ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΞΕΝΑΓΗΣΗ


Το ιστολόγιο αυτό δημιουργήθηκε
από τον Μόσχο Αλέξανδρο
μαθηματικό και υποδιευθυντή
του γυμνασίου Σημάντρων Χαλκιδικής.



Σκοπός του είναι να αποτελεί τρόπο
επικοινωνίας του εκπαιδευτικού με
τους μαθητές του εκτός της αίθουσας
διδασκαλίας.


Περιέχει θεωρητικά στοιχεία του
μαθήματος , πλούσιο υλικό εξάσκησης
λύσεις αποριών και καθημερινές οδηγίες
για το επόμενο μάθημα.

Επιπλέον μας ξεναγεί στον υπέροχο κόσμο
των μαθηματικών. Ετοιμαστείτε για ένα
μακρινό και συναρπαστικό ταξίδι στον χρόνο.
Θα συναντήσουμε άλλες εποχές .
Θα γνωρίσουμε μαθηματικούς και θα ζήσουμε
μαζί τους τις αγωνίες και τα επιτεύγματά τους.
Προσδεθείτε , το ταξίδι αρχίζει!

Σάββατο, 22 Ιανουαρίου 2011

Α΄ ΛΥΚΕΙΟΥ



   


23-9-2010

Για το επόμενο μάθημα έχετε από την πρώτη παράγραφο του βιβλίου σας :

1. Για θεωρία
α.  Την συνεπαγωγή
β.  Την ισοδυναμία.

2. Από τις ερωτήσεις κατανόησης την 1.
( υπενθυμίζω ότι είναι ερωτήσεις σωστού λάθους. Α = αληθής ( σωστό )  Ψ = ψευδής (λάθος).

ΓΕΝΙΚΑ ΘΕΩΡΗΤΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ

1. Το σύμβολο της συνεπαγωγής ( => ) συνδέει δύο ισότητες. Η πρώτη ισότητα είναι η υπόθεση και η δεύτερη το συμπέρασμα.

π.χ         α= β                 =>                  α2=β2
           υπόθεση      συνεπάγεται       συμπέρασμα  


Δηλ : Αν α = β            τότε            α2  =  β2
 

2.  Η ισοδυμαμία τώρα είναι ουσιαστικά διπλή συνεπαγωγή. Γι' αυτό δηλώνεται με το σύμβολο <=>
(ισοδυμανεί). Παριστάνει δύο συνεπαγωγές την => και την αντίστροφη <=.

π.χ  α = 3  <=> α+2 = 5

Εδώ περιέχεται η πρώτη συνεπαγωγή :

 α = 3        =>       α+2 = 5
υπόθεση           συμπέρασμα

αλλά και η αντίστροφη συνεπαγωγή που έχει υπόθεση το συμπέρασμα της προηγούμενης και συμπέρασμα την υπόθεση της προηγούμενης :

α+2 = 5        =>           α =3
υπόθεση                 συμπέρασμα 

Για να είνα αληθής μια ισοδυναμία πρέπει να αληθεύουν και οι δύο συνεπαγωγές.




5 - 10 - 2010

Για το επόμενο μάθημα έχετε μόνο θεωρία την Ε.2 παράγραφο. Μερικά θεωρητικά στοιχεία στη μορφή σημειώσεων δίνω παρακάτω :

ΒΑΣΙΚΑ ΣΥΝΟΛΑ ΑΡΙΘΜΩΝ

Ν = το σύνολο των φυσικών αριθμών = { 0 , 1 , 2,3 , 4 , .....}.
Ζ = το σύνολο των ακεραίων αριθμών = { 0 , +-1 , +-2 , +-3 , ...}.
Q = το σύνολο των ρητών αριθμών = { α/β / α,β ακέραιοι και β διάφορο του μηδενός}.
R = το σύνολο των πραγματικών αριθμών = ρητοί + 'αρρητοι.


ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΕΝΟΣ ΣΥΝΟΛΟΥ

α. Με αναγραφή στοιχείων : π.χ Α = { 0,1,2,3,4,5}
β. Με περιγραφή στοιχείων π.χ Α = { χεΝ / χ<6 }.


ΥΠΟΣΥΝΟΛΟ.

Παράδειγμα :  ¨εστω το σύνολο Α = { 0 , 1,2,3,4,5}

Τα σύνολα Β = { 0,4 }  , Γ = { 2, 4 ,5 }  , Δ = {0 , 2, 4 ,5 } είναι υποσύνολα του Α


ΤΟΜΗ - ΕΝΩΣΗ ΣΥΝΟΛΩΝ

Παράδειγμα : Έστω Α = { 1 , 2 , 5 , 7} και Β= { 2, 5, 8,9 ,11}

Η τομή τους περιλαμβάνει τα κοινα στοιχεία τους = { 2,5}.
Η ένωση αποτελείται από τα στοιχεία που ανήκουν ή στο ένα ήσ το άλλο σύνολο = { 1,2,5,7,8,9,11}.



12 - 10 - 2010

Από την πράγραφο 1.1 του σχολικού βιβλίου σας έχετε τις  : Πράξεις χωρίς τις ιδιότητες των δυνάμεων. 'Έχετε μόνο θεωρία . καλό διάβασμα στις ιδιότητες πρόσθεσης και πολλαπλασιασμού , και τις ιδιότητες ισοτήτων .

Υπενθυμίζω ότι ο νόμος διαγραφής στον πολλαπλασιασμό ισχύει μόνο όταν ο αριθμός που διαγράφεται είναι διάφορος του μηδενός. 

αγ=βγ και γ διάφορο του μηδενός <=>  α =β. ( Νόμος διαγραφής μη - μηδενικού παράγοντα )

Αν δεν προσέχουμε αυτό το γ διάφορο του μηδενός  οδηγούμαστε σε λάθη όπως στο
 σχόλιο του βιβλίου σας. Πράγματι χρειάζεται προσοχή διότι η διαγραφή του μηδενικού παράγονται δεν γίνεται
Και για του λόγου του αληθές προσέξτε τι θα συνέβαινε αν αυτό ήταν εφικτό
Η ισότητα  5 * 0 = 7 * 0 είναι αληθής.

Άρα 5*0 = 7 * 0 <=>  5 = 7 !!!

Επίσης έστω αγ =βγ χωρίς να ξέρουμε αν το γ είναι μηδέν ή όχι. Τι μπορούμε να κάνουμε;

αγ = βγ <=>  αγ - βγ = 0  <=>  γ ( α - β) = 0 <=> γ = 0 ή α -β=0 <=>  γ=0 ή α=β.

Αν εφαρμόζμε λανθασμένα βέβαια νόμο διαγραφής θα είχαμε μόνο α =β και θα χάναμε το ενδεχόμενο γ =0 για το οποίο ισχύει η αρχική ισότητα χωρίς να είναι α =β.



20 - 10 - 2010

Για το επόμενο μάθημα να ξέρετε πολύ καλά τις ταυτότητες και τις ιδιότητες δυνάμεων. Μα πολύ καλά είπαμε!!!
Μην σηκώσω μαθητή στον πίνακα και δεν ξέρει να γράφει καμιά βασική ταυτότητα!



21 - 10 - 2010

ΕΥΘΕΙΑ ΑΠΟΔΕΙΞΗ ΣΤΙΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ

Πολλές φορές για να αποδείξουμε μια ταυτότητα ξεκινάμε από το πρώτο μέλος , κάνουμε πράξεις και καταλήγουμε στο δεύτερο.

Παράδειγμα : Να αποδείξετε ό τι : ( α+3)2 + ( α-3)2 = 2( α2 + 9).

Ξεκινάμε από το πρώτο μέλος : ( α+3)2 + ( α-3)2 = α2 + 2 *α*3 +9 + α2 - 2*α*3 +9 = 2α2+18 =
= 2( α2 +9)


29 - 10 - 2010

Διάταξη

Ισχύουν:
 α>β <=> α-β>0
α<β <=> α-β <0.

Κανόνες προσήμων

 α>0 και β>0 =>  α+β>0
α<0 και β<0 => α+β <0

α>0 και β>0 => αβ>0
α>0 και β<0 => αβ<0
α<0 και β<0 => αβ>0

                   2       
Επίσης :  α  >= 0.    ( μεγαλύτερο ή ίσο ).


Στην τάξη έλυσα το παρακάτω παράδειγμα. Θυμηθείτε τι είπαμε. Δώστε μου απάντηση αν θέλετε ηλεκτρονικά. Ρωτήστε με στο επόμενο μάθημα αν έχετε απορία.

Παράδειγμα : Να βρείτε το πρόσημο των παραστάσεων :

       2         2
α. α   * (  β    + 7 )

         2                  2 
β.  ( χ + 3 ) * (  - α - 8 )



Πράξεις στα δύο μέλη μιας ανισότητας θα βρείτε στην ανάρτηση της Β΄ γυμνασίου που τυχαία έχει παρόμοιο μάθημα αυτό τον καιρό στην ημερομηνία 29-10-2010.

Συμπληρωματικά αναφέρω ότι :

Δύο ανισότητες μπορούμε να τις προσθέτουμε κατά μέλη , και να τις πολλαπλασιάζουμε όταν οι αριθμοί που εμπλέκονται είναι όλοι θετικοί.

Δεν επιτρέπεται να αφαιρούμε ούτε να διαιρούμε κατά μέλη!!!

Αντιπαράδειγμα:

Έστω οι ανισότητες 8 >6
                       και      5 > 2
                                --------------
  αφαιρώντας κατά μέλη : 8-5 < 6-2 γιατί  3 < 4  ( εδώ άλλαξε η φορά)

 ενώ στις ανισότητες :      8 > 6
                                          5 > 4
                                    ----------------
αφαιρώντας       8-5 > 6-4  γιατί   3>2  ( εδώ δεν άλλξε η φορά ).



30 - 11 -2010

Για το επόμενο μάθημα έχετε την έννοια της ν-ιοστής ρίζας. Επίσης πολύ καλά τις ιδιότητες των ριζών από τα γαλάζια πλαίσια της παραγράφου των ριζών.

Δεν υπάρχουν σχόλια:

Δημοσίευση σχολίου