σχέση του δύο προς ένα και γενικότερα ο αριθμός. Φυσικά 194 β …..

Η μορφή είναι το σύνολο κάποιων ιδιαίτερων χαρακτηριστικών του σώματος που το καθορίζουν, και του δίνουν αναγνωρισιμότητα, καθορίζοντας τη λειτουργία του μέσα στον κόσμο. Είναι κρίσιμο να εννοήσουμε την έννοια της μορφής.

Όταν ένας εξωγήινος παρατηρήσει μια καρέκλα, δεν την κατανοεί πλήρως ποτέ, γιατί θα του διαφεύγει η μορφή, αυτό που δίνει αναγνωρισιμότητα στα πράγματα. Έτσι είμαστε και εμείς μπροστά στα φυσικά δημιουργήματα. Αν δεν συλλάβουμε τη μορφή , δηλαδή τη λειτουργία που δίνει νόημα στον ιδιαίτερο τρόπο συμπεριφοράς μέσα στην ολότητα, δεν κατανοούμε την πραγματικότητα, η γνώση μας είναι ελλιπής. Η γνώση της μορφής είναι το σπουδαιότερο και δυσκολότερο επίτευγμα. Με τη μορφή κατανοούμε τον κόσμο, με την ύλη τον γνωρίζουμε.

Η ύλη είναι το νερό της θάλασσας και η μορφή τα κύματα της θάλασσας.

Η μορφή δεν είναι το σχήμα της καρέκλας, αλλά το νόημα της καρέκλας, αυτό που κάνει όλες τις καρέκλες να είναι το ίδιο πράγμα (το πρότυπο), κι ας έχουν διαφορετικά σχήματα, κι αυτό το νόημα έχει σχέση με το σκοπό που εξυπηρετείται.[1]

η μορφή συλλαμβάνεται με το νου όχι με τις αισθήσεις. Η καρέκλα αναγνωρίζεται από τη λειτουργία της στο να καθόμαστε.

Η μορφή κουβαλάει όλο το Αριστοτελικό νόημα των σωμάτων.

Όμως τα χαρακτηριστικά αυτά της μορφής, όπως το βάρος στην πέτρα ή το μήκος κύματος στο κύμα, έχουν την ύπαρξή τους μέσα στο σώμα και δεν υπάρχουν αυτόνομα και καθ’ εαυτά, όπως υπάρχει η πέτρα ή το νερό. Δεν μπορούμε να πάρουμε το βάρος απ’ την πέτρα αλλά ολόκληρη την πέτρα. O κόσμος δεν είναι η πέτρα, ούτε το βάρος αλλά η πέτρα και το βάρος, ο κόσμος είναι πράγμα και νόημα (δεν εξετάζουμε τώρα το νόημα το οποίο είναι η σκοπιμότητα στη φύση και η ολιστική της θεώρηση, η καρδιά της Αριστοτελικής θεωρίας), γιατί αλλιώς θα ήταν ένα αυθαίρετο δημιούργημα του πνεύματος μας. Αυτό αποφεύγεται με τη διπλή έννοια της ύλης και της μορφής, που αποτελούν την ουσία. Προσοχή Οι μορφές του Αριστοτέλη είναι διαφορετικές απ’ τις Μορφές του Πλάτωνα. Για τον Πλάτωνα η Μορφή είναι πρωταρχική, τα υλικά σώματα είναι δευτερεύοντα, μια «αμυδρή αναπαράσταση» των Μορφών. H ύψιστη πραγματικότητα βρίσκεται σ’ αυτό που σκεφτόμαστε λογικά. Για τον Αριστοτέλη αντίστροφα, είναι αυτό που αντιλαμβανόμαστε με τις αισθήσεις.. Αν δεν υπάρχουν τα στοιχειώδη σωματίδια δεν θα υπήρχε η μορφή που ονομάζεται στοιχειώδες σωματίδιο. Τίποτα δεν υπάρχει μέσα στη συνείδηση αν προηγουμένως δεν έχει περάσει απ’ τις αισθήσεις. Tα πράγματα στον εξωτερικό κόσμο έχουν μορφές αλλά δε υπάρχει ξεχωριστός κόσμος που φιλοξενεί αυτές τις μορφές όπως στο Πλάτωνα, οι μορφές ενυπάρχουν στα μεμονωμένα αντικείμενα και συμβάλουν αποφασιστικά στην κατανόηση του κόσμου.

Μορφές και νους

…η μορφή δεν μπορεί να χωριστεί απ’ τα πράγματα, εκτός με νοητική ενέργεια…Φυσικά 193 β 5,

Η φύση, διδάσκει ο Αριστοτέλης, είναι συγχρόνως διπρόσωπη και μια φυσική θεωρία πρέπει να μελετάει και τις δύο όψεις της, αυτό είναι το κεντρικό δόγμα της Αριστοτελικής φυσικής διδασκαλίας: Η φυσική έρευνα αποσκοπεί να φωτίσει την ουσία αυτού του δυϊσμού.

…Επειδή η φύση παρουσιάζεται με δύο απόψεις και ως μορφή και ως ύλη πρέπει να την εξετάσουμε σαν να

αναζητούσαμε την ουσία αυτού του δυϊσμού, αφού τα όντα δεν υπάρχουν ούτε χωρίς ύλη, ούτε ο υπαρκτός τους τρόπος είναι σαν της ύλης …Φυσικά 194 α 15

.. Η φύση είναι διττή , ύλη απ’ τη μια πλευρά και μορφή από την άλλη …..φυσικά 199α 33…εφ’ όσον η φύση είναι διττή , με ποια ασχολείται ο φυσικός; Ή μήπως με το σύνθετο των δύο; Αλλά αν ασχολείται με το σύνθετο, ασχολείται και με την κάθε μία. Ανήκει λοιπόν σε μία και την ίδια επιστήμη να γνωρίσει και τη μία και την άλλη (ύλη και μορφή). …Φυσικά 194 α 15

Πώς όμως συμβαίνει η κατανόηση αυτού του δυισμού, ο οποίος υπάρχει στη φύση; Ποια είναι η ουσία της αναζήτησης;

Συμβαίνει με την εμπλοκή του άϋλου νου στην ερμηνεία του υλικού κόσμου, δια μέσου της μορφής. Η μορφή είναι άϋλη, δεν είναι ύλη είναι λειτουργία, έχει για κατοικία της το νου του ανθρώπου, τον άυλο νου, που όντας άυλος εισάγει ένα στοιχείο αϋλότητας στον κόσμο που κατά τα άλλα είναι υλικός.

Σε τι ακριβώς αντιστοιχεί η μορφή στη σημερινή θεώρηση;

Η μορφή είναι αυτό που στη φυσική ονομάζουμε έννοια.

Και η προτροπή του Αριστοτέλη για την ουσία του δυισμού στο προηγούμενο απόσπασμα, εκφράζει τη σημασία που έχει για την ερμηνεία της φύσης η σωστή αντιστοίχηση των εννοιών στα πράγματα, που σήμερα έγινε αντικείμενο έρευνας από κορυφαίους θεωρητικούς φυσικούς.

Έναν τρόπο αντιστοίχησης, τον εκτελεστικό τρόπο ορισμού των εννοιών στη φυσική, εισάγει ο Bridgman 2300 χρόνια αργότερα αναγνωρίζοντας τη σημασία του δυισμού αυτού. Η αποτυχία της κλασσικής φυσικής για το Bridgman προέκυψε από το λανθασμένο τρόπο ορισμού των εννοιών, δηλαδή για τον Αριστοτέλη η λανθασμένη αντιστοίχηση της ύλης σε μορφή.

Το άϋλο του νου και το υλικό του εγκεφάλου είναι η αιτία που συλλαμβάνουμε τη διττή όψη της φύσης. Ο άνθρωπος είναι κατασκευασμένος όπως η φύση, έχει το λογισμικό να κατανοήσει τη διπλή πραγματικότητα. Αν ο νους ήταν υλικός φαίνεται ότι δεν θα χρειαζόμασταν τις μορφές, ούτε τις έννοιες, η νοημοσύνη μας θα ήταν όπως του υπολογιστή, θα γνωρίζαμε αλλά δεν θα κατανοούσαμε. Η υλική εικόνα των αισθήσεων παράγεται απ’ τον εγκέφαλο και η άυλη των μορφών παράγεται από το νου. Η διπλή αυτή κατασκευή του ανθρώπου βρίσκεται σε αρμονία με τη διττή υπόσταση της φύσης.

Άλλο νους, άλλο εγκέφαλος λοιπόν για τον Αριστοτέλη. Όπως και άλλο ύλη, άλλο μορφή. Το σημαντικό εδώ είναι ότι η σύγχρονη φυσιολογία φαίνεται να το επιβεβαιώνει.

…«Η άποψη ότι όλα τα νοητικά φαινόμενα μπορούν να αναχθούν σε μια επιχείρηση «αυτόματου τηλεφωνικού κέντρου»μέσα στον εγκέφαλο έχει αντιστραφεί. Οι άνδρες που αφιέρωσαν τη ζωή τους στη φυσιολογία και στη χειρουργική του εγκεφάλου, στρέφονται όλο και πιο πολύ προς την αντίθετη άποψη που θα μπορούσε να συνοψιστεί ο εγκέφαλος είναι εγκέφαλος, ο νους είναι νους , και δεν ξέρουμε πως γίνεται το δίδυμο».(Α Καίσλερ)

Τα μαθηματικά

Έτσι η επιστήμη τελικά είναι η κατανόηση των εμπειριών. Τι σημαίνει εδώ η λέξη κατανόηση; Σημαίνει τη διαδικασία εκείνη που κάνει τις εμπειρίες αναγνωρίσιμες και ίσως τελικά προβλέψιμες. Αυτό γίνεται με τα νοητά που συμπληρώνουν τις εμπειρίες, αυτά κατασκευάζονται από το νου και είναι οι «μορφές» των όντων. Όμως τη μορφή συμπληρώνει το πρότυπο, τα ανώτερα γένη….

…η μορφή και το πρότυπο, δηλαδή ο οριστικός λόγος που λέει το τι ήν είναι, και τα ανώτερα γένη στα οποία ο λόγος αυτός μπορεί να αναχθεί π.χ μορφή του διαπασών είναι η σχέση του δύο προς ένα και γενικότερα ο αριθμός. Φυσικά 194 β …..

Ο Ευκλείδης σε λεπτομέρεια από τη Σχολή των Αθηνών του Ραφαήλ, 1509.

Αυτό το πρότυπο της μορφής είναι τα μαθηματικά. Στα μαθηματικά μεταβαίνουμε με την «έννοια του αφαιρείν». Είναι συχνή η αναφορά που κάνει ο Αριστοτέλης στα μαθηματικά αντικείμενα αντιμετωπίζοντάς τα ως αφαιρέσεις (εξ” αφαιρέσεως, εν αφαιρέσει, δι” αφαιρέσεως) την οποία μέσα στα κείμενά του την εξηγεί πολλαπλώς. Στα «μετά τα Φυσικά Ζ11« μιλάει για την αφαίρεση του υλικού στοιχείου ενός αντικειμένου στη σκέψη π.χ του χαλκού από τον χάλκινο κύκλο, αλλού μιλάει για την αφαίρεση των κατά συμβεβηκώς ιδιοτήτων. Έτσι νοητικά μπορεί κανείς να διαχωρίσει επιφάνειες , γραμμές και σημεία από τα φυσικά αντικείμενα που τα περιέχουν, και οι φυσικές έννοιες να μετατραπούν σε μαθηματικές έννοιες.

...ο μαθηματικός εξετάζει τα αντικείμενα που προέρχονται από αφαίρεση , διότι τα μελετά αφού πρώτα αφαιρέσει κάθε αισθητή ιδιότητα,….και αφήνει μόνο το ποσό και το συνεχές …και τα παθήματα αυτών ενόσω είναι ποσά και συνεχή…..»μετά τα Φυσικά 1061α, 29″

…..Ο Αριστοτέλης έθεσε ως αίτημα κάποια νοητική ικανότητα αφαίρεσης με την οποία τα (μαθηματικά) αντικείμενα δημιουργούνται, ή αλλιώς παράγονται ή συλλαμβάνονται, με τη θεώρηση των φυσικών αντικειμένων. Κατά μία έννοια είναι οι μορφές των φυσικών αντικειμένων…τα μαθηματικά αντικείμενα που παράγονται μέσω αφαίρεσης δεν υπάρχουν πριν από-ή ανεξάρτητα από τα φυσικά αντικείμενα από τα οποία έχουν αφαρεθεί,,..σημειώστε ότι η αριθμητική και η γεωμετρία επαληθεύονται κυριολεκτικά από μια τέτοια ερμηνεία, στην οποία η μόνη εκκρεμότητα είναι μια εξήγηση της αφαίρεσης,….Shapiro

Τελικά οι μαθηματικές έννοιες μιλούν για τη μορφή των όντων και οι φυσικές έννοιες για την ύλη τους.

Παράδειγμα .

Ένα ακίνητο σκοινί (θα το θεωρήσουμε ύλη) μπορεί να πάρει τη μορφή του κύματος (μορφή), αν ταλαντώσουμε το ένα άκρο του. Η μορφή του κύματος αποτυπώνεται στην εξίσωση (ανώτερα γένη)

με Τ η τάση του σκοινιού, και ρ=m/L (μάζα ανά μονάδα μήκους)

Η εξίσωση (1) δεν δίνει απλώς το σχήμα του κύματος, αλλά έναν ειδικό τρόπο αλληλεπίδρασης του σκοινιού με το περιβάλλον, σαφώς διαφορετικό απ’ αυτόν που θα είχε το ακίνητο σκοινί, αλλά κι αν κινούνταν με διαφορετικό τρόπο. Η παράμετρος t που υπάρχει σ’ αυτήν εκφράζει το ‘ενεργεία’.

Εδώ υπάρχει το κύμα (μορφή) που είναι μια ‘διαταραχή που κινείται δια μέσου του ‘μέσου ‘, και το ίδιο το μέσο (για τη Φυσική είναι η ύλη).Το μέσο μπορεί να είναι το νερό ο αέρας το σκοινί και χαρακτηρίζεται απ’ τις φυσικές του ιδιότητες, πυκνότητα, θερμοκρασία, ελαστικότητα…αυτές οι ιδιότητες δεν χαρακτηρίζουν το κύμα (μορφή). Αυτά (τα κύματα) ξεχωρίζουν απ’ τις δικές τους ιδιότητες, πλάτος, μήκος κύματος, συχνότητα κλπ. Βλέπουμε ότι τα μαθηματικά του κύματος είναι οι ιδιότητες του κύματος, αφού έχουν αφαιρεθεί όλες οι ιδιότητες του μέσου.

...έργο των μαθηματικών είναι να μελετά τα παραπάνω θεωρώντας τα όχι ως ιδιότητες τω φυσικών αντικειμένων…μπορεί ο μαθηματικός να μελετά τις εν λόγω ιδιότητες σε απομόνωση από τη φυσική τους ύπαρξη, γιατί μπορεί η σκέψη να κάνει το διαχωρισμό…συνέπεια αυτού του διαχωρισμού στη σκέψη είναι αυτές οι ιδιότητες να πάψουν να υφίστανται τις αλλαγές που υφίστανται τα φυσικά αντικείμενα..»Φυσικά 193 β33 »

Ας προεκτείνουμε αυτή την ερμηνεία των Αριστοτελικών μορφών

Τι θα πει μήκος κύματος χωρίς κύμα; Θα πει καθαρή μορφή, δηλαδή μαθηματική περιγραφή, το ένα άκρο για τον Αριστοτέλη, το άλλο άκρο είδαμε, η καθαρή ύλη. Δηλαδή τα όρια της κατανόησης του κόσμου είναι ο κόσμος των δυνατοτήτων της καθαρής ύλης και ο κόσμος των μαθηματικών (καθαρή μορφή).

Η φανερή σήμερα τάση των μαθηματικών για γενίκευση που συντελείται με συνεχή αφαίρεση (μια τάση που επιβεβαιώνει σήμερα τις απόψεις του Αριστοτέλη), είναι η τάση να προσεγγίσουμε το όριο της κατανόησής μας. Αντίστοιχα η πορεία της φυσικής με τη μελέτη του «πολύ μικρού», είναι η τάση μας να περιγράψουμε το άλλο όριο, αφού εκεί μας οδηγούν οι έρευνες.

Αν θεωρήσουμε (μέχρι νεωτέρας) τη θεωρία των συνόλων ως μια «θεωρία των πάντων» στα μαθηματικά, και την ενέργεια ως την πρώτη ύλη, τότε αυτά είναι τα όρια της κατανόησης του κόσμου μας σήμερα. Πράγματι η ολιστική θεώρηση της φύσης που παράγουν οι μορφές, φαίνεται στην αποτύπωσή τους στα μαθηματικά: στα μαθηματικά όλα είναι ένα: τα σύνολα.

Πηγές:

όλα τα άρθρα για τον Αριστοτελισμό και τη φυσική είναι από το

«Η Αριστελική κίνηση και η σύγχρονη Φυσική» www.mpantes.gr (Αριθμός συμβολαίου πράξης κατάθεσης βιβλίου:5632/29-1-08)

Σκέψεις για τα μαθηματικά (εκδόσεις Πανεπιστημίου Πάτρας, EShapiro)

Ο Αριστοτέλης για όλους Mortimer J. Adler (Παπαδήμα)

[1] αυτή (η μορφή) θα είναι η τελική αιτία…Φυσικά199 α 33